Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Polynome » m-adische Topologie
Autor
Universität/Hochschule m-adische Topologie
NffN1
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2020
Mitteilungen: 130
  Themenstart: 2022-01-14 18:43

Guten Tag, ich habe Probleme mit der folgenden Aufgabe: Betrachte den Ring der formalen Potenzreihen $K[[x]]=K[[x_1,...,x_n]]$ in n Variablen über einem Körper K, versehen mit der m-adischen Topologie gegeben durch die Umgebungsbasis $m^k=^k$ von 0. Nun muss ich zeigen, dass Addition und Multiplikation stetige Abbildungen sind. Dafür brauch ich ja eine offene Menge U im Bild und muss dann zeigen, dass $f^{-1}(U)$ auch offen ist. $(f:K[[x]]\times K[[x]]\to K[[x]]$ mit $f((a,b))=a+b)$ Die Definition von offen ist: $U\subseteq K[[x]]$ offen $\iff \forall f\in U\exists k$ mit $f+m^k\subseteq U$ Ich weiss nun aber nicht wie ich zeigen soll, dass $f^{-1}(U)$ offen ist. MfG, Noah


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3197
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-14 19:03

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, sei $(a,b)\in f^{-1}(U)$. Kannst Du Umgebungen $U_a$ von $a$ und $U_b$ von $b$ in $K[[x]]$ finden, so dass $U_a\times U_b\subseteq f^{-1}(U)$?\(\endgroup\)


   Profil
NffN1
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2020
Mitteilungen: 130
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 19:17

Eben das weiss ich nicht. Es gilt ja $(a,b)+m^k\subseteq U_a\times U_b$ aber ich weiss nicht ob mir das weiterhilft. Es kann auch daran liegen, dass ich Schwierigkeiten habe die Definition von offen zu verstehen.


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3197
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-14 19:21

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2022-01-14 19:17 - NffN1 in Beitrag No. 2) Eben das weiss ich nicht. Es gilt ja $(a,b)+m^k\subseteq U_a\times U_b$ \quoteoff Der Ausdruck $(a,b)+m^k$ ergibt gar keinen Sinn. Beachte, dass $(a,b)$ ein Element von $K[[x]]\times K[[x]]$ ist, $m^k$ aber ein Ideal von $K[[x]]$ Du musst mit der Produkttopologie auf $K[[x]]\times K[[x]]$ arbeiten.\(\endgroup\)


   Profil
NffN1
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2020
Mitteilungen: 130
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 19:52

Die Produkttopologie hat ja Basis $B=\{U_1\times U_2:U_i$ offen in $ K[[x]]\}$ Jede offene Menge in $K[[x]]\times K[[x]]$ lässt sich also darstellen als $U_a\times U_b$ mit $a+m^{k_a}\subseteq U_a$ und $b+m^{k_b}\subseteq U_b$. Kann ich behaupten: $(a+m^{k_a})\times (b+m^{k_b})\subseteq U_a\times U_b$? Nun weiss ich aber noch nicht wie ich die Verbindung zu $f^{-1}(U)$ machen soll. Stehe ziemlich auf dem Schlauch.


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3197
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-14 20:01

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) $U_a$ und $U_b$ sind gesucht. Du kannst also sogar festlegen, dass $U_a:= a+m^{k_a}$ sein soll und analog für $U_b$. (Kleine Ubungsaufgabe, die nicht sofort aus der Definition folgt: Zeige, dass für alle $c\in K[[x]], k\in \IN$ die Menge $c+m^k$ offen in $K[[x]]$ ist.) Was $k_a$ und $k_b$ sein sollen, musst Du aber auch noch festlegen, und zwar so, dass $U_a\times U_b\subseteq f^{-1}(U)$.\(\endgroup\)


   Profil
NffN1
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2020
Mitteilungen: 130
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 20:14

Würde es gehen, wenn ich $k_a,k_b$ so wähle, dass $k_a+k_b=k$ mit k die "Potenz" von U? Aber falls ich gefunden habe, dass $U_a\times U_b\subseteq f^{-1}(U)$, dann habe ich eine offene Untermenge von $f^{-1}(U)$ gefunden. Wie beweist das nun, dass $f^{-1}(U)$ selbt offen ist?


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3197
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-14 20:21

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2022-01-14 20:14 - NffN1 in Beitrag No. 6) Würde es gehen, wenn ich $k_a,k_b$ so wähle, dass $k_a+k_b=k$ mit k die "Potenz" von U? \quoteoff Zeige Deine Begründung (oder zumindest einen Ansatz). \quoteon Aber falls ich gefunden habe, dass $U_a\times U_b\subseteq f^{-1}(U)$, dann habe ich eine offene Untermenge von $f^{-1}(U)$ gefunden. Wie beweist das nun, dass $f^{-1}(U)$ selbt offen ist? \quoteoff Eine Teilmenge $T$ eines topologischen Raums $X$ ist genau dann offen, wenn es für jedes $t\in T$ eine offene Teilmenge $V\subseteq X$ mit $V\subseteq T$ und $t\in V$ gibt.\(\endgroup\)


   Profil
NffN1
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2020
Mitteilungen: 130
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 20:32

