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Universität/Hochschule Pushforward einer glatten Funktion
Math_user
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  Themenstart: 2021-12-07

Guten Morgen zusammen Ich versuche gerade mich mit dem Pushforward anzufreunden. Ich betrachte eine glatte Funktion $f: M \to M$, wobei $M$ eine Fläche ist. Dann ist ja der Pushforward die folgende Funktion: $df_x: T_xS \to T_{f(x)}S$. Nun kann ich aber jedoch noch "wenig" mit diesem Ausdruck anfangen... Ich interessiere mich insbesondere, für den Fall $df=0$... Kann ich irgendwie eine Verbindung zu den Richtungsableitungen herstellen? Vielen Dank für euere Hilfe und einen guten Start in den Tag. Math_user


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-07

Wenn man alles explizit lokal ausrechnet, dann korrespondiert der Pushforward zur Jacobi-Matrix. Das findet man sicher in fast allen Einführungen zur Differentialgeometrie, z.B. John Lee, Introduction to Smooth Manifolds, S. 63.


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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) In Ergänzung zu Kezer's Antwort: Zunächst ist denke ich auch folgender Fall interessant: Es sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $f\colon M\to \mathbb R$ eine glatte Funktion, also $f\in C^\infty(M)$. Ist nun weiter $X_p\colon C^\infty_p(M)\to \mathbb R$ eine Derivation an einem Punkt $p\in M$ (i.e. $X_p\in T_pM$), dann kann man die Abbildung $$ \mathrm df_p\colon T_pM\to \mathbb R $$ durch $$ \mathrm df_p(X_p)(\varphi):=X_p(\varphi\circ f) $$ erklären ($\varphi\in C_{f(p)}^\infty(\mathbb R)$). Diese verallgemeinert gerade die bekannten Richtungsableitungen. Ist nun allgemeiner $f\colon N\to M$ eine glatte Abbildung und $p\in N$, so wähle eine Karte $(U,x^1,\dots,x^n)$ um $p$ in $N$ und $(V,y^1,\dots,y^m)$ um $f(p)$ in $M$. Man überlegt sich nun, dass $\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_p\right)_{j=1}^n$ eine Basis von $T_pN$ und $\left(\frac{\partial}{\partial y^i}\bigg|_{f(p)}\right)_{i=1}^m$ eine Basis von $T_{f(p)}M$ ist. Folglich ist das Differential $\mathrm df_p$ bereits vollständig durch diejenigen $a_j^i$ bestimmt, für die $$ \mathrm df_p\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_p\right)=\sum_{k=1}^m a_j^k\frac{\partial}{\partial y^k}\bigg|_{f(p)} $$ für $j=1,\dots,n$ gilt. Wenn man beide Seiten bei $y^i$ auswertet, erhält man gerade $$ a_j^i=\frac{\partial f^i}{\partial x^j}(p). $$ Wie von Kezer bereits angesprochen, wird $\mathrm df_p$ in diesem Fall bezüglich der obigen Basen gerade durch die Jacobi-Matrix beschrieben. LG Nico\(\endgroup\)


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Math_user
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Guten Morgen Kezer Vielen Dank für deine Antwort. Ich bin diese Seiten (61-62) gerade ich Buch durchgegangen. Wenn ich es also richtig verstehe, sollte die folgende Argumentation richtig sein: Sei $f: S \to S$ eine glatte Funktion, wie oben dargestellt und weiterhin gelte $df=0$. Sei $U \subset S \subset \Bbb R^3$ und $V \subset S \subset \Bbb R^3$, s.d. $f(U) \subseteq V$ und sei $p \in U$. Wir haben insbesondere, dass $df_p=0$ ist und da $df_p$ die Jacobi-Matrix darstellt, dass $\frac{\partial f^i}{\partial x^j}(p)=0$ ist für alle $i,j \in \{1,2,3\}$, wobei $x^j$ die Standardbasis von $\Bbb R^3$ darstellt. Stimmt diese Aussage? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Kezer
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) Nein, das kannst du nicht folgern. Ich bin mir nicht sicher, was ihr in der Vorlesung behandelt habt, da das offenbar eine Einführung in die elementare Differentialgeometrie ist. Du musst trivialisierende Teilmengen $U, V \subseteq S$ nehmen, d.h. $U, V \cong \R^2$. Das muss eine eurer Charakterisierungen von Flächen sein. Bezüglich dieser Trivialisierung ist $\dd f_p$ eine Jacobi-Matrix $\R^2 \to \R^2$. Das ist schließlich die grundlegende Ideen von Mannigfaltigkeiten. In eurem Fall von Flächen sollen $2$-dimensionale Objekte verallgemeinert werden, aber man möchte trotzdem Methoden für $\R^2$ aus der reellen Analysis verwenden. Entsprechend ist $\dd f_p$ genau so konzipiert, dass sie die Totalableitung aus $\R^2$ verallgemeinert.\(\endgroup\)


