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Universität/Hochschule Krulldimension ganze Erweiterung
Goldie
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  Themenstart: 2021-12-04

Hallo zusammen, Wir haben im Skript folgendes Lemma: \(A \subset B\) ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und A hat Krulldimension 1. Dann hat auch \(B\) Dimension 1. (Es gilt wohl auch allgemein dimA=dimB, soll aber erstmal nicht interessieren). Im Beweis nehmen wir uns ein \((p) \subset B\) Primideal ungleich 0 her und zeigen dann, dass das schon maximal ist, wir also wirklich Krull Dimension 1 haben. Dazu definieren wir uns ein \((p')=(p)\cap A\) und zeigen, dass das ungleich 0 ist. Ok so weit so gut. Und dann heißt es aber der Ringhom. von \(A/(p') \rightarrow B/(p)\) ist injektiv und damit ist \(B/(p)\) eine ganze Erweiterung von \(A/(p')\). Und hier komm ich nicht mehr hinterher. Warum gilt das? Ich weiß bisher ja dass \(B\) ganz über \(A\) ist, also gilt \(b^n+a_{n-1}b^{n-1} + ... + a_n=0\) für alle \(b \in B\) und irgendwelche \(a_i \in A\). Und damit das oben gilt muss ich jetzt ja folgern, dass dann \(b'^n+a_{n-1}b'^{n-1} + ... + a_n=0\) für alle \(b' \in B/(p)\) und irgendwelche \(a_i \in A/(p')\). Das heißt doch, dass \(b'^n+a_{n-1}b'^{n-1} + ... + a_n \in (p)\) gelten muss oder? Aber wie komm ich hier weiter? Viele Grüße Goldie


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-04

Du bist eigentlich schon am Ziel. Nimm dir ein Element von $B/\mathfrak{p}$, etwa $[b]$ mit $b \in B$ (hier bezeichnet $[b]$ das Bild von $b$ in $B/\mathfrak{p}$) und eine Ganzheitsgleichung $b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_n = 0$ mit $a_i \in A$. Es folgt $0 = [b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_n] = [b]^n + [a_{n-1}] [b]^{n-1} + \cdots + [a_n] = 0$, und wir sind fertig: Das ist eine Ganzheitsgleichung von $[b]$ über $A/\mathfrak{p}'$.


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Goldie
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-04

Vielen Dank für deine Antwort! Ja das sieht sehr einleuchtend aus, aber was ich noch nicht ganz sehe ist, wo wir benutzen dass dieser Ringhomomorphismus injektiv ist? Kannst du mir da noch kurz weiterhelfen?


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-04

Das wird im weiteren Verlauf des Beweises irgendwo verwendet (den Beweis hast du ja nur bis zu dieser Stelle angegeben). Das Lemma gilt jedenfalls offensichtlich nicht für alle ganzen Homomorphismen $A \to B$ (betrachte $B=0$).


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Goldie
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Ja tatsächlich ist der Beweis dann bei uns zu Ende. Wir hatten davor gezeigt, dass wenn \(B\) Integritätsring und \(A \subset B\) Unterring und \(B\) ganz über \(A\) Dann gilt \(A\) Körper genau dann wenn \(B\) Körper. Und bei dem Lemma oben haben wir ja vorausgesetzt dass \(A\) Dimension 1 hat, also ist das Primideal \((p')\) da es nicht leer ist ein maximales und damit \(A/(p')\) ein Körper. Und die Aussage, dass der Ringhom. injektiv ist steht als Begründung da, dass \(B/(p)\) ganze Erweiterung von \(A/(p')\) ist. (Ist ein Ringhom. nicht immer injektiv wenn wir von einem Körper ausgehen?) Aber vielleicht übersehe ich auch etwas offensichtliches?


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