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Mathematik » Stochastik und Statistik » Charakterisierung von Unabhängigkeit
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Universität/Hochschule Charakterisierung von Unabhängigkeit
jlw
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Dabei seit: 06.06.2020
Mitteilungen: 45
  Themenstart: 2021-12-04

Hallo, wir haben folgende Aufgabe und kommen einfach nicht weiter. Die Hinrichtung haben wir gezeigt, aber bei der Rückrichtung hängen wir fest: Zeige, dass zwei auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definierte Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\) genau dann unabhängig sind, wenn für alle Borel-messbaren Abbildungen \(f,g:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) mit \(f\circ X,\ g\circ Y \in \mathfrak{L}^2\) gilt: \(E\left((f\circ X - g\circ Y)^2\right)\geq E\left((f\circ X - E(f\circ X))^2\right)\) Wir haben als Hinweis bekommen, für Borelmengen \(A\) und \(B\) passende Funktionen \(f\) und \(g\) zu wählen, um damit zunächst \(P(\{X \in A,\ Y \in B\})\leq P(\{X \in A\})\cdot P(\{Y \in B\})\) zu zeigen, aber auch daran sind wir gescheitert. Wir haben bereits gesehen, dass \(f=c\cdot 1_A\) und \(g=d\cdot 1_B\) für kein Zahlenpaar \((c,d)\in \mathbb{R}^2\) funktioniert. Nun gehen uns aber die Ideen aus. Vielen Dank für eure Hilfe.


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