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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Knobelaufgabe: Die Bibliothek des Grafen Dracula
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Universität/Hochschule Knobelaufgabe: Die Bibliothek des Grafen Dracula
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2004-10-27


Hallo, ich hoffe ihr seid besser im Lösen von Knobelaufaben als ich? ... sicher seid hier das    

Unter dem folgenden Link (.pdf) findet sich eine Aufgabe Nr. 6, die wie folgt lautet:

In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei Bücher, deren Inhalt aus gleich
vielen Wörtern besteht. Außerdem ist die Anzahl der Bücher größer als die Anzahl der
Wörter jedes einzelnen Buches. Diese Aussagen genügen, um den Inhalt mindestens
eines Buches aus Draculas Bibliothek genau zu beschreiben. Was steht in dem Buch?



Folgendes "Gerüst" habe ich mir konstruiert:

fed-Code einblenden


Wie mache jetzt weiter?

Vielen Dank im Voraus,

Volker

[ Nachricht wurde editiert von mathlab am 29.10.2004 01:28:00 ]



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2004-10-27


Hallo,
muß es am Schluß nicht > heißen?

Oder ist der Text falsch?
Gruß W.

-----------------
Arbeit ist der Fluch der trinkenden Klassen (Oscar Wilde)
besonders jetzt, wo der Herbst aufs Gemüt drückt.
[ Nachricht wurde editiert von Wauzi am 27.10.2004 20:37:55 ]



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-10-27


Hi Wauzi!

Danke, ich habe es schnell geändert   ;-)  

Auf meinem Konzeptblatt stand es noch richtig herum.
Das kann passieren ....

Gruß, Volker



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2004-10-27


Hallo, überlege mal, wenn das "größte" Buch nur ein Wort hat....
Gruß Wauzi



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2004-10-27


dann würde in der Bibliothek wegen der "Disjunktheit der Inhalte" nur genau ein Buch stehen., weil mehr als 1 Wort nicht zugelassen ist und ein Buch mit 0 Worten in dem Sinne kein Buch repräsentieren kann.




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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2004-10-27


Warum soll ein Buch nicht ohne Inhalt sein?



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2004-10-27


je nach Definition, aber ich bin der Meinung ein Buch hat Inhalt  ...

mathematisch ist natürlich auch ein Buch ohne Inhalt (= 0 Wörter) zugelassen.

Aber wollen wir die Aufgabe nicht an die Realität ausrichten?
Wer kauft schon ein Buch mit leeren Seiten und stellt es in seine persönliche Bibliothek?

(Davon abgesehen, dass es natürlich Dracula auch nicht gibt.)



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2004-10-27


Hallo,
dann wird sich Dein Problem nicht lösen lassen.
Dann geht das echt größer nicht!!
Gruß Wauzi



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2004-10-27


Danke Wauzi!

ok, dann fasse ich zusammen:

In Dracula's Bibliothek steht immer mindestens ein Buch, weil der Inhalt nie kleiner als den Betrag von Null annehmen kann und die Anzahl der Bücher strikt größer als die Anzahl der Wörter jedes einzelnen Buches ist.

Nehmen wir jetzt den Fall an, dass das größte Buch den Inhalt := 0 Wörter hat, so existiert in dieser besagten Bibliothek genau ein Buch mit keinem Inhalt.

Jetzt verbleibt die Frage, ob in den anderen Fällen das Buch mit "keinem Inhalt" auch vorhanden ist?


[ Nachricht wurde editiert von mathlab am 27.10.2004 23:27:44 ]



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2004-10-27


Hallo,
zum Restbeweis:
Das größte Buch habe n Wörter. Folglich gibt es mindestens n+1 Bücher.
Gäbe es kein leeres Buch, hätten demnach mindestens zwei Bücher gleich viel Wörter, da keines mehr als n Wörter hat, Schubfachprinzip), was ein Widerspruch ist.
Also existiert ein leeres Buch.
Gruß Wauzi



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2004-10-28


Hi,
ich hätte mit den Büchern argumentiert.
Die Bibliothek enthalte n Bücher. Da sie alle verschiedene Wortanzahl <n haben, bleibt nur 0, 1, ..., n-1 Wörter für die einzelnen Bücher.
Gruß vom 1/4



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
carlito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2006-03-01


Hi Leute,

ist das wirklich ein 100% korrekter Beweis, wenn ich folgendes sage:

Damit die Bücheranzahl grösser ist als die Anzahl der Wörter jedes einzelnen Buches, muss es ein Buch geben welches kein Wort enthält, (da nach Voraussetzung keine zwei Bücher die gleiche Wortanzahl haben.)

Muss folgender Satz dazu?
Wenn es nämlich kein Buch geben würde, welches kein Wort enthält, wäre die Anzahl der Wörter jedes einzelnen Buches mind. genauso gross wie die Anzahl der Bücher.

