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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Schwache Lösung
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Universität/Hochschule J Schwache Lösung
NffN1
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  Themenstart: 2022-01-18

Guten Tag, wie geht man vor um eine schwache Lösung von folgendem Problem zu finde: $(a(x)u')'-u=x$ für $x\in(0,1),u(0)=u(1)=0$ mit $a(x)=1$ für $x<1/2$ und $a(x)=4$ für $x>1/2$ Zuerst multipliziert man ja mit einer Testfunktion g und integriert, also: $\int_0^1(a(x)u')'gdx-\int_0^1ugdx=\int_0^1xgdx$ $\iff -\int_0^1a(x)u'g'dx-\int_0^1ugdx=\int_0^1xgdx$ und hier bin ich mir nicht mehr sicher: $\iff -\int_0^{1/2}u'g'dx-\int_{1/2}^{1}4u'g'dx-\int_0^1ugdx=\int_0^1xgdx$ $\iff 5u(1/2)g'(1/2)-\int_0^{1/2}ug''dx-\int_{1/2}^1ug''dx-\int_0^1ugdx=\int_0^1xgdx$ Und weiter komm ich nicht. Wie würde man das lösen? MfG, Noah


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piquer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-18

Hi Noah, wie die klassische Ableitung ist auch die schwache Ableitung lokal, untersuche deshalb zunächst die Fälle $x < 1/2$ und $x > 1/2$. Dort ist jede schwache Lösung eine starke Lösung (Wieso?). Wie erreichst du, dass die abschnittsweise definierte Funktion dann auch eine schwache Lösung auf dem gesamten Intervall ist? Viele Grüße Torsten [Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Gewöhnliche DGL' von piquer]


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NffN1
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Also meinst du so: $5u(1/2)g'(1/2)-\int_0^{1/2}ug''dx-\int_{1/2}^1ug''dx-\int_0^1ugdx=\int_0^1xgdx$ $\iff 5u(1/2)g'(1/2)-\int_0^{1/2}ug''dx-\int_{1/2}^1ug''dx-\int_0^{1/2}ugdx-\int_{1/2}^{1}ugdx=\int_0^{1/2}xgdx+\int_{1/2}^{1}xgdx$ $\iff 5u(1/2)g'(1/2)-\int_0^{1/2}(ug''+ug+xg)dx-\int_{1/2}^{1}(ug''+ug+xg)dx=0$ Ich verstehe ehrlich gesagt nicht so richtig was du meinst. Es geht doch einfach darum u zu berechnen oder?


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piquer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-18

Welche der von mir genannten Punkte sind dir unklar? Wie ich geschrieben habe, sollst du dir zunächst starke/klassische Lösungen auf $(0, 1/2)$ und $(1/2, 0)$ anschauen.


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NffN1
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Also die klassische Gleichung ist: Für x<1/2: $u=c_1e^x+c_2e^{-x}-x$ Für x>1/2:$u=c_3e^{x/2}+c_4e^{-x/2}-x$ Dann halt noch die Randterme... Kann ich jetzt einfach argumentieren, dass u zweimal stetig differenzierbar ist und daher auch eine distributionelle Lösung? Und noch zeigen, dass es an x=1/2 stetig ist.


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piquer
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-18

Nein, das ist keine schwache Lösung. Du hast noch zu viele freie Parameter. Wie kannst du sie eliminieren?


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NffN1
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Also mit den Randtermen habe ich: Für x<1/2: $u=\frac{1}{e-1/e}e^x-\frac{1}{e-1/e}e^{-x}-x$ Für x>1/2:$u=\frac{1}{\sqrt{e}-\sqrt{1/e}}e^{x/2}-\frac{1}{\sqrt{e}-\sqrt{1/e}}e^{-x/2}-x$ Nun haben die beiden Lösungen aber einen anderen Wert, wenn man sie an x=1/2 auswertet, sind also nicht stetig. Nun weiß ich nicht wie man eine schwache Lösung daraus gewinnt. Aber da die schwache Lösung ja keine Funktion sein muss, könnte man nicht auf x=1/2 eine senkrechte "Verbindung" der beiden Funktionen erstellen?


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piquer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-18

Du darfst nicht beide Randbedingungen bei beiden Gleichungen nutzen.


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NffN1
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Stimmt, dann nochmal: für $u_1(x)$ (also x<1/2) gilt $c_1=-c_2$, also $u_1(x)=c_1e^x-c_1e^{-x}-x$ Für $u_2(x)$ gilt $c_3=\frac{1-e^{-1/2}c_4}{e^{1/2}}$, also $u_2(x)=\frac{1-e^{-1/2}c_4}{e^{1/2}}e^{x/2}+c_4e^{-x/2}-x$ Nun gilt $u_1(1/2)=u_2(1/2)$ und daraus findet man c_1 abhängig von c_4 und findet somit ein von c_4 abhängiges Resultat. Da es nur 3 Randbedingungen gibt kann man ja dann kein genaues c_4. Ist die Antwort also von c_4 abhängig? Was mich aber noch verwirrt ist, was das mit der "üblichen" Methode (die man am Internet bzw in Büchern findet) schwache Lösungen zu berechnen zu tun hat. Also die, mit der ich anfangen hatte.


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piquer
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-18

\quoteon(2022-01-18 17:16 - NffN1 in Beitrag No. 8) Stimmt, dann nochmal: für $u_1(x)$ (also x<1/2) gilt $c_1=-c_2$, also $u_1(x)=c_1e^x-c_1e^{-x}-x$ Für $u_2(x)$ gilt $c_3=\frac{1-e^{-1/2}c_4}{e^{1/2}}$, also $u_2(x)=\frac{1-e^{-1/2}c_4}{e^{1/2}}e^{x/2}+c_4e^{-x/2}-x$ \quoteoff Das passt 👍 \quoteon(2022-01-18 17:16 - NffN1 in Beitrag No. 8) Was mich aber noch verwirrt ist, was das mit der "üblichen" Methode (die man am Internet bzw in Büchern findet) schwache Lösungen zu berechnen zu tun hat. Also die, mit der ich anfangen hatte. \quoteoff Man berechnet komplizierte Dinge wie schwache Lösungen, indem man sie auf bekannte, einfache Dinge reduziert. In unserem Fall helfen uns Resultate wie schwache = starke Ableitung für differenzierbare Abbildungen. Um dir weiterhelfen zu können, ist es auch wichtig, was du alles über schwache Ableitungen nutzen darfst. \quoteon(2022-01-18 17:16 - NffN1 in Beitrag No. 8) Da es nur 3 Randbedingungen gibt kann man ja dann kein genaues c_4. Ist die Antwort also von c_4 abhängig? \quoteoff Nein, es gibt eine eindeutige schwache Lösung (im Sobolev-Sinne).


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NffN1
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Super, danke für die Hilfe!


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