$k_a+k_b=k$ scheint glaub ich falsch zu sein. Also die Potenzreihen in U müssen Ordnung k haben. Das heisst, wenn ich beliebige Potenzreihen in U_a und U_b addiere, dann muss die neue Potenzreihe auch Ordnung k haben, also $min\{k_a,k_b\}=k$.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5877
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-14 20:53

Hier ist es empfehlenswert, den Kontext zu verallgemeinern (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1939). Sei $R$ irgendein Ring. Sei $I_0 \supseteq I_1 \supseteq \dotsc$ irgendeine absteigende Folge von Idealen (der wichtigste Fall ist $I_n = J^n$ für ein festes Ideal $J$). Die induzierte Topologie ist so definiert: Eine Teilmenge sei offen, wenn sie für jeden Punkt $x$ auch $x + I_n$ für ein $n \geq 0$ enthält. Dass das tatsächlich eine Topologie ist, liegt an $x + I_{\max(n,m)} \subseteq (x + I_n) \cap (x + I_m)$. Dann sind Addition und Multiplikation von $R$ stetige Abbildungen. Der Beweis schreibt sich hier von alleine hin. Potenzreihen lenken nicht mehr von dem ab, was einzig und allein getan werden muss. Zudem hat man auch ein allgemeineres Resultat. Zum Beispiel die Stetigkeit der Addition im Punkt $(x,y)$: Per Definition müssen wir für jede offene Umgebung $U_{x+y}$ von $x+y$ offene Umgebungen $U_x$ und $U_y$ finden mit $U_x + U_y \subseteq U_{x+y}$. Wähle $n \geq 0$ mit $x+y+I_n \subseteq U_{x+y}$. Man wählt nun (was sonst?) $U_x = x + I_n$ und $U_y = y + I_n$. Ein noch abstrakterer Beweis argumentiert mit dem natürlichen Homomorphismus von Ringen $R \to \prod_n R/I_n$. Die rechte Seite ist topologisiert als ein Produkt von diskreten Räumen. Man bekommt also die initiale Topologie auf $R$. Das ist genau die oben angegebene Topologie. Dass Addition und Multiplikation stetig sind, folgt nun aus der universellen Eigenschaft der initialen Topologie und der entsprechenden (trivialen) Aussage für $\prod_n R/I_n$. Der Homomorphismus faktorisiert über einen Homomorphismus $R \to \lim_{n} R/I_n$. Der projektive Limes ist gerade die Vervollständigung von $R$ bezüglich der durch die Idealfolge induzierten Topologie.


   Profil
NffN1
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2020
Mitteilungen: 130
  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14 21:52

Ich bin noch immer etwas verwirrt. Wie kommt man von der "Umkehrabbildung"-Definition der Stetigkeit auf "finde $U_x,U_y$ so dass $U_x+U_y\subseteq U_{x+y}$"


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3197
  Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-14 22:37

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Das ist einfach die Definition von Offenheit in $R\times R$: Eine Teilmenge $T\subseteq R\times R$ ist offen, genau dann, wenn es für jedes $(x,y)\in T$ offene Umgebungen $U_x, U_y\subseteq R$ mit $x\in U_x, y\in U_y$ gibt, so dass $U_x\times U_y \subseteq T$. Im konkreten Beispiel ist $T=f^{-1}(U)$. Außerdem ist $U_x\times U_y\subseteq f^{-1}(U)$ wegen $f(U_x\times U_y) =U_x+U_y$ äquivalent zu $U_x+U_y \subseteq U$. Und wegen $U_{x+y}\subseteq U$ folgt aus $U_x+U_y \subseteq U_{x+y}$, dann natürlich auch $U_x+U_y \subseteq U$. \(\endgroup\)


   Profil
NffN1
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2020
Mitteilungen: 130
  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15 14:14

Okay, danke! Habs soweit verstanden. Als letztes habe ich noch für $g=(g_1,...,g_n)\in m\cdot K[[x]]^n$ den Einsetzungshomomorphismus gegeben: $\alpha_g:K[[x]]\to K[[x]],f(x)\to f(g(x))=f(g_1(x),...,g_n(x))$ Wie würden solche Element aussehen? $\alpha_g(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n)=\sum_{n=0}^{\infty}a_ng_1(x)^n\cdots g_n(x)^n=?$ Ist jedes $g_i(x)$ Linearkombination von Elementen aus m mit Potenzreihen? Ausserdem muss ich finden, wann $\alpha_g$ ein Algebren-Automorphismus ist. Es muss ja gelten, dass es zu jedem $\alpha_g$ eine Abbildung $\beta_g$ gibt, sodass $\alpha_g(\beta_g(f(x)))=\beta_g(\alpha_g(f(x)))=f(x)$ Die Umkehrabbildung von $\alpha_g$ ist, wenn ich es richtig gemacht habe, $\alpha_g^{-1}(f(x))=f(g^{-1}(f^{-1}(x)))$. Um also ein Automorphismus zu sein muss gelten $f^{-1}\circ g=g\circ f^{-1}=Id$. Kann man noch mehr dazu sagen?


   Profil
NffN1 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]