Danke

Grüsse...
[ Nachricht wurde editiert von carlito am 01.03.2006 14:43:38 ]



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fru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2006-03-02


2006-03-01 14:36: carlito schreibt:
Muss folgender Satz dazu?
Wenn es nämlich kein Buch geben würde, welches kein Wort enthält, wäre die Anzahl der Wörter jedes einzelnen Buches mind. genauso gross wie die Anzahl der Bücher.



Hi, carlito!

Dieser Satz darf nicht dazu, weil er falsch ist.
Statt "jedes einzelnen Buches" gehört "mindestens eines Buches".

Der korrigierte Satz begründet die Lösung näher als dies in der
Klammer Deines ersten Satzes geschieht und ist sicherlich nicht
überflüssig.

Wenn ich nicht gerade Zeitdruck habe bei einer Arbeit,
dann würde ich für den Beweis zumindest zwei, drei Sätze
verwenden (eher mehr), um den Gedankengang ausführlich
darzustellen.

Liebe Grüße, Franz




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carlito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2006-03-02


Hi fru,

danke für die präzise Antwort!

ich meinte schon das richtige.
In der Aufgabenstellung steht auch "jedes einelnen Buches" und damit ist das Buch gemeint, welches die höhste Wortanzahl hat.
Deswegen habe ich auch "jedes einzelnen Buches" übernommen, was aber in meinem Zusammenhang (also im Beweis), so wie Du sagt, natürlich nicht stimmt.

Wenn ich aber statt "jedes einzelnen Buches" schreibe "des Buches mit der grössten Wortanzahl", so wie es ja in der Aufgabenstellung auch gemeint ist, dann würde es doch stimmen oder? und müsste dann auch ein 100%iger Beweis sein, seh ich das richtig?
Und weitere Sätze müssten auch nicht dazu oder?

Grüsse...


[ Nachricht wurde editiert von carlito am 02.03.2006 12:33:40 ]
[ Nachricht wurde editiert von carlito am 03.03.2006 20:33:10 ]



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carlito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2006-03-03


*hochschieeeeb*



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wulfgar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2006-03-04


die diskussion ist interessant, aber das problem ist meiner meinung nach nicht "mathematisch". die problemstellung setzt voraus, dass der inhalt eines buches aus der problemstellung abgeleitet werden MUSS. dieses buch kann also nur leer sein, da es unendlich viele andere bücher mit mindestens einem ("sinnlosen") wort gibt.



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carlito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2006-03-04


Hi wulfgar,

freu mich dass endlch mal einer dazu was schreibt :-)
Es ist ein mathematisches Problem, da ich es aus einem Mathebuch habe.
Ich verstehe nicht, was Du meinst, wenn Du sagt, dass der Inhalt des Buches aus der Problemstellung abgeleitet werden muss?!?

Ich glaube nicht dass Deine Begründung ok ist.
Wer sagt denn, dass es unendlich viele andere Bücher gibt?

Grüsse...



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wulfgar
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Aus: Hamburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2006-03-04


nicht mathematisch ist vielleicht übertrieben, jedes problem ist mathematisch ;)

gucken wir uns das problem nochmal an:

1) In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei Bücher, deren Inhalt aus gleich vielen Wörtern besteht.

2) Außerdem ist die Anzahl der Bücher größer als die Anzahl der
Wörter jedes einzelnen Buches.

3) Diese Aussagen genügen, um den Inhalt mindestens eines Buches aus  Draculas Bibliothek genau zu beschreiben.

4) Was steht in dem Buch?

aus 2) folgt, dass es mindestens ein buch geben muss. denn ein leeres buch enthält die kleinste anzahl an wörtern: 0
jetzt steht in 4) eine konkrete anforderung. man soll sagen, was explizit in einem der bücher steht.

was ich mit unendlich viele worte meinte war folgendes: da wir nichts weiteres über die bibliothek wissen, können wir auch keine aussage darüber treffen, was in den büchern steht. zudem lässt sich über einem endlichen alphabet eine unendliche anzahl an büchern schreiben.
das einzige buch, über das sich eine exakte aussage treffen lässt, ist ein leeres buch.

ein leeres buch steht in keinem widerspruch zu den bedingungen. es könnte sogar das einige buch der bibliothek sein.

daher ist das einzige buch, dass sich anhand dieser aussagen beschreiben lässt, ein leeres buch. und in diesem buch steht, wen verwunderts, nichts.


warum ich "nicht mathematisch" geschrieben habe liegt daran, dass mir dieses rätsel eher wie eine denksportaufgabe aus einem rätselheft vorkommt.



