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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » (Familien von) Abbildungen und Vektorräume
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Universität/Hochschule (Familien von) Abbildungen und Vektorräume
Mathematik2know
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  Themenstart: 2021-12-08

Hallo Zusammen! Im Rahmen meiner Beschäftigung mit der linearen Algebra scheint es, dass ich die zentrale Struktur des K-Vektorraumes im Zusammenhang von Abbildungen bzw. mit Familien von Abbildungen noch nicht verstanden habe. Dabei bin ich mir unsicher, welche Abbildungen in (mehrdimensionale) Vektorräume projiziert werden bzw. welche Abbildungen im gewöhnlichen Sinne (Funktionen gemäß der Schulmathematik, d.h. ohne Bezug auf einen Vektorraum) interpretiert werden. Zu meinem konkreten Problem: Sei \(f: I → A\) eine Abbildung, wobei \(I\) eine Indexemenge bezeichnet. Für \(i ∈ I\) schreibt man häufig \(f_i\) und spricht von der Abbildung \(f: I → A\) von der Familie \((f_i)_{i ∈ I}\). Diese Familien werden auch als Tupel von Elementen aus A bezeichnet. D.h. der I-Tupel \((f_i)_{i ∈ I}\) ist das jeweilige Element \(f_i\), was die i-te Komponente darstellt. 1. Habe ich dann die Abbildung im gewöhnlichen Sinne zu interpretieren? Für eine Abbildung Tupel \(f: I → A\) mit \(i ∈ \{1..n\}\) hätte ich dann \(1 ↦ f(1),2 ↦ f(2)... n ↦ f(n)\). Für eine Folge \((a_i)_{i → N}\) (N ist die Menge der nat. Zahlen) beispielsweise hätte ich dann eine Abbildung \(n_0 ↦ a_0, n_1 ↦ a_1,... \) bzw. einen Tupel \((a_0,a_1,...)\) für das Bild der Folge. 2. Habe ich dann die Abbildung - im Rahmen eines Vektorraumes zu interpretieren? Für einem den K^n isomorphen Vektorraum hätte ich dann - falls die Indexmenge I die Elemente \({1...n}\) durchlaufen sollte - in jeder Komponente des Vektors eine Abbildung \(\{1...n\} ↦ f_1(\{1...n\}),\{1...n\} ↦ f_2(\{1...n\}),... \), da eine komponentenweise Addition sowie eine skalare Multiplikation respektiert wird. Dies trifft meinem Verständnis nach mit der Bezeichnung "Tupel" überein, da ein "Tupel" - so dachte ich bisher - IMMER multidimensionale Elemente darstellt. 3. Werden Abbildungen IMMER - wenn nicht explizit angegeben (z.B. bei der Determinante,...) in einen Vektorraum über einen Körper projiziert? Ist also jede herkömmliche Abbildung \(R → R\) - R ist die Menge der reellen Zahlen - eigentlich immer eine Abbildung im Vektorraum des \(R¹ → R¹\) ? Dafür würde jedenfalls sprechen, dass man jede Abbildung - also auch Abbildungen zwischen 1-dimensionalen Räumen- mit einem Skalar multiplizieren kann, was die vorliegende Struktur immer als Vektorraum identifizieren würde. Ich hoffe, dass meine Darlegung meiner vorhandenen Unsicherheiten genug Anhaltspunkte für eine mögliche Beantwortung bietet.


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) Willkommen auf dem MP! Gut formatiert und mit $\LaTeX$, sieht man doch gerne als 1. Frage ;-) 1. Ja. 2. Nein, da $A$ nur eine Menge ist, hier gibt es keine Vektorraumstruktur. \quoteon(2021-12-08 12:05 - Mathematik2know im Themenstart) \(\{1...n\} ↦ f_1(\{1...n\}),\{1...n\} ↦ f_2(\{1...n\}),... \) \quoteoff Übrigens, diese Notation ergibt keinen Sinn. Außerdem schreibt man in $\LaTeX$ \dots für ... . 3. Diese Frage verstehe ich nicht. Du benutzt das Wort "projiziert" falsch, jedenfalls weiß ich nicht, was du damit meinst. Potenzen in $\LaTeX$ erhält man übrigens mit ...^{...}. Ich vermute, es geht dir im Allgemeinen um die Menge $$\operatorname{Abb}(X,V) = \{f:X \to V : f \text{ Abbildung} \}$$ für zwei Mengen $X,V$. Diese hat erstmal i.A. keine besondere Struktur. Wenn $V$ zusätzlich ein Vektorraum ist, kannst du ihr aber eine Vektorraumstruktur geben. Addition und Skalarmultiplikation kann man genauso definieren, wie du unter 3 angedeutet hast und du solltest selber überprüfen, dass die Vektorraumaxiome erfüllt sind. Ein Spezialfall dieser Konstruktion ist beispielsweise $\operatorname{Abb}(\{1,2,\dots,n \}, \R) \cong \R^n$. Eine Funktion $\{1,\dots,n \} \to \R$ wird durch $f(1), \dots, f(n)$ beschrieben, also durch $n$ reelle Zahlen. Das ist genau die Definition von $\R^n$. Andererseits ist dir bewusst, dass $\R^n$ ein Vektorraum ist und das haben wir auch vorausgesagt, denn $\R$ is ein Vektorraum. In der Tat liefert unsere allgemeine Konstruktion einer Vektorraumstruktur auf $\operatorname{Abb}(X,V)$ die übliche Vektorraumstruktur von $\R^n$. D.h. Funktionen sind erstmal nur Funktionen. Wenn du die richtigen Funktionenräume betrachtest, kannst du diese Räume oft mit mehr Struktur versehen. Wenn man ganz formal ist, dann ist der neue Raum mit mehr Struktur ein komplett anderes Objekt als bloß die unterliegende Menge. Das ist für dich aber erstmal nicht so wichtig. Wenn du in einigen Jahren mehr Erfahrung hast, kannst du dazu https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1586 lesen.\(\endgroup\)


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