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Math_user
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Genau, es handelt sich dabei um eine Einführungsvorlesung in die elementare Differentialgeometrie. Du hast natürlich recht es sollten Teilmengen von $\Bbb R^2$ sein. Jedoch bin ich nun total verwirrt mit den Dimensionen. Wir haben dass unsere Fläche $S \subset \Bbb R^3$ ist. Nun haben wir ja local parametrizations (heisst dies Karten auf deutsch?) zum Beispiel $\phi: U \subset \Bbb R^2 \to S$ und sei nun $x \in U$, s.d. $\phi(x)=p$. Okay nun haben wir $f: \phi(U) \to S$ (dies sollte definiert sein). Man sollte nun, wenn ich mich nicht schon geirrt haben in meinem Weg, dass $df_p=0$... Jetzt ist aber die Frage, weshalb wir eine Jacobi-Matrix $\Bbb R^2 \to \Bbb R^2$ haben und nicht eine $\Bbb R^3 \to \Bbb R^3$ haben...


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Kezer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \quoteon(2021-12-07 11:04 - Math_user in Beitrag No. 5) Nun haben wir ja local parametrizations (heisst dies Karten auf deutsch?) \quoteoff Du kannst auch lokale Parametrisierung sagen. \quoteon(2021-12-07 11:04 - Math_user in Beitrag No. 5) Jetzt ist aber die Frage, weshalb wir eine Jacobi-Matrix $\Bbb R^2 \to \Bbb R^2$ haben und nicht eine $\Bbb R^3 \to \Bbb R^3$ haben... \quoteoff Die Abbildung $f$ ist zwischen zwei Flächen. Diese sind zwar im $\R^3$ eingebettet, aber $f$ kodiert wirklich nur die zweidimensionalen Eigenschaften von $\R^2$. (Da man $\R^3$ in $\R^{42}$ einbetten kann, könnte man $S$ in $\R^{42}$ einbetten. Sollte man nun eine $42 \times 42$-Matrix haben?) Zu solchen Verwirrungen kommt man wohl, wenn man extrinsisch arbeitet und eine Einbettung im $\R^3$ vorgibt, anstatt bloß intrinsisch von zwei Flächen auszugehen, die nicht mit einer Einbettung kommen. \quoteon(2021-12-07 11:04 - Math_user in Beitrag No. 5) Okay nun haben wir $f: \phi(U) \to S$ (dies sollte definiert sein). \quoteoff Das genügt nicht, den Wertebereich verstehen wir nicht im Sinne der Analysis. Stattdessen startet man mit einer lokalen Parametrisierung $(V \subseteq S, \psi : V \to \R^2)$ mit $f(p) \in V$. Da $f$ stetig ist, ist $f^{-1}(V)$ offen, und so existiert eine lokale Parametrisierung $(U \subseteq f^{-1}(V), \varphi : U \to \R^2)$. Wenn man Definitions- und Wertebereich nun einschränkt, erhält man eine Abbildung $\tilde{f} : U \to V$. Da $U,V$ lokale Parametrisierungen sind, haben wir $U \cong \R^2 \cong V$. Wenn man diese Homöomorphismen beachtet, erhält man also eine Abbildung $$ \R^2 \xrightarrow{\sim} U \to V \xrightarrow{\sim} \R^2$$ und die Jacobi-Matrix dieser Funktion entspricht $\dd f_p$ bezüglich diesen Parametrisierungen. (Man schaltet darauf den Tangentialraum-Funktor.)\(\endgroup\)


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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Vielen vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Ich habe noch eine ergänzende Frage, weshalb ist dann die Jacobi-Matrix bezüglich der Funktion $f$ und nicht bezüglich der Funktion $\tilde{f}$?


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Kezer
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) Wenn ich schreibe "lokal ist $\dd f_p$ die Jacobi-Matrix von $f$", dann meine ich mit "lokal", dass man die parametrisierte Funktion $\tilde{f}$ betrachtet. Sonst ist (zumindest bei der intrinsischen Sicht) nicht mal klar, was Jacobi-Matrix von $f$ bedeutet. Konkret ist $\dd \tilde{f}_{\varphi^{-1}(p)} = \dd \psi_{f(p)} \circ \dd f_p \circ \dd \varphi^{-1}_{\varphi{-1}(p)}$, diese Differentiale $\dd f$ und $\dd \tilde{f}$ unterscheiden sich also bloß um Isomorphismen, da $\dd \psi_{f(p)}$ und $\dd \varphi^{-1}_{\varphi{-1}(p)}$ Isomorphismen sind.\(\endgroup\)


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