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Universität/Hochschule Wie funktioniert es, dass man mit Tupel Abbildungen bildet?
kambocaoky
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  Themenstart: 2022-01-15

Ich kannte das so, man hat eine Menge A z. B. A={1,2,3,4} dann eine Menge B={3,4,5} dann kann man Abbildungen von A --> B bilden. Nun bei unseren Übungsaufgaben, haben wir sachen wir N^2 x N (also dreifaches kartesisches Produkt) --> N ^3 also Abbildung von einem kartesischen Produkt zu einem anderen oder ich habe A= N^2 B= {0,1} --> N und dann A-->B Hee? Wie bildet man hier ABbildungen, dass sind doch jetzt Tupel und keine einstelligen Elemente mehr? Vorher haben wir Abbildungen immer mit einstellugen Elementen von Mengen gebildet, jetzt irgendwie mit so Tupel, wie soll das gehen?? (Kann das einer für Idioten, am besten mit wenig Fachwörtern, erklären?)


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tactac
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Hmm, um eine Funktion $f\colon A \to B$ anzugeben (oder was meinst du mit "bilden"?) kann man z.B. einfach hinschreiben, was der Funktionswert für beliebige Elemente von $A$ sein soll. Das hat dann etwa die Form "$f(\phi) := \psi$", wobei $\phi$ ein Muster ist, das auf Elemente von $A$ angewendet werden kann und dabei Variablen bindet, die in $\psi$ verwendet werden können. $\psi$ ist ein Term, der ein Element von $B$ bezeichnet. Falls $B$ selbst eine Menge von Funktionen ist, kann man das Prinzip auch verschachtelt anwenden. $f(\phi)$ müsste dann also eine Funktion sein, und um die zu spezifizieren, geben wir an, was $f(\phi)(\phi')$ ist. Manchmal will man auch Muster verwenden, die nicht ganz $A$ abdecken, dann kann man einfach mehrere solcher Gleichungen angeben, die insgesamt aber den ganzen Definitionsbereich abdecken und sich nicht widersprechen sollten. Muster sind (u.a.) * Variablennamen, * Konstanten, * Tupel von Mustern. Beispiel: $A=\IN^2$, $B=$ die Menge der Funktionen von $\{0,1\}$ nach $\IN$. Dann kann man ein mögliches $f\colon A \to B$ angeben per * $f(x,y)(0) := x$, * $f(x,y)(1) := y$. Eine andere mögliche Funktion $A \to B$ wäre angegeben durch $g(p)(x) := 7$. Und noch eine (das ist eigentlich dieselbe wie $f$, nur anders hingeschrieben): $h(x,y)(z) := (1-z)x + zy$\(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-16

Das Konzept einer Abbildung $f : A \to B$ ist unabhängig davon, ob die Elemente von $A$ oder $B$ "einstellig" sind – genauer gesagt ist dieser Begriff "einstellig" nicht einmal wohldefiniert. Eine Abbildung besteht aus einer Vorschrift, die jedem Element $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ zuordnet. Was das für Elemente sind (Zahlen, Abbildungen, Äpfel, Computer, Länder, Steuererklärungen, ...), spielt keine Rolle, sobald es eine Zuordnungsvorschrift gibt. Beispiel: Sei $A$ die Menge aller Dreiecke in der Ebene. Sei $B$ die Menge aller Punkte in der Ebene (also $\IR^2$). Dann gibt es eine Abbildung $S : A \to B$, die jedem Dreieck seinen (aus der Schulgeometrie bekannten) Schwerpunkt zuordnet. Das ist tatsächlich eine Abbildung, weil jedes Dreieck genau einen Schwerpunkt hat. Beispiel: Sei $A$ die Menge aller Länder auf unserem Planeten. Sei $B$ die Menge aller natürlichen Zahlen. Dann gibt es eine Abbildung $E : A \to B$ die jedem Land seine Einwohnerzahl zuordnet. Diese beiden Beispiele illustrieren bereits, wie anfangs gesagt, dass der Begriff "einstellig" nicht wohldefiniert ist (ist ein Land einstellig?) und dass es darauf aber beim Konzept der Abbildung auch gar nicht ankommt. Ein weiteres Beispiel, was du genannt hattest, ist $A = X^2 \times X$ und $B = X^3$ für irgendeine Menge $X$. Dann gibt es eine (bijektive) Abbildung $f : A \to B$, nämlich $f\bigl(((x_1,x_2),x_3)\bigr) := (x_1,x_2,x_3)$. Dass es sich tatsächlich um eine Abbildung handelt, liegt einfach daran, dass per Definition jedes Element von $X^2 \times X$ die Gestalt $((x_1,x_2),x_3)$ hat und man aus einem geordneten Paar eindeutig die beteiligten Elemente ablesen kann (also $x,y$ aus $(x,y)$ rekonstruieren kann). Ebenso einfach kann man die dazu inverse Abbildung $ g : B \to A$ hinschreiben, die ist $g\bigl((x_1,x_2,x_3)\bigr) := ((x_1,x_2),x_3)$. Für die Bilder von Abbildungen bei geordneten Paaren oder Tupeln benutzt man üblicherweise eine kürzere Schreibweise: $g(x_1,x_2,x_3)$ anstelle von $g\bigl((x_1,x_2,x_3)\bigr)$. Diese Schreibweise suggeriert allerdings das altmodische Konzept einer "mehrdimensionalen Abbildung". Der Punkt ist, dass es so etwas gar nicht gibt, zumindest im rein mathematischen Sinne und wenn wir (aber das führt jetzt zu weit) eine einsortige Sprache verwenden. Denn jede Abbildung bekommt genau ein Argument übergeben. Dass dieses Argument ein Tupel sein und damit aus mehreren Bestandteilen bestehen kann, ist hierfür ohne Belang.


