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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Lösung einer Differentialgleichung größer Null
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Universität/Hochschule J Lösung einer Differentialgleichung größer Null
Boomerhead
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  Themenstart: 2021-12-04

Hallo Leute, ich hänge an folgende Sache: Zeigen Sie für das Anfangswertproblem \(\dot x=x-\alpha x²+\beta y\) \(\dot y=y-\gamma y²+\delta x\) mit \(x(0),y(0))=(x_0,y_0)\) und \(\alpha,\beta,\gamma,\delta,x_0,y_0>0\), dass \(x(t)\ge0, y(t)\ge0\) für alle \(t\ge0\). Meine Idee war zunächst, \(x(t)\) allgemein zu bestimmen, also: \(\dot x=x-\alpha x²+\beta y\) \(\Rightarrow \frac{1}{x-\alpha x²} \frac{dx}{dt}=\beta y\) \(\Rightarrow \int \frac{1}{x-\alpha x²} \frac{dx}{dt} dt=\int\beta y dt\) \(\Rightarrow -(ln(\alpha-\frac{1}{x})=\beta\int y(t)dt +c, c\in\IR\) \(\Rightarrow x=\frac{1}{\alpha-e^{-\beta\int y(t)dt-c}}\) Dann ist aber x doch im allgemeinen nicht immer größer als Null. Hab ich irgendwo einen Rechenfehler oder ist das generell der falsche Ansatz ? Ich hoffe, mein Problem und Rechenweg wurde klar. Würde mich über Hinweise und Anregungen freuen :)


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Caban
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-04

Hallo Ich würde beide Gleichungen voneinander abziehen, die Substitution w=x-y könnte helfen. Gruß Caban


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Boomerhead
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-04

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe jetzt \(w=x-y=\dot x+\alpha x²+\delta x-\beta y-\dot y-\gamma y²\). Das Ganze hilft mir nur irgendwie nicht weiter. Meine einzige Idee wäre, dass es sich vielleicht um eine exakte Differentialgleichung handeln könnte und ich daraus dann eine Lösung finde. Aber das scheint mir zu weit hergeholt


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Caban
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-04

Hallo Hallo Du kannst x^*-y^* mit w^* ersetzen. Außerdem könntest du den Term so umformen, dass du auf x^2-y^2 die dritte binomsche Formel verwenden kannst.


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Wally
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-04

Hallo Boomerhead, ich kann mir nicht vorstellen, dass du die Lösung explizit berechnen sollt. Zu welchem Thema der Vorlesung gehört denn die Aufgabe? Viele Grüße Wally


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gonz
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-04

Hallo Boomerhead, die Kurve startet bei t=0 im ersten Quadranten (x>0 und y>0). Wenn sie diesen verlassen soll, muss es einen Schnittpunkt entweder mit der positiven x-Achse oder der positiven y-Achse geben, bei der diese in Richtung negativer y-Werte oder negativer x-Werten überschritten wird. Überlege dir einmal, was an diesen Schnittpunkten gelten muss, also zB wie die Richtung deiner Kurve aussieht, wenn sie bei y=0 die positive x-Achse passiert. Kommst du damit weiter? Grüße Gerhard/Gonz


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Boomerhead
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-04

Danke erstmal für eure Antworten. @Wally, ich bin mir nicht sicher. Allgemein soll man zeigen, dass für diese Differentialgleichung eine globale Lösung nach rechts existiert. Das ganze soll über das Gronwall-Lemma erfolgen. Dazu soll man zunächst diese Aussage beweisen. Zumal die anschließende Aufgabe vorsieht, dass man eine Abschätzung für \(x(t)+y(t)\) findet. Von daher denke ich fast, dass man eine Lösung braucht @gonz schwierig. An sich habe ich das Prinzip verstanden, aber wüsste nicht unbedingt, wie ich hier argumentieren kann. Aber ich muss dann nochmal in Ruhe genau schauen. Konnte deine Idee jetzt erstmal nicht genau bearbeiten. @caban: Meinst du jetzt, dass ich \(w=x-y\) substituieren oder \(\dot w=\dot x-\dot y\) ? Da bin ich mir jetzt nicht ganz sicher, was du meintest :)


