| Autor |
 Rekursiv definierte Cauchyfolgen |
|
Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2021-12-07
|
Sei (an) rekursiv definiert durch an+1 = 1 + 1/an
für n ∈ N und a1 = 2.
(a) Zeigen Sie 3/2 ≤ an ≤ 2 für alle n ∈ N.
(b) Zeigen Sie, dass (an) eine Cauchyfolge ist.
Problem/Ansatz: Wie löse ich die Aufgabe?
|
 Profil
|
StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7735
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-07
|
Hallo xyzzzz,
bei Aussagen über natürliche Zahlen ist vollständige Induktion häufig eine gute Idee.
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07
|
Also ich weiß a1=2
a2=1,5
a3=1 1/3 und so weiter. Wenn ich die vollst. Induktion durchführe, wäre a) also bewiesen?
|
Profil
|
Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11528
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-07
|
Hallo,
zeige zB:
a_n>=3/2=>a_(n+1)>=3/2
Gruß Wauzi
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07
|
Ich verstehe nicht ganz, was mir diese Schlussfolgerung bringt, um zu zeigen dass an zwischen 3/2 und 2 liegt.
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7735
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-07
|
\quoteon(2021-12-07 19:01 - xyzzzz in Beitrag No. 2)
Also ich weiß a1=2
a2=1,5
a3=1 1/3 und so weiter. Wenn ich die vollst. Induktion durchführe, wäre a) also bewiesen?
\quoteoff
Dein a3 stimmt nicht. Richtig wäre 5/3.
Mit vollst. Induktion kannst du a beweisen. Den Induktionsanfang hast du ja schon.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07
|
Tut mir leid, ich steh gerade bisschen auf dem Schlauch. Wieso ist a3 falsch? Zur vollständigen Induktion weiß ich gerade auch nicht weiter. Da ja an in einem Intervall liegt, ist mir nicht ganz klar wie die Induktion aussieht.
|
Profil
|
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2376
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-07
|
Huhu xyzzzz,
herzlich willkommen auf dem Planeten! Bitte benutze \(\LaTeX\) und schreibe ordentliche Formeln. Ich frage umgekehrt: Wie kommst du auf \(a_3=\frac{4}{3}\)?
Zur Induktion ist doch auch alles gesagt. Im IS ist eben \(\frac{3}{2}\leq a_{n+1}\leq 2\) zu zeigen. Laut IV gilt \(\frac{3}{2}\leq a_n\leq 2\). Nun gehe zu den Kehrwerten über. Was passiert mit den Relationszeichen?
Gruß,
Küstenkind
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07
|
Für a3 setze ich doch für an 3 ein dachte ich...
|
Profil
|
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2376
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-12-07
|
Das ist natürlich völliger Blödsinn. Es geht um \(a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}\). Was musst du nun auf der linken Seite wofür einsetzen, dass dort \(a_3\) steht? Und bitte - ein letztes Mal: Es heißt nicht a3, sondern \(a_3\) und nicht an, sondern \(a_n\).
Gruß,
Küstenkind
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