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kambocaoky
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-16

\quoteon(2022-01-16 01:06 - Triceratops in Beitrag No. 2) Das Konzept einer Abbildung $f : A \to B$ ist unabhängig davon, ob die Elemente von $A$ oder $B$ "einstellig" sind – genauer gesagt ist dieser Begriff "einstellig" nicht einmal wohldefiniert. Eine Abbildung besteht aus einer Vorschrift, die jedem Element $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ zuordnet. Was das für Elemente sind (Zahlen, Abbildungen, Äpfel, Computer, Länder, Steuererklärungen, ...), spielt keine Rolle, sobald es eine Zuordnungsvorschrift gibt. Beispiel: Sei $A$ die Menge aller Dreiecke in der Ebene. Sei $B$ die Menge aller Punkte in der Ebene (also $\IR^2$). Dann gibt es eine Abbildung $S : A \to B$, die jedem Dreieck seinen (aus der Schulgeometrie bekannten) Schwerpunkt zuordnet. Das ist tatsächlich eine Abbildung, weil jedes Dreieck genau einen Schwerpunkt hat. Beispiel: Sei $A$ die Menge aller Länder auf unserem Planeten. Sei $B$ die Menge aller natürlichen Zahlen. Dann gibt es eine Abbildung $E : A \to B$ die jedem Land seine Einwohnerzahl zuordnet. Diese beiden Beispiele illustrieren bereits, wie anfangs gesagt, dass der Begriff "einstellig" nicht wohldefiniert ist (ist ein Land einstellig?) und dass es darauf aber beim Konzept der Abbildung auch gar nicht ankommt. Ein weiteres Beispiel, was du genannt hattest, ist $A = X^2 \times X$ und $B = X^3$ für irgendeine Menge $X$. Dann gibt es eine (bijektive) Abbildung $f : A \to B$, nämlich $f\bigl(((x_1,x_2),x_3)\bigr) := (x_1,x_2,x_3)$. Dass es sich tatsächlich um eine Abbildung handelt, liegt einfach daran, dass per Definition jedes Element von $X^2 \times X$ die Gestalt $((x_1,x_2),x_3)$ hat und man aus einem geordneten Paar eindeutig die beteiligten Elemente ablesen kann (also $x,y$ aus $(x,y)$ rekonstruieren kann). Ebenso einfach kann man die dazu inverse Abbildung $ g : B \to A$ hinschreiben, die ist $g\bigl((x_1,x_2,x_3)\bigr) := ((x_1,x_2),x_3)$. Für die Bilder von Abbildungen bei geordneten Paaren oder Tupeln benutzt man üblicherweise eine kürzere Schreibweise: $g(x_1,x_2,x_3)$ anstelle von $g\bigl((x_1,x_2,x_3)\bigr)$. Diese Schreibweise suggeriert allerdings das altmodische Konzept einer "mehrdimensionalen Abbildung". Der Punkt ist, dass es so etwas gar nicht gibt, zumindest im rein mathematischen Sinne und wenn wir (aber das führt jetzt zu weit) eine einsortige Sprache verwenden. Denn jede Abbildung bekommt genau ein Argument übergeben. Dass dieses Argument ein Tupel sein und damit aus mehreren Bestandteilen bestehen kann, ist hierfür ohne Belang. \quoteoff Danke, aber was ich nicht kapiere, z. B. bei: A= N^2 B= {0,1} --> N und dann A-->B, wobei A-->B eine bijektive Abbildung darstellen solle. Und die Definition muss nur exakt festlegen, wie einem Paar (a,b) Element von N^2 einer Funktion f:{0,1} --> N zuordnet. A entspricht den Tupeln der natürlichen Zahlen. B ist nichts anderes wie B={{(0,k),(1,u)| u und k sind natprliche Zahlen}} Also