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carlito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2006-03-04


Hi wulfgar,

ich glaube nicht dass Du recht hast.
Wie kommst Du darauf dass aus 2 folgt, dass es mind. ein Buch geben muss? Ich erkenne aus 2, dass es mindestens 2 Bücher geben muss, da ja BüchER Mehrzahl ist.

Ich würde eher so argumentieren wie ich es oben gemacht habe.
Vielleicht findet sich ja doch jemand, der mir bestätigt, dass mein Beweis 100% ok ist :-)

Grüsse...



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2006-03-04


Hallo ihr Knobler,
die Aufteilung des Problems in Einzelpunkte ist durchaus hilfreich, allerdings ist (4) keine Voraussetzung sondern das zu lösende Problem.
Da es mehr als ein Wort gibt, folgt aus (3) sofort, daß es ein leeres Buch geben muß, da sonst sein Inhalt nicht angebbar wäre. Also ist die Lösung "leer".
Verzichtet man auf (3), ist das Problem nur im Falle einer endlichen Bibliothek lösbar. Denn dann folgt, wie schon früher bewiesen wurde, die Aussage (3) und damit das gleiche wie oben.
Ist die Bibliothek unendlich, ist das Problem ohne (3) nicht lösbar.
Gruß Wauzi



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carlito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2006-03-04


Hi Wauzi,

wie kommst du darauf, dass es mehr als ein Wort gibt?

Es könnte doch nur ein leeres Buch und ein Buch mit einem Wort in der Bibliothek sein, und die Aufgabe wäre trotzdem richtig.

Grüsse...



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2006-03-04


2006-03-01 14:36: carlito schreibt:
... Damit die Bücheranzahl grösser ist als die Anzahl der Wörter jedes einzelnen Buches, muss es ein Buch geben welches kein Wort enthält, (da nach Voraussetzung keine zwei Bücher die gleiche Wortanzahl haben.)

Muss folgender Satz dazu?
Wenn es nämlich kein Buch geben würde, welches kein Wort enthält, wäre die Anzahl der Wörter jedes einzelnen Buches mind. genauso gross wie die Anzahl der Bücher.

Hi carlito,
der Satz muß nicht dazu, denn er ist falsch. Und egal, ob mit diesem oder ohne diesen Satz, ist dein Argument nicht schlüssig.
Du mußt irgendwie das Dirichletsche Schubfachprinzip (englisch: pigeon hole principle, also Taubenschlagprinzip) einbauen, oder mußt ein einfaches Abzählargument, wie ich unten erkläre, benutzen.
Dies wurde auch von Wauzi und viertel und anderen bereits erklärt.

Ich schreibe es nochmal mit meinen Worten:
Es sei n die Anzahl der Bücher.
Mögliche Wortanzahlen dieser Bücher sind dann 0,1,2,...,n-1.
Aber dies sind genau n Zahlen, und nach Voraussetzung kommt keine Wortanzahl mehr als einmal vor.
Also kommt jede Wortanzahl genau einmal vor, also auch die Wortanzahl 0. Dracula hat tatsächlich ein leeres Buch in seiner Bibliothek, was zu beweisen war.
Gruß Buri
PS: Seitenzahl durch --> Wortanzahl ersetzt, ja natürlich!

[ Nachricht wurde editiert von Buri am 04.03.2006 17:24:51 ]



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carlito
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.12.2004
Mitteilungen: 367
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2006-03-04


Hi Buri,

danke!
es muss statt Seitenzahl, Wortanzahl heissen...

Ich versuchs grad nachzuvollziehen was Du geschrieben hast.

Grüsse...



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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11372
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2006-03-04


2006-03-04 14:42: carlito schreibt:
Hi Wauzi,

wie kommst du darauf, dass es mehr als ein Wort gibt?

Es könnte doch nur ein leeres Buch und ein Buch mit einem Wort in der Bibliothek sein, und die Aufgabe wäre trotzdem richtig.

Grüsse...


Es gibt in der Welt mehr als ein Wort, also weißt Du in einem Buch, das mindestens ein Wort enthält, nicht, welches es ist. Folglich kann die Bedingung, so es sie denn gibt, daß mam von mindestens einem Buch den Inhalt kenne, nie für ein Buch mit nichtleerem Inhalt erfüllt sein.
Damit ist auch die Bedingung (3) als Voraussetzung nicht sehr sinnvoll.
Und wie gesagt, wenn nur (1) und (2) vorausgesetzt werden, ist das Problem ja schon gelöst.
Gruß Wauzi



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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11372
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2006-03-04


Ob Wort- oder Seitenanzahl ist doch egal. Nimm an, auf jeder Seite steht genau ein Wort.
Ein Buch ohne Wörter, habe auch keine Seiten.



