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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Warum ist die ≤-Relation eine Ordnungsrelation?
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Universität/Hochschule J Warum ist die ≤-Relation eine Ordnungsrelation?
kambocaoky
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55306_download.png Hi, so ist die Ordnungsrelation defineirt, also zusätzlich zur Halbordnungrelation, halt das was da steht. Was ich nicht kapiere, warum ist die Gleichheitsrelation keine Ordnungsrelation, aber die kleiner gleich Relation schon?? Ich könnte ja auch eine Kleinergleich Relation haben, wo ich nur Tupel habe, wo die Paare gleich sind oder nicht, dann hätte ich ja das gleiche wie eine Gleichheitsrelation... Und selbst wenn ich eine Mischung hätte, also eine Mischung aus Tupel wo ein Wert kleiner ist und Tupel wo beide Werte gleich sind, warum gilt die Mischung auch als kleiner gleich Relation?? Das irritiert mich doch sehr.


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 13:45 - kambocaoky im Themenstart) Ich könnte ja auch eine Kleinergleich Relation haben, wo ich nur Tupel habe, wo die Paare gleich sind oder nicht, dann hätte ich ja das gleiche wie eine Gleichheitsrelation... \quoteoff Das wäre eine Halbordnung, aber deine Definition möchte eine totale Ordnung, d.h. eine Ordnung, wo zwei beliebige Elemente immer vergleichbar sind. --zippy


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kambocaoky
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 13:58 - zippy in Beitrag No. 1) \quoteon(2022-01-19 13:45 - kambocaoky im Themenstart) Ich könnte ja auch eine Kleinergleich Relation haben, wo ich nur Tupel habe, wo die Paare gleich sind oder nicht, dann hätte ich ja das gleiche wie eine Gleichheitsrelation... \quoteoff Das wäre eine Halbordnung, aber deine Definition möchte eine totale Ordnung, d.h. eine Ordnung, wo zwei beliebige Elemente immer vergleichbar sind. --zippy \quoteoff Okay, aber dann ist ja eine kleiner gleich relation keine totale ordnung, da ja tupel vorhanden sein könnten, wo zwei elemente gleich sind oder?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 14:00 - kambocaoky in Beitrag No. 2) Okay, aber dann ist ja eine kleiner gleich relation keine totale ordnung, da ja tupel vorhanden sein könnten, wo zwei elemente gleich sind oder? \quoteoff Deine Definition sagt nur, dass zwei beliebige Elemente vergleichbar sein müssen. Sie hat nichts dagegen, dass ein Element kleiner gleich es selbst ist.


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kambocaoky
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 14:04 - zippy in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-01-19 14:00 - kambocaoky in Beitrag No. 2) Okay, aber dann ist ja eine kleiner gleich relation keine totale ordnung, da ja tupel vorhanden sein könnten, wo zwei elemente gleich sind oder? \quoteoff Deine Definition sagt nur, dass zwei beliebige Elemente vergleichbar sein müssen. Sie hat nichts dagegen, dass ein Elemente kleiner gleich es selbst ist. \quoteoff Okay, aber wenn ich eine kleiner gleich Relation haben würde, die nur Tupel hat, wo beide ELemente immer gleich sind, warum gilt das dann als Ordnungsrelation, aber die Gleichrelation nicht?


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 14:07 - kambocaoky in Beitrag No. 4) Okay, aber wenn ich eine kleiner gleich Relation haben würde, die nur Tupel hat, wo beide ELemente immer gleich sind, warum gilt das dann als Ordnungsrelation, aber die Gleichrelation nicht? \quoteoff Beide gelten als (Halb-)Ordnungsrelation, aber beide gelten nicht als totale Ordnungsrelation. Und deine Definition will eine totale Ordnungsrelation.


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kambocaoky
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 14:10 - zippy in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-01-19 14:07 - kambocaoky in Beitrag No. 4) Okay, aber wenn ich eine kleiner gleich Relation haben würde, die nur Tupel hat, wo beide ELemente immer gleich sind, warum gilt das dann als Ordnungsrelation, aber die Gleichrelation nicht? \quoteoff Beide gelten als (Halb-)Ordnungsrelation, aber beide gelten nicht als totale Ordnungsrelation. Und deine Definition will eine totale Ordnungsrelation. \quoteoff Okay, das heißt eine kleiner gleich Relation kann eine totale Ordnungsrelation sein und eine Halbordnungsrelation? Aber unser Tutor meinte eine kleiner gleich Relation sei auch imemr eine totale Ordnung


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 14:14 - kambocaoky in Beitrag No. 6) Okay, das heißt eine kleiner gleich Relation kann eine totale Ordnungsrelation sein und eine Halbordnungsrelation? \quoteoff Jede totale Ordnung ist auch eine Halbordnung, aber nicht jede Halbordnung ist auch eine totale Ordnung.


