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Universität/Hochschule Minimum einer Funktion
Strohli
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  Themenstart: 2022-01-17

Liebes Forum, ich wollte Fragen, ob jemand eine Idee hätte, die Funktion f(x,y)=x*y, so zu verändern (Betrag, Quadrieren, Logarithmus,...), dass sie als eindeutiges Minimum den Punkt P=(1|1|1)(also x=1, y=1, f(x,y)=1) hat und überall differenzierbar ist. Mein bisheriger Ansatz: Erste Idee: f(x,y)=(|x-1|+1)*(|y-1|+1). Die Funktion hätte somit ein eindeutiges Minimum bei P=(1|1|1), ist aber anscheinend an manchen Punkten nicht differenzierbar. Zweite Idee: f(x,y)=((x-1)^2+1)*((y-1)^2+1) Hier ist grundsätzlich die Funktion überall differenzierbar, aber weicht leider mit größeren Werten immer mehr von der ursprünglichen Funktion ab. Vielen Dank im Voraus!


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-17

Hallo, zu dieser Fragestellung fehlt noch die Angabe eines Definitionsbereiches der Funktion. Ansonsten ist die Frage sinnfrei. LG Nico


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Strohli
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Definitionsbereich R^2->R.


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Caban
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-18

Hallo Du kannst aus deiner zweiten Idee die wurzel ziehen, das müsste gehen. Gruß Caban


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Strohli
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

Meinst du aus dem gesamten Ausdruck oder nur aus dem quadrierten Ausdruck? Wenn ich die Wurzel nur aus dem quadrierten Ausdruck ziehe, ist meine Funktion bei x=1 nicht differenzierbar. Und wenn ich sie aus dem gesamten Term ziehe, habe ich wiederum eine leichte Abweichung, nur diesmal in die andere Richtung. LG


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-01-19 09:41 - Strohli in Beitrag No. 4) Meinst du aus dem gesamten Ausdruck oder nur aus dem quadrierten Ausdruck? Wenn ich die Wurzel nur aus dem quadrierten Ausdruck ziehe, ist meine Funktion bei x=1 nicht differenzierbar. Und wenn ich sie aus dem gesamten Term ziehe, habe ich wiederum eine leichte Abweichung, nur diesmal in die andere Richtung. \quoteoff Hm, das mit den Abweichungen verstehe ich nicht so ganz. Mit "eindeutiges Minimum" meinst du im Themenstart doch ein globales Minimum, oder verstehe ich das falsch? Jedenfalls hat die Funktion \(f:\ \IR^2\to\IR\) mit \(f:\ (x,y)\mapsto x\cdot y\) im Ursprung einen Sattelpunkt und strebt in den ungeradzahligen Quadranten der xy-Ebene gegen \(\infty\), in den geradzahligen gegen \(-\infty\). Damit die gesuchte Funktion ein globales Minimum besitzt, muss man diese Ausgangsfunktion also mächtig gewaltig verbiegen... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Strohli
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

Ja, das Ziel wäre das globale Minimum bei (1,1,1). Und ja, man muss wahrscheinlich die Funktion ordentlich abändern. Mir geht es darum, mit dieser abgeänderten Funktion möglichst geringe Abweichungen bei f(x,y) von der ursprünglichen Funktion zu haben. Ich hoffe es ist einigermaßen verständlicher. LG


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-01-19 10:42 - Strohli in Beitrag No. 6) Ja, das Ziel wäre das globale Minimum bei (1,1,1). Und ja, man muss wahrscheinlich die Funktion ordentlich abändern. Mir geht es darum, mit dieser abgeänderten Funktion möglichst geringe Abweichungen bei f(x,y) von der ursprünglichen Funktion zu haben. Ich hoffe es ist einigermaßen verständlicher. \quoteoff Verständlicher schon. Aber das ist ein Widerspruch in sich, das ist das Problem. Um ein globales Minimum zu erhalten, muss man irgendwie diejenigen Bereiche, die gegen \(-\infty\) streben, "nach oben klappen" (das leistet der Vorschlag von Caban ganz gut). Aber damit ist das mit den möglichst geringen Abweichungen dann eben gegessen, denn deine Wunschfunktion muss am Rand entweder überall gegen \(\infty\) streben oder zumindest asymptotisch konstant werden. Vielleicht erzählst du uns einmal noch ein wenig mehr über den Kontext, so das klar wird, was diese Funktion leisten bzw. beschreiben soll. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Strohli
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

