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Universität/Hochschule "Sei f beliebig": Auswahlaxiom?
traveller
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  Themenstart: 2021-12-08

Hallo, Wenn man sagt "Sei $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ beliebig", benutzt man dann bereits das Auswahlaxiom?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, ich bin mir nicht sicher, wie du diese Aussage interpretierst. Für mich ist damit zunächst gemeint, dass es mindestens eine Funktion $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ gibt und man nun eine beliebige Funktion betrachtet. Wenn eine Funktion eine linkstotale rechtseindeutige Relation sein soll, dann braucht man nicht AC um zu zeigen, dass es mindestens eine Funktion $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ gibt. Die Identität $\opn{id}_{\mathbb R}$ kann man als Menge durch $\lbrace (x,x)\mid x\in \mathbb R\rbrace$ definieren. Dass das in ZF eine Menge ist bedient sich nicht AC (ich denke man braucht aber eventuell POT dazu. Vielleicht reicht auch schon Replacement). Eventuell könntest du deine Aussage / Frage präzisieren. LG Nico\(\endgroup\)


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Nuramon
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2021-12-08 15:51 - nzimme10 in Beitrag No. 1) ich bin mir nicht sicher, wie du diese Aussage interpretierst. Für mich ist damit zunächst gemeint, dass es mindestens eine Funktion $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ gibt und man nun eine beliebige Funktion betrachtet. \quoteoff Sehe ich anders. "Sei $f:\IR\to \IR$ beliebig, dann ..." ist doch das gleiche wie "Für jede Funktion $f:\IR\to \IR$ gilt, ...". Eine Existenzaussage sehe ich da nicht.\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, Ich finde deine Aussage ist eine andere Nuramon. Wenn man sagt, "Sei $f$ beliebig, dann gilt..." ist das natürlich eine andere Aussage als die absolute Aussage "Sei $f$ eine beliebige Funktion". Ich verstehe das so, dass in etwa eine Aussage für jede Funktion bewiesen werden soll und dann der Beweis mit der Aussage "Sei $f$ beliebig" beginnt. Die Frage von traveller verstehe ich nun so, ob man ohne AC eine beliebige Funktion auswählen kann. Dadurch, dass man sagt, dass $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ eine (beliebige) Funktion ist, postuliert man zumindest implizit die Existenz solch einer Funktion und das kann man natürlich ohne AC zeigen. Ansonsten stimme ich dir natürlich zu. LG Nico\(\endgroup\)


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Nuramon
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) "Sei $f$ eine beliebige Funktion." ist doch einfach gar keine mathematische Aussage, sondern kann höchstens Teil einer (in Prosa formulierten) Aussage sein. Hast Du ein konkretes Beispiel für so eine Aussage, bei der Du einen Existenzquantor erwarten würdest? Auch in einem Beweis über eine Menge $X$ könnte der Satz "Sei $x\in X$ beliebig" vorkommen, auch wenn $X$ möglicherweise leer ist.\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Wenn $X$ leer ist, dann kann ich auch nicht "Sei $x\in X$" schreiben (bzw. läuft es fast auf die selbe Frage hinaus, was man damit genau meint, da es in dieser in Prosa formulierten Fassung keine Aussage ist). Eben gerade weil es kein $x\in X$ gibt in diesem Fall. In sofern finde ich das kein valides (Gegen)Beispiel für meine Anmerkung. Gerade weil ich mir nicht sicher bin (war), wie traveller das genau meint (eben weil es wie du sagst keine Aussage ist) konnte ich in meinem ersten Beitrag auch nur mutmaßen. LG Nico\(\endgroup\)


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tactac
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) \quoteon(2021-12-08 15:42 - traveller im Themenstart) Wenn man sagt "Sei $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ beliebig", benutzt man dann bereits das Auswahlaxiom? \quoteoff Nein. Man legt damit fest, was sei. Es ist eine Annahme, die man nicht beweisen muss, und die im Folgenden einfach gilt. Natürlich kann man damit eine inkonsistente Teilwelt erzeugen (im konkreten Beispielfall nicht), aber das stört nicht.\(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-08

\quoteon(2021-12-08 16:25 - nzimme10 in Beitrag No. 5) Wenn $X$ leer ist, dann kann ich auch nicht "Sei $x\in X$" schreiben \quoteoff Natürlich kann man das. \quoteon(2021-12-08 15:42 - traveller im Themenstart) Wenn man sagt "Sei $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ beliebig", benutzt man dann bereits das Auswahlaxiom? \quoteoff Nein.


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nzimme10
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-12-08 22:51 - Triceratops in Beitrag No. 7) \quoteon(2021-12-08 16:25 - nzimme10 in Beitrag No. 5) Wenn $X$ leer ist, dann kann ich auch nicht "Sei $x\in X$" schreiben \quoteoff Natürlich kann man das. \quoteoff Könntest du das etwas ausführen und mir zeigen, was ich falsch verstehe? Wenn $X$ leer ist, dann kann ich annehmen, dass $x\in X$ wäre, das wird dann eben zu einer falschen Annahme, oder? LG Nico\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-12-08

\quoteon(2021-12-08 22:52 - nzimme10 in Beitrag No. 8) \quoteon(2021-12-08 22:51 - Triceratops in Beitrag No. 7) \quoteon(2021-12-08 16:25 - nzimme10 in Beitrag No. 5) Wenn $X$ leer ist, dann kann ich auch nicht "Sei $x\in X$" schreiben \quoteoff Natürlich kann man das. \quoteoff Könntest du das etwas ausführen und mir zeigen, was ich falsch verstehe? Wenn $X$ leer ist, dann kann ich annehmen, dass $x\in X$ wäre, das wird dann eben zu einer falschen Annahme, oder? \quoteoff Warum soll ich nicht schreiben können: Waldi sei ein grün-orange-karierter Hund? Und dann beschreiben, was Waldi so alles macht. Ob das sinnvoll ist, ist natürlich eine andere Frage ;-) Bei indirekten Beweisen macht man doch so etwas ständig.


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nzimme10
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Das ist mir schon klar, ich vermute es war einfach ein sprachliches Problem für mich und ich habe die Aussage "Sei $x\in X$" folglich falsch interpretiert. Dennoch danke für die erneute Erläuterung. LG Nico\(\endgroup\)


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