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kambocaoky
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 14:16 - zippy in Beitrag No. 7) \quoteon(2022-01-19 14:14 - kambocaoky in Beitrag No. 6) Okay, das heißt eine kleiner gleich Relation kann eine totale Ordnungsrelation sein und eine Halbordnungsrelation? \quoteoff Jede totale Ordnung ist auch eine Halbordnung, aber nicht jede Halbordnung ist auch eine totale Ordnung. \quoteoff Das verstehe ich, aber unser Tutor meinte, dass eine kleiner gleich Relation immer eine totale Ordnung sei, aber das verstehe ich nicht, wegen den von mir genannten Punkten


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 14:17 - kambocaoky in Beitrag No. 8) Das verstehe ich, aber unser Tutor meinte, dass eine kleiner gleich Relation immer eine totale Ordnung sei, aber das verstehe ich nicht, wegen den von mir genannten Punkten \quoteoff Das liegt vermutlich daran, dass der Begriff "kleiner gleich Relation" nicht eindeutig definiert ist und ihr beide etwas unterschiedliches darunter versteht.


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kambocaoky
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 14:19 - zippy in Beitrag No. 9) \quoteon(2022-01-19 14:17 - kambocaoky in Beitrag No. 8) Das verstehe ich, aber unser Tutor meinte, dass eine kleiner gleich Relation immer eine totale Ordnung sei, aber das verstehe ich nicht, wegen den von mir genannten Punkten \quoteoff Das liegt vermutlich daran, dass der Begriff "kleiner gleich Relation" nicht eindeutig definiert ist und ihr beide etwas unterschiedliches darunter versteht. \quoteoff Was genau heißt es, dass zwei beliebige Elemente vergleichbar sein müssen? Also das sagt ja die Definition aus, meint man damit zwei beliebige ELemente im gleichen Tupel?


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zippy
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 14:24 - kambocaoky in Beitrag No. 10) Was genau heißt es, dass zwei beliebige Elemente vergleichbar sein müssen? \quoteoff Dass für zwei beliebige Elemente $a$ und $b$ gilt: $a\le b$ oder $b\le a$ (oder beides). Oder in Tupel-Schreibweise, dass für zwei beliebige Elemente $a$ und $b$ gilt: $(a,b)\in R$ oder $(b,a)\in R$.


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kambocaoky
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 14:34 - zippy in Beitrag No. 11) \quoteon(2022-01-19 14:24 - kambocaoky in Beitrag No. 10) Was genau heißt es, dass zwei beliebige Elemente vergleichbar sein müssen? \quoteoff Dass für zwei beliebige Elemente $a$ und $b$ gilt: $a\le b$ oder $b\le a$ (oder beides). Oder in Tupel-Schreibweise, dass für zwei beliebige Elemente $a$ und $b$ gilt: $(a,b)\in R$ oder $(b,a)\in R$. \quoteoff Danke aber was bedeutet (a,b) oder (b,a)? Also was hat das genau zu bedeuten, dass das eine Element hitner dem anderen steht?


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zippy
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 15:04 - kambocaoky in Beitrag No. 12) Danke aber was bedeutet (a,b) oder (b,a)? Also was hat das genau zu bedeuten, dass das eine Element hitner dem anderen steht? \quoteoff Schau dir nochmal in deinem Skript oder Buch an, was allgemein ein Tupel und speziell ein Paar ist und wie diese mit der Definition einer Relation als Teilmenge eines kartesischen Produkts zusammenhängen.


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kambocaoky
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 16:18 - zippy in Beitrag No. 13) \quoteon(2022-01-19 15:04 - kambocaoky in Beitrag No. 12) Danke aber was bedeutet (a,b) oder (b,a)? Also was hat das genau zu bedeuten, dass das eine Element hitner dem anderen steht? \quoteoff Schau dir nochmal in deinem Skript oder Buch an, was allgemein ein Tupel und speziell ein Paar ist und wie diese mit der Definition einer Relation als Teilmenge eines kartesischen Produkts zusammenhängen. \quoteoff Naja ich weiß das schon z. B. {1,2} --> {(1,1), (1,2), (2,1),(2,2)} mich wundert nur, warum man sagt das (a,b) oder (b,a) enthalten sein müsse. Weil in einer Relation habe ich doch immer, wenn ich eine Relation habe, immer eine Teilmenge des kartesischen produkts und somit immer(a,b) oder (b,a) weil a und b ja einfach ein Tupel darstellwn, dass würde ja heißen müssen, dass jede Relation eine totale Ordnung ebsitzt, wenn es nur darumg eht, dass ein Tupel (a,b) oder (b,a) enthalten ist, ist ja kein xor, kann somit ja auch beides sein.


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zippy
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 16:56 - kambocaoky in Beitrag No. 14) dass würde ja heißen müssen, dass jede Relation eine totale Ordnung ebsitzt, wenn es nur darumg eht, dass ein Tupel (a,b) oder (b,a) enthalten ist, ist ja kein xor, kann somit ja auch beides sein. \quoteoff Es gibt doch Relationen $R$ und Elemente $a$ und $b$, so dass weder $(a,b)\in R$ noch $(b,a)\in R$ gilt.


