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Strukturen und Algebra » Gruppen » Wohldefinierte Verknüpfung in Quotientenmonoiden
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Universität/Hochschule Wohldefinierte Verknüpfung in Quotientenmonoiden
elias114
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Dabei seit: 15.09.2021
Mitteilungen: 39
  Themenstart: 2022-01-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\) Hallo, ich hätte da eine Frage zur Wohldefiniertheit: Wenn ich auf einem Monoid $(M, \circ)$ eine Kongruenzrelation $(\sim)$ definiere, kann ich auf meiner Quotientenmenge $M/(\sim)$ eine Verknüpfung $$(\bullet): M/(\sim) \times M/(\sim) \to M/(\sim), ([m], [n]) \mapsto [m \circ n]$$ definieren. (Dann ist $(M/(\sim), \bullet)$ das Quotientenmonoid.) Nun ist meine Frage, ob ich hier überhaupt noch zeigen muss, dass $(\bullet)$ wohldefiniert ist. Allgemein tue ich mich mit dem Begriff "Wohldefiniertheit" etwas schwer. Folgt das nicht unmittelbar daraus, weil $(\sim)$ eine Kongruenzrelation ist? Oder gibt es Beispiele, bei denen die Verknüpfung nicht wohldefiniert ist? Danke und Grüße!\(\endgroup\)

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tactac
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-06

Wenn du dir nicht sicher bist, ob "überhaupt etwas zu zeigen ist", zeige es einfach. (Aber eben nicht mit "folgt unmittelbar" sondern konkret und explizit und detailliert.)

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elias114
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\) Für $m, m', n, n' \in M$ muss ich doch für die Wohldefiniertheit zeigen, dass $$[m] = [m'] \land [n] = [n'] \implies [mn] = [m'n'].$$ Das lässt sich doch auf die Kongruenzeigenschaft von $(\sim)$ zurückführen, oder? (Wenn mein Ansatz stimmt, dann glaube ich, dass ich mich mit "unmittelbar" nicht zu weit aus dem Fenster lehne...)\(\endgroup\)

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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \quoteon(2022-01-07 10:07 - elias114 in Beitrag No. 2) Für $m, m', n, n' \in M$ muss ich doch für die Wohldefiniertheit zeigen, dass $$[m] = [m'] \land [n] = [n'] \implies [mn] = [m'n'].$$ \quoteoff Ja. \quoteon(2022-01-07 10:07 - elias114 in Beitrag No. 2) Das lässt sich doch auf die Kongruenzeigenschaft von $(\sim)$ zurückführen, oder? \quoteoff Wie tactac bereits empfohlen hat: Probier es doch einfach mal aus. Offenbar siehst du das noch nicht "unmittelbar", sonst würdest du keine Fragen stellen (und das ist nichts, was einem peinlich sein muss). Schreib aus, was die Definitionen bedeuten.\(\endgroup\)

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elias114
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\) Also: Für $m, m', n, n' \in M$ gilt: $\qquad \ [m] = [m'] \land [n] = [n']$ $\implies m \sim m' \land n \sim n'$ $\stackrel{(*)}{\implies} mn \sim m'n'$ $\implies [mn] = [m'n'],$ wobei $(*)$ die Kongruenzeigenschaft von $(\sim)$ benötigt. Passt das?\(\endgroup\)

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Kezer
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \quoteon(2022-01-07 10:18 - elias114 in Beitrag No. 4) $\implies m \sim m' \land n \sim n'$ $\implies mn \sim m'n'$ \quoteoff Wieso gilt das? (Bzw. du solltest zumindest kurz schreiben, wo die Eigenschaft der Kongruenzrelation mit eingeht.)\(\endgroup\)

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elias114
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\) Weil $(\sim)$ eine Kongruenz ist (so habe ich es bspw. hier gefunden). Aber du hast recht, es wäre gut, es kurz zu vermerken, ich habe es editiert.\(\endgroup\)

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Kezer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-07

Passt, sehr gut. :-)

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elias114
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-07

Alles klar, danke!!

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tactac
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Man kann durchaus auch immer kurze Begründungen angeben: $$ \begin{array}{rclll} [m] = [m'] \land [n] = [n'] &\implies& m \sim m' \land n \sim n' & \text {Def. }[-] \\&\implies&mn \sim m'n' & \sim \text{ Kongruenz} \\&\implies&[mn] = [m'n'] & \text {Def. }[-] & \square \end{array}$$\(\endgroup\)

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