Die Funktion stammt aus einer Platzierung im Sport: 2 Platzierungen in den Teildisziplinen werden zu einer Gesamtwertung multipliziert -> f(x,y)=xy. (Daher auch das Minimum (1,1,1), da es die bestmögliche Gesamtwertung ist. Ich möchte nun eine Falllinie von einem beliebigen Punkt legen können. Dazu muss die Funktion ein eindeutiges Minimum haben und differenzierbar sein. LG


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Ok. Dann gibt es aber keinerlei Notwendigkeit dafür, eine solche Funktion auf ganz \(\IR^2\) zu definieren... Ich verstehe jetzt noch nicht einmal, warum du überhaupt Differenzierbarkeit benötigst. Für den geschilderten Zweck tut es deine Funktion, eingeschränkt auf \(f:\ \IN^{+}\times\IN^{+}\to\IN^{+}\), doch ebenfalls? Und was ist eine "Falllinie" im Zusammenhang mit Platzierungen beim Sport? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Strohli
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

Di Falllinie beschreibt zb. den Weg den eine Wasserquelle einen Berg hinunterfließen würde, also das steilste Gefälle. Die Falllinie hat den Zweck eine Optimierung anzugeben. Der Sportler würde sich ja entlang der Falllinie optimal verbessern. Einer diskreten Anschauung habe ich mich schon zuvor gewidmet (also im N^+). Differenzierbarkeit dient der Berechnung der Falllinie.


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Diophant
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, und was spricht gegen \[f(x,y)=x\cdot y\quad,\quad x\ge 1\wedge y\ge 1\] ? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Strohli
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

Soweit ich weiß, funktionieren dann die Berechnungen mit Mathematica nicht mehr. LG


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Caban
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-01-20

Hallo Was wäre mit f(x,y)=sqrt(x^3*y^2-x^2*y^2)*sqrt(y-1)/sqrt(x*y-y-x+1) Wäre eben für <1, aber der Grenzwert exisitiert.


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zippy
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-01-20

Zu lernen, wie man in Mathematica den Definitionsbereich einer Funktion einschränkt (siehe Diophants Beitrag Nr. 11), ist vermutlich sinnvoller, als eine einfache Funktion durch eine komplizierte zu ersetzen.


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Strohli
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-22

\quoteon(2022-01-20 20:22 - zippy in Beitrag No. 14) Zu lernen, wie man in Mathematica den Definitionsbereich einer Funktion einschränkt (siehe Diophants Beitrag Nr. 11), ist vermutlich sinnvoller, als eine einfache Funktion durch eine komplizierte zu ersetzen. \quoteoff Dann wäre ich sehr dankbar für ein Beispiel einer Funktion f:R^2->R in Mathematica mit eingeschränktem Definitionsbereich, wo anschließend das Anfangswertproblem y′= y(x) y′=(∂f/∂y)/(∂f/∂x), y(a)=b (y=y(x)) gelöst werden kann. Ich habe es mit Piecewise probiert, kann hier aber weder DSolve noch NDSolve anwenden.


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zippy
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-01-23

Wenn du auf Lösungen dieser Differentialgleichung hinauswillst, die in den Punkt $(1,1)$ einmünden, wird dir die Einschränkung von $f$ auf den Bereich $B=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\ge1,y\ge1\}$ nicht viel nützen, denn Mathematica wird dir einfach Lösungen liefern, die am Rand von $B$ enden. Eine Alternative besteht aber darin, nicht $f$ auf $B$ einzuschränken, sondern $B$ geeignet zu parametrisieren, die Differentialgleichung des steilsten Abstiegs in den neuen Variablen zu lösen und dann zurückzutransformieren. Für die Parametrisierung $B=\{(\exp(u^2),\exp(v^2)):(u,v)\in\mathbb R^2\}$ erhältst du beispielsweise die Funktionsschar $y(x)=x^\alpha$ mit $\alpha>0$. (Und diese Rechnung ist so einfach, dass du kein Mathematica dafür benötigst.)


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