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kambocaoky
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 17:11 - zippy in Beitrag No. 15) \quoteon(2022-01-19 16:56 - kambocaoky in Beitrag No. 14) dass würde ja heißen müssen, dass jede Relation eine totale Ordnung ebsitzt, wenn es nur darumg eht, dass ein Tupel (a,b) oder (b,a) enthalten ist, ist ja kein xor, kann somit ja auch beides sein. \quoteoff Es gibt doch Relationen $R$ und Elemente $a$ und $b$, so dass weder $(a,b)\in R$ noch $(b,a)\in R$ gilt. \quoteoff Wie O.o, eien Relation ist immer eine Teilmenge des kartesischen Produkts, sprich eine Relation beinhaltet doch immer ein Tupel, welches a und b darstellt, bei welchem Fall sollten den nicht a und b enthalten sein? Könntest Du mal eine Beispielrelation, mit Zahlen zeigen O.o?


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zippy
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 17:14 - kambocaoky in Beitrag No. 16) sprich eine Relation beinhaltet doch immer ein Tupel, welches a und b darstellt \quoteoff Nein: $R=\{(1,1)\}\subseteq\{1,2\}\times\{1,2\}$ enthält für $a=1$ und $b=2$ weder das Tupel $(a,b)$ noch $(b,a)$.


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\quoteon(2022-01-19 17:19 - zippy in Beitrag No. 17) \quoteon(2022-01-19 17:14 - kambocaoky in Beitrag No. 16) sprich eine Relation beinhaltet doch immer ein Tupel, welches a und b darstellt \quoteoff Nein: $R=\{(1,1)\}\subseteq\{1,2\}\times\{1,2\}$ enthält für $a=1$ und $b=2$ weder das Tupel $(a,b)$ noch $(b,a)$. \quoteoff Ach so ist das gemeint O.o, gut zu wissen O.o. Aber warum ist dann die Gleichheitsrelation keine Ordnungsrelation, da ist doch (a,b) immer enthalten udn sogar (b,a) O.o


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zippy
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 17:36 - kambocaoky in Beitrag No. 18) Aber warum ist dann die Gleichheitsrelation keine Ordnungsrelation, da ist doch (a,b) immer enthalten udn sogar (b,a) \quoteoff Das stimmt nicht. Die Gleichheitsrelation auf $\{1,2\}$ ist beispielsweise$$ R=\{(1,1),(2,2)\}\subseteq\{1,2\}\times\{1,2\} $$und die enthält für $a=1$ und $b=2$ weder das Tupel $(a,b)$ noch $(b,a)$.


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kambocaoky
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 17:41 - zippy in Beitrag No. 19) \quoteon(2022-01-19 17:36 - kambocaoky in Beitrag No. 18) Aber warum ist dann die Gleichheitsrelation keine Ordnungsrelation, da ist doch (a,b) immer enthalten udn sogar (b,a) \quoteoff Das stimmt nicht. Die Gleichheitsrelation auf $\{1,2\}$ ist beispielsweise$$ R=\{(1,1),(2,2)\}\subseteq\{1,2\}\times\{1,2\} $$und die enthält für $a=1$ und $b=2$ weder das Tupel $(a,b)$ noch $(b,a)$. \quoteoff Sorry, müsste natürlich die Menge nennen: M={1} MxM= {(1,1)} Gleichheitsrealtion={(1,1)} sieht identisch wie die kleiner gleich Relation aus, in meinem Skript steht jedoch, dass die Gleichrelation keine totale Ordnugn habe, verstehe nicht, warumd as hier nicht der Fall sei.


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ligning
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 18:03 - kambocaoky in Beitrag No. 20) M={1} MxM= {(1,1)} Gleichheitsrealtion={(1,1)} sieht identisch wie die kleiner gleich Relation aus, in meinem Skript steht jedoch, dass die Gleichrelation keine totale Ordnugn habe, verstehe nicht, warumd as hier nicht der Fall sei. \quoteoff In diesem Fall ist die Gleichheitsrelation auch eine totale Ordnung. Im allgemeinen Fall, also sobald die Menge mehr als 1 Element hat, ist das aber nicht mehr so.


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kambocaoky
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 18:40 - ligning in Beitrag No. 21) \quoteon(2022-01-19 18:03 - kambocaoky in Beitrag No. 20) M={1} MxM= {(1,1)} Gleichheitsrealtion={(1,1)} sieht identisch wie die kleiner gleich Relation aus, in meinem Skript steht jedoch, dass die Gleichrelation keine totale Ordnugn habe, verstehe nicht, warumd as hier nicht der Fall sei. \quoteoff In diesem Fall ist die Gleichheitsrelation auch eine totale Ordnung. Im allgemeinen Fall, also sobald die Menge mehr als 1 Element hat, ist das aber nicht mehr so. \quoteoff aso okay danke


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kambocaoky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
kambocaoky hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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