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Physik » Optik » Geometrische Optik als Grenzfall der Maxwellgleichung
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Universität/Hochschule Geometrische Optik als Grenzfall der Maxwellgleichung
Bruce94
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  Themenstart: 2022-01-20

Hallo zusammen, es geht um folgende Aufgabe: Seien die makroskopischen Maxwellgleichungen gegeben: \(\underline{\nabla} \cdot\underline{D}=0\) \(\underline{\nabla} \times \underline{E}= - \frac{\delta \underline{B}}{\delta t}\) \(\underline{\nabla} \cdot \underline{B}=0\) \(\underline{\nabla} \times \underline{H} = \frac{\delta \underline{D}}{\delta t}\) Es seien \(\underline{D}=\epsilon_0 \epsilon_r(\underline{r}) \cdot \underline{E}(\underline{r},t)\), \(\underline{H}= \mu_0 \mu_r \underline{B}(\underline{r},t)\) und \(n(\underline{r})=\sqrt{\epsilon_r(\underline{r}) \mu_r}\). Nehmen Sie weiterhin \(\mu_r \approx 1 \neq \mu_r(\underline{r})\) und \(\underline{E}(\underline{r},t)= \underline{E}(\underline{r}) e^{i \omega t}\) an. a) Warum gilt in der geometrischen Optik im Allgemeinen \(n=n(\underline{r})\)? Unter welcher Bedingung gilt approximativ \(\nabla \times \underline{D}(\underline{r},t) \approx \epsilon_0 \epsilon_r(\underline{r})\nabla \times \underline{E}(\underline{r},t)\)? Berechnen Sie dazu \(\nabla \times \underline{D}(\underline{r},t)\) und schätzen Sie die Beträge der Terme gegeneinander ab. Mein Ansatz: Ich lasse ab sofort die Vektoren zur Vereinfachung weg. \(\nabla \times D(r,t) \\ =\nabla \times (\epsilon_0 \epsilon_r(r) \cdot E(r,t)) \\ = \epsilon_0 \cdot [(\epsilon_r(r) \nabla)E(r,t)+(E(r,t)\nabla)\epsilon_r+\epsilon_r \times (\nabla \times E(r,t))+ E(r,t) \times (\nabla \times \epsilon_r)] \\ = \epsilon_0 \epsilon_r(r)\nabla \times E(r,t) + \epsilon_0 \cdot [(E(r,t)\nabla)\epsilon_r(r)+\epsilon_r \times (\nabla \times E(r,t))+ E(r,t) \times (\nabla \times \epsilon_r)] \) D. h., der Term in der eckigen Klammer muss ungefähr Null sein. b) Nutzen Sie die gefundene Bedingung aus a) und zeigen Sie, dass die Wellengleichung \(\nabla^2 E(r,t)-\frac{n(r)^2}{c^2} \cdot \frac{\delta^2E(r,t)}{\delta t^2}=0\) weiterhin approximativ gültig ist. Mein Ansatz: Wenn ich \(E\) einsetze, erhalte ich letztendlich: \(e^{-i \omega t} \cdot [\nabla E(r)+n(r)^2 k^2 E(r)]\) Wieso das ungefähr Null sein soll, weiß ich leider nicht. c) Nehmen Sie für das elektrische Feld den Ansatz \(E(r,t)=E_0(r,t) \cdot e^{i(kR(r)-\omega t)}\) und zeigen Sie, dass sich die Gleichung zur sogenannten Eikongleichung \([\nabla R(r)] \cdot R(r) = (n(r))^2\) vereinfacht. Mein Ansatz: Das \(\nabla^2E(r,t)\) habe ich als \(\nabla (\nabla E_0(r) \cdot e^{i \cdot (kR(r)- \omega t)})\) geschrieben und mit Hilfe der Gleichung \(\nabla (A \cdot B) = (A \nabla) B +(B \nabla) A + (A \times \nabla) \times B +(B \times \nabla) \times A\) umgeformt. Leider hat mich das nicht auf das gewünschte Ergebnis geführt. Ich denke, es klappt vielleicht besser, wenn ich die b) verstanden habe. d) Wir beschreiben nun den Brechungsindex einer Wüste mit \(n(y)= n_0 \cdot \sqrt{1+\frac{y^2}{h^2}}\). Dieser Brechungsindex berücksichtigt, dass kältere Luft (großer Abstand zur Erdoberfläche) optisch dichter ist als warme Luft (nah an der Erdoberfläche). Zeigen Sie, dass \(R(x,y)=n_0 (x \pm \frac{y^2}{2h})\) die Eikonalgleichung erfüllt. Mein Ansatz: Mein \(R\) ist ein eindimensionaler Vektor. Da der Brechungsindex nur von \(y\) abhängt, habe ich auch \(R\) nur nach \(y\) abgeleitet. Ich habe folgendes erhalten: \( (n_0 \cdot \frac{y}{h}) \cdot n_0 \cdot (x \pm \frac{y^2}{2h})= n_0^2 \cdot \frac{y}{h} \cdot (x \pm \frac{y^2}{2h}) \overset{!}{=}n_0^2 \cdot (1 + \frac{y^2}{h^2})\) Scheint nicht zu stimmen. Ich wollte ursprünglich \(R\) nach \(x\) und \(y\) ableiten, aber das macht ja keinen Sinn, oder? Danke schon mal für eure Hilfe! Viele Grüße Bruce


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Bruce94
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-24

Bin leider noch nicht weitergekommen. Hat jemand vielleicht zumindest bei der b) eine Idee, wie sie funktionieren könnte? :)


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Spock
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-24

Hallo Bruce, Deine Überlegungen sind erstmal nicht verkehrt, es fehlt lediglich bei der a) die entscheidende Bedingung, die Du nicht klar formulert hast, bzw. wo Du es Dir mit Deiner Rechnung unnötig schwer machst. Wenn sich das Medium im