Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wauzi
Zahlentheorie » Primzahlen - sonstiges » Halbprimoriale und Quadrate
Autor
Schule Halbprimoriale und Quadrate
Bekell
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 2674
  Themenstart: 2021-12-04

Kann ein Halbprimorial (also ohne den Factor 2) Quadratzahl einer natürlichen Zahl sein? Da Halbprimoriale immer auf 5 enden, und Quadratzahlen auf 5 auch möglich sind, erscheint es mir auf den ersten Blick möglich. Aber vllt fällt einem von Euch was ein, warum es nicht so sein kann? Mir fällt z. B. gerade ein, dass eine Quadratzahl zwei gleiche Faktoren haben muss. Man müsste also die Menge der Primfaktoren eines Halbprimorials in zwei Gruppen zerlegen können, die sich getrennt zur selben Zahl multiplizieren, die dann miteinander multipliziert, das Halbprimorial ergäben. Dies aber widerspräche der Aussage, dass die PF-Zerlegung einer jeden Zahl eindeutig ist. Daraus folgt: Es gibt kein Halbprimorial, welches Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Stimmt das so?


Wahlurne Für Bekell bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3196
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-04

Hallo, Du hast die Frage schon selbst richtig beantwortet.


Wahlurne Für Nuramon bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
Bekell
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 2674
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

\quoteon(2021-12-04 23:41 - Nuramon in Beitrag No. 1) Hallo, Du hast die Frage schon selbst richtig beantwortet. \quoteoff Danke Nuramon, für die Bestätigung. Gilt diese Ableitung noch als trivial und kann vorausgesetzt werden, oder muss sowas in einem Beweis schon mit aufgeführt werden?


Wahlurne Für Bekell bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3196
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-05

Wenn es trivial wäre, dann wüsstest Du, dass es trivial ist. Also ja, Du solltest so etwas in einem Beweis ausführen.


Wahlurne Für Nuramon bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
Bekell
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 2674
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

\quoteon(2021-12-05 11:49 - Nuramon in Beitrag No. 3) Wenn es trivial wäre, dann wüsstest Du, dass es trivial ist. Also ja, Du solltest so etwas in einem Beweis ausführen. \quoteoff Ich dachte, die Trivialitätsgrenze ist 10. Klasse (Das kann man bei allen vorraussetzen). Die Primfaktorzerlegung hat man da schon gehabt...


Wahlurne Für Bekell bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3196
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Das mag Dich jetzt vielleicht überraschen, aber nur weil man weiß, dass eine Aussage (wie z.B. die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung) gilt, ist noch lange nicht klar, wie man diese Aussage in einem konkreten Beweis anwenden kann. Beispiel: Es ist allgemein bekannt, dass $5>4$. Aber ist Dir sofort klar, wie man diese Aussage anwenden kann um folgende Aufgabe zu lösen: Auf einem $3\times 3$-Schachbrett sitzen neun Frösche, auf jedem Feld einer. Dann hüpft jeder der neun Frösche auf irgendein benachbartes Feld (d.h. eines, das mit dem Ausgangsfeld eine gemeinsame Kante hat). Zeige, dass sich jetzt auf einem Feld des Schachbretts mindestens zwei Frösche befinden.\(\endgroup\)


Wahlurne Für Nuramon bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
Bekell
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 2674
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Danke, Nuramon, das ist tatsächlich nicht auf Anhieb zu sehen. man kann die 8 Frösche auf den Randfeldern im Kreis hüpfen lassen und dann muss der Frosch in der Mitte (Feld5) notgedrungen auf ein Randfeld springen, wo schon einer sitzt. Es gibt 1 Feld mit 4 Kanten, 4 Felder mit 3 Kanten und 4 Felder mit 2 Kanten. Sind zusammen 24 Kanten. Aber, was das mit 5>4 zu tun hat, seh ich nicht. Der Mittelfrosch kann nicht in die Ecke springen? Und die Eckfrösche können nicht in die Mitte springen. Nur die Mittelrandfösche können auf beide Feldtypen springen. Die beschränngten Fräsche (Mittelfrosch + Eckfrosch sind 5) Es gibt aber nur 4 Felder, wo diese beiden Froschtypen hinspringen können - Aha - daher muss auf mindestens einem Mittelrandfeld 2 Frösche hinspringen.


Wahlurne Für Bekell bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3196
  Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-05

Genau. Vielleicht noch etwas anschaulicher: Wenn Die Felder wie üblich auf einem Schachbrett schwarz und weiß gefärbt sind, dann springt jeder Frosch immer auf ein Feld einer anderen Farbe. Es gibt aber 5 schwarze Felder und nur 4 weiße (oder andersherum, je nachdem, wie man färbt), also muss nach dem Springen eines der weißen Felder mehrfach besetzt sein.


Wahlurne Für Nuramon bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
Bekell
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 2674
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Tatsächlich gutes Beispiel für Nicht-sofort-Einsehbarkeit trivialer Sachverhalte. Welches Teilgebiet der Mathematik ist für die systematische Beantwortung dieser Frage zuständig? (verm. Graphentheorie, womit ich mich nie beschäftigt habe)


Wahlurne Für Bekell bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3196
  Beitrag No.9, eingetragen 2021-12-05

Mir fällt jetzt kein Gebiet ein zu dem ich die Froschaufgabe unbedingt zählen würde. Ein bisschen Graphentheorie ist es sicherlich. Mehr Aufgaben von diesem Typ findet man vor allem in der Wettbewerbsmathematik, insbesondere unter den Stichpunkten "Schubfachprinzip" und "Invarianten".


Wahlurne Für Nuramon bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
Bekell hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Bekell wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]