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weserus
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Dabei seit: 13.12.2003
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Aus: Northeim
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2006-03-04


Hallo,

und zu Buri's Lösung als sog. Abrundung:

In der sog. Dracula-Literatur taucht dieses
Buch ohne Seiten häufiger auf.
Zuletzt in Elisabeth Kostava's Dracula-Roman:
'Der Historiker'. Nachweis hier
unter dem Untertitel:'Geschichte wird zur Gefahr'.

Gruss Peter



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carlito
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.12.2004
Mitteilungen: 367
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2006-03-04


Buri,

ich versuchs nochmal mit meinen eigenen Worten:

Sei n die Anzahl der Bücher.
Da jede Wortanzahl einmal vorkommt, sehen die Wortanzahlen der Bücher folgendermassen aus: 0,1,2,...,n-1.
Es muss also ein Buch geben, welches die Wortanzahl 0 hat, da sonst die Wortanzahl des Buches mit den meisten Worten nicht kleiner als die Bücheranzahl ist.
Grüsse...



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2006-03-04


Hi carlito,
nein.
Das Argument "da jede Wortanzahl einmal vorkommt" ist nicht zwingend.
Du schreibst ferner
>>> da sonst die Wortanzahl des Buches mit den meisten Worten
>>> nicht kleiner als die Bücheranzahl ist ...
Auch das leuchtet mir nicht ein.
Wauzi und viertel und auch ich haben dir nun ausreichende Begründungen geliefert, aber wie du es nun formulierst, kann man es leider nicht gelten lassen.
Der entscheidende Schluß ist:
Die Menge der Wortanzahlen, die Bücher auf Grund der Voraussetzung haben können, hat die gleiche Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) wie die Menge der Bücher, nämlich n, wenn es n Bücher sind.
Ferner müssen die Wortanzahlen der Bücher paarweise verschieden sein, daraus folgt, daß jede mögliche Wortanzahl auch vorkommt, und zwar genau einmal.
Gruß Buri



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carlito
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.12.2004
Mitteilungen: 367
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2006-04-07


Hi Buri,

danke, habs jetzt endlich kapiert.

Grüsse...



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Amuelz
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.01.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2020-01-23


Hallo zusammen,

Eben ist mir diese Aufgabe in einer Prüfung über Logik begegnet, allerdings in einer Verschärfung. Die Aufgabe hat wie folgt gelautet.

Die Bibliothek des Grafen Dracula enthält Bücher, welche paarweise nicht aus derselben Anzahl Wörter bestehen. Die Anzahl Bücher ist grösser als die Summe der Wörter aller Bücher. Diese Aussagen reichen, um den Inhalt von mindestens einem Buch zu bestimmen.

Die Lösung, die ich mir überlegt habe, funktioniert unter der Annahme, dass die Bibliothek nur endlich viele Bücher hat. (Dies im Gegensatz zu Hilberts Hotel, das unendlich viele Zimmer hat.)

B sei das Buch mit der maximalen Anzahl Wörter. Die Anzahl Wörter des Buches B sei n. Dann gibt es insgesamt mehr als n Bücher in der Bibliothek von Dracula, also mindestens n + 1 Bücher.
Da diese n + 1 Bücher alle aus einer unterschiedlichen Anzahl von Wörtern bestehen, muss es zu jeder Zahl k \in {0, ..., n} ein Buch geben mit k Wörtern. (Dieses Argument zeigt auch, dass es nicht mehr als n + 1 Bücher in der Bibliothek geben kann.) Insbesondere muss es ein Buch mit null Wörtern geben. Dies *ist* tatsächlich das gesuchte Buch, dessen Inhalt durch die obigen Aussagen bestimmt werden kann.

Es gibt nun zwei verschiedene Möglichkeiten, wie die Bibliothek aussehen kann. Die Bedingung für die Anzahl Bücher lautet: Anzahl Bücher > Summe der Zahlen von 1 bis n + 1. Diese Gleichung ist nur erfüllbar für n = 0 oder n = 1. Also sind die beiden möglichen Lösungen für die Bibliothek des Dracula:

- Die Bibliothek enthält genau ein Buch, welches null Wörter enthält.
- Die Bibliothek Sie enthält genau zwei Bücher. Das eine Buch enthält null Wörter, das andere eines.



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6220
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2020-01-24


Herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten!

Mir ist nicht klar, ob Dein Beitrag als Frage gemeint ist, aber deine Ausführungen sind korrekt.

Möchte man unendliche Anzahlen von Büchern in Betracht ziehen, dann bräuchte man eine klarere Definition von "größer als".
Ersetzt man das durch "mächtiger als", dann gibt es keine Lösung mit unendlich vielen Büchern.
Fordert man nur, dass es eine Bijektion zwischen der Menge der Wörter und einer echten Teilmeng der Bücher geben muss, dann ist sehr viel möglich, insbesondere muss es dann kein leeres Buch mehr geben.



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