Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von mire2 StrgAltEntf
Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Verwirrung zu einem Vergleichsoperator im Beweis zum Schubfachprinzip
Autor
Universität/Hochschule J Verwirrung zu einem Vergleichsoperator im Beweis zum Schubfachprinzip
simsun
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.11.2021
Mitteilungen: 9
  Themenstart: 2021-12-06

Guten Abend, Ich hätte da eine Frage zum Beweis vom Schubfachprinzip, der uns in unserem Skript vorgelegt wurde. Grundlegend habe ich den Beweis verstanden, da das Prinzip an sich ja auch nicht sonderlich schwierig ist... Die Bedingung für Injektivität wird der Voraussetzung ( |X| > |Y| ) gegenübergestellt und zum Widerspruch geführt. Eine Sache stört mich allerdings und da würde ich gerne Fragen ob das eine Formalität ist, oder ob ich da einen Denkfehler habe. Es heißt: \[ \sum_{y \in f(X)} |f^{-1}(y)| \leq \sum_{y \in Y} |f^{-1}(y)| \] Das macht soweit auch Sinn, allerdings verstehe ich nicht, warum hier ein kleiner-gleich Zeichen, statt einem Gleichzeichen verwendet wird. Per Definition gilt doch, dass jedes x nur auf y in f(X) abbildet...und die Rechtseindeutigkeit ist ja auch eine Voraussetzung. D.h. sollte f nicht surjektiv sein, kann es zwar y in Y\f(X) geben, aber ihre Urbildmengen wären leer, und somit muss die Summe auf der linken gleich der auf der rechten Seite sein...oder irre ich? Hier einmal der ganze Beweis: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55111_Screenshot_2021-12-06_at_21.29.16.png Ich weiss, es das vielleicht nicht weiter relevant ist, aber ich würde gerne alles aus allen Beweisen verstehen, die uns vorgelegt werden, wobei ich noch nicht weiss, ob das ein kluger Ansatz in einem MINT Studium ist. Vielen Dank und schönen Abend wünsche ich! EDIT: Hätte vermutlich besser in die Kategorie Mengenlehre / Abbildungen gepasst. Verzeihung!


Wahlurne Für simsun bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 955
Wohnort: Köln
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, Wir haben also endliche Mengen $X,Y$ und eine Abbildung $f\colon X\to Y$. Falls $y\in Y\setminus f(X)$, so ist wie du richtig sagst $$ f^{-1}(\lbrace y\rbrace)=\lbrace x\in X\mid f(x)=y\rbrace=\emptyset $$ und folglich $$ \sum_{y\in f(X)}|f^{-1}(\lbrace y\rbrace)|=\sum_{y\in Y}|f^{-1}(\lbrace y\rbrace)|. $$ Ich würde dem allerdings nicht zu viel Bedeutung beimessen. Wenn einem das $\leq$ für ein Argument ausreicht, dann passt das ja. LG Nico\(\endgroup\)


Wahlurne Für nzimme10 bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5874
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-12-07

Deine Beobachtung ist richtig. Eventuell hat der Autor das $=$ nicht hingeschrieben, weil a) es für die Beweisführung nicht notwendig ist, b) es für das $=$ eine kurze Begründung braucht. Die Ungleichung $\sum_{s \in S} a_s \leq \sum_{t \in T} a_t$ für $S \subseteq T$ und $a_t \geq 0$ gilt hingegen immer.


   Profil
simsun
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.11.2021
Mitteilungen: 9
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Perfekt, ich danke euch!


Wahlurne Für simsun bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
simsun hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]