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Wally
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-05

Hallo, wenn du in derr nächsten Aufgabe eine Abschätzung angeben sollst, ist es _sehr_ unwahrscheinlich, dass du eine Lösung ausrechnen kannst. Mach es so wie gonz vorschlägt - die Lösung kommt aus dem ersten Quadranten nicht heraus. Viele Grüße Wally


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Boomerhead
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08

Okay, ich war nur verwirrt, weil wir eine ähnliche Aufgabe bearbeitet haben und dort Lösungen ausgerechnet haben, um damit eine Abschätzung zu finden. Aber eine Lösung der DGL hier scheint mir doch etwas aufwendig zu sein. Zu der Idee, dass die Lösungskurven den Quadranten nicht verlassen, komme ich leider nicht wirklich weiter. Ich hab versucht mit Anstiegen zu argumentieren, komme damit aber erst recht nicht weiter.


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Wally
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Na gut. Eine Lösung startet bei \( (x_0,y_0) \) und verlässt den I. Quadranten und geht oBdA in den zweiten. Dann muss sie die y-Achse überqueren. 1. Warum kann das nicht bei \( (0,0)\) geschehen? 2. Warum kann das nicht bei \( (0,y_1) \) geschehen? Versuche mal, Antworten zu finden. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Boomerhead
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08

Also ich bin jetzt mal davon ausgegangen, wie man das Richtungsfeld solcher DGLs zeichnet. Wenn \((x,y)=(0,0)\), dann muss ja auch \((\dot x,\dot y)=(0,0)\). Somit kann ja in diesem Punkt schon mal keine Lösungskurve passieren. Nun dann aber mein Problem, wenn \((x,y)=(0,y)\), dann ist \((\dot x,\dot y)=(\beta y, y-\gamma y^2)\). Dann habe ich aber irgendwie nichts gekonnt.


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gonz
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-12-08

Doch damit kommst du weiter. Die Kurve soll ja die y-Achse nach links durchqueren, da sie vom I. Quadranten in den II. hinüberführt. Was bedeutet das für die Ableitung von x nach t?


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Boomerhead
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08

Ich glaube, ich hab irgendwo einen Denkfehler. Ich soll doch eigentlich zeigen, dass die Lösungskurve den ersten Quadranten nicht verlässt. Warum sollte sie das jetzt doch tun ? Zu deiner Frage, was das für die Ableitung von x nach t bedeutet. Mmh, naja wenn die Lösungskurve den ersten Quadranten nach links verlässt, müsste ja \(\dot x < 0\) sein oder ?


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Wally
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Na, fast. Es müsste \( \dot x \le 0\) sein. Aber? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Boomerhead
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08

Dann müsste ja im Punkt \((0,y)\) gelten, dass \(y\le 0\) damit \(\dot x\le 0\) und somit muss \(\dot y\le 0\). Irgendwie stehe ich wahrscheinlich auf einer sehr langen Leitung. Sorry dafür


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Wally
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Also.... wird sind zwischen I. und II. Quadranten. Da ist \( x=0\) und \( y>0\). Also ist laut Dgl. \( \dot x\) was? ja was? Letzte Hilfe: \( \dot y\) ist hier völlig uninteressant. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Boomerhead
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08

Ach na klar, da hatte ich nen gewaltigen Denkfehler. Sorry. Wenn \(y>0\), dann muss \(\dot x=\beta y>0\), da \(\beta>0\). Somit verlässt die Lösungskurve den ersten Quadranten zumindest nicht in Richtung Quadrant II.


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Wally
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  Beitrag No.17, eingetragen 2021-12-08

Dann solltest du es jetzt haben und mit dem OK-Häkchen abhaken. Viele Grüße Wally


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Boomerhead
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08

Vielen lieben Dank euch für die große Hilfe und für die Geduld, die ihr mit mir hattet ^^ Einen schönen Abend euch noch :-)


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Boomerhead hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Boomerhead hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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