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Strukturen und Algebra » Gruppen » Gruppen: bijektive Abbildung Beweis
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Universität/Hochschule Gruppen: bijektive Abbildung Beweis
dorfschmied
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  Themenstart: 2022-01-19

Hallo, ich soll zeigen, dass die folgende Abbildung bijektiv ist. Da zwei Inversen das neutrale Element ergeben, habe ich folgendermaßen argumentiert: a/Sei K eine Gruppe, $g ,h \in K$ $$ \phi_{g}: K \rightarrow K, x \rightarrow g^{-1} x g $$ Da K eine Gruppe: $g^{-1} g=e$ (neutrales Element) $\Rightarrow g^{-1} x g=x$ $\begin{aligned} \text { Also } & x \rightarrow g^{-1} x g=x \\ &=x \rightarrow x \end{aligned}$ Ist das so korrekt? LG


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-19

Hallo dorfschmied, nein: das ist nicht korrekt. Du hast stillwschweigend eine abelsche Gruppe vorausgesetzt (also die Gültigkeit des Kommutativgesetzes). Dann ist diese Abbildung, die man Konjugation nennt, in der Tat die Identität und damit bijektiv. Du sollst das aber für beliebige Gruppen zeigen und darfst somit keine kommutative Verknüpfung voraussetzen. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Gruppen' von Diophant]


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dorfschmied
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

Okay, ich weiß das g^-1 auf x durch g mit x wieder aufgelöst wird und andersrum, wie kann ich das am besten formulieren? LG


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-01-19 16:28 - dorfschmied in Beitrag No. 2) Okay, ich weiß das g^-1 auf x durch g mit x wieder aufgelöst wird und andersrum, wie kann ich das am besten formulieren? LG \quoteoff Du meinst \(g^{-1}xg=x\)? Das ist eben dein Irrtum: das gilt nur im Fall von abelschen Gruppen, aber nicht allgemein. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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dorfschmied
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

Das habe ich jetzt verstanden, und bin dazu übergegangen die Injektivität und die Surjektivität zu beweisen . Injektivität: $g^{-1} x g=g^{-1} y g$ $g^{-1} x g g^{-1}=g^{-1} y g g^{-1}$ $g g^{-1} x e=g g^{-1} y e$ $x=y$ Und die Surjektivität: $\begin{aligned} f(x)=y & \\ g^{-1} x g=y & \\ g^{-1} x g g^{-1} &=y g^{-1} \\ g g^{-1} x e &=g y g^{-1} \\ x &=g y g^{-1} \end{aligned}$


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, das ist jetzt die richtige Idee. Man kann etwas abkürzen: i) Injektivität \[g^{-1}xg=g^{-1}yg\Rightarrow gg^{-1}xgg^{-1}=gg^{-1}ygg^{-1}\Leftrightarrow x=y\] ii) Bijektivität: Es ist \[\phi_{g^{-1}}:\ x\mapsto gxg^{-1}\] offensichtlich die zu \(\phi_g\) inverse Abbildung. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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dorfschmied
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

Danke sehr für die Hilfe! LG


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-20

Ich weiß nicht, ob das jetzt schon klar geworden ist, aber sicherheitshalber: hier muss man nicht Injektivität und Surjektivität nachrechnen. Man kann einfach eine inverse Abbildung angeben (siehe Diophants Post) bzw. nachweise, dass es eine ist. Eine Abbildung, die eine inverse Abbildung besitzt, ist bijektiv. Das ist tatsächlich oftmals die beste Methode, um Bijektivität nachzuweisen.


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