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Mathematik » Differentialgleichungen » Abhängigkeit der Lösung einer DGL von Anfangsbedingungen
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Universität/Hochschule Abhängigkeit der Lösung einer DGL von Anfangsbedingungen
fabi34
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Mitteilungen: 1
  Themenstart: 2021-12-04

Hallo liebes Forum, im Rahmen meiner Abschlussarbeit bin ich auf ein Problem gestoßen, welches sich durch logische Überlegung (vermeintlich) leicht lösen lässt, jedoch bin ich nicht in der Lage das auch mathematisch korrekt zu Beweisen und so Zweifel an der einfachen Überlegung auszuräumen. Auf das Wesentlich beschränkt lautet das Problem wie folgt: Gegeben ist eine Differentialgleichung erster Ordnung für x: \(\dot{x}+a(t)x=b(t)\) mit der Anfangsbedingung \(x(t_a)=x_a\) Nun wird x durch seine Stammfunktion y ersetzt und man erhält: \(\ddot{y}+a(t)\dot{y}=b(t)\) mit den Anfangsbedingungen \(y(t_a)=y_a\) und \(\dot{y}(t_a)=\dot{y}_a\) da es sich ja nun um eine DGL zweiter Ordnung handelt. Meine Frage lautet nun: Kann man zeigen, dass \(\dot{y}(t)\), also die Ableitung der Lösung der zweiten Differentialgleichung immer unabhängig vom Anfangswert \(y_a\) ist? Man kann sich das ja relativ schnell überlegen, da \(\dot{y}(t)=x(t)\) ist und diese Anfangsbedingung ja in der ersten DGL auch nicht auftaucht und daher auch die Lösung unabhängig davon sein muss. Aber kann man das auch Beweisen oder reicht diese Überlegung als Beweis schon aus? Für eine Einschätzung, Beweisideen oder Gegenbeispiele wäre ich dankbar. Viele Grüße


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