B ist auch ein haufen von Tupel. wie kann ich darauf mein A abbilen? Ich meine A ist ja eine unendliche Menge ebenfalls bestehend aus Tupeln, wo bei (x,y) x und y beides natürliche Zahlen sind und durch das kartesische Produkt entstanden sind... Ich muss ja dann bei A--> B Jedem Tupel von A ein Tupel von B zuordnen. Sagen wir mal ich nenne die Abbildung A--> B nun g Die Musterlösung von uns sieht so aus: g((a,b))=fa,b mit fa,b: {0,1}-->N 0-->a 1-->b Was ich hier nicht checke, dieses a,b bei g soll wahrscheinlich ein Tupel von A darstellen, aber warum schreibe ich das in das g? Und danach habe ich ein gleich Zeichen und dann kommt da fa,b... Dieses fa,b soll wahrscheinlich die Abbildung B darstellen oder? und danach sage ich, ich ordne a und b die 0 und 1 zu, aber warum ordne ich denen "nur" die 0 und die 1 zu? EIgentlich ist doch B auch eine Menge von Tupeln.... Ich müsste doch a und b, wenn die zu A gehören, jeweils ein Tupel von von B zu ordnen, da B ja nichts anderes als: B={{(0,k),(1,u)| u und k sind natprliche Zahlen}} sind? Also das ist mein Hauptproblem: WIr sagen B ist B={{(0,k),(1,u)| u und k sind natürliche Zahlen}}, also müsste ich doch jedem Tupel von A ein (0,k) und ein (1,u) zu ordnen... stattdessen ordne ich denen nur eine 0 und eine 1 zu??? B ist doch die Menge der Tupel B={{(0,k),(1,u)| u und k sind natürliche Zahlen}} also müsste doch jedes A Tupel ein B Tupel zugeordnet bekommen.. Aber warum sage ich nur, dass mein Tupel (a,b) was eine kartesisches Produkt von A darstellen soll nur eine 0 und eine 1 zugeordnet bekommt? B ist doch keine Menge die bloß aus 0´en und 1´en besteht?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
tactac
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) $B$ ist keine Menge von Tupeln, sondern eine Menge von Funktionen. Genauer: die Menge aller Funktionen $\{0,1\} \to \IN$. Daher muss ein $g\colon A \to B$, das also Elemente von $A$ auf Elemente von $B$ abbildet, Paaren natürlicher Zahlen eine Funktion $\{0,1\} \to \IN$ zuordnen. Wie in #1 schon geschrieben, reicht es dafür, anzugeben, was $g(a,b)$ sein soll mit Variablen $a,b \in \IN$. In deiner Musterlösung steht dann, dass das eben $f_{a,b}$ ist, mit $f_{a,b}(0)=a$ und $f_{a,b}(1)=b$. Das kann man auch wie in #1 vorgeschlagen zusammenfassen zu * $g(a,b)(0) := a$, * $g(a,b)(1) := b$. Die Inverse von $g$, $h\colon B \to A$, kann man übrigens per * $h(k) := (k(0),k(1))$ definieren. Dass $g,h$ wirklich Inverse voneinander sind, lässt sich dann so zeigen: 1) $g(h(k)) = k$ für alle $k \in B$ beweisen wir unter Ausnutzung der Extensionalität: $$\begin{array}{rclll} g(h(k))(0) &=& g(k(0),k(1))(0) & \text{Def. }h \\&=& k(0) & \text{Def. }g \end{array}$$ $$\begin{array}{rcll} g(h(k))(1) &=& g(k(0),k(1))(1) & \text{Def. }h \\&=& k(1) & \text{Def. }g & \square\end{array}$$ 2) $h(g(p)) = p$ für alle $p \in A$: $$\begin{array}{rcll} h(g(a,b)) &=& (g(a,b)(0),g(a,b)(1)) & \text{Def. }h \\&=& (a,b) &\text{2mal Def. }g & \square \end{array}$$ \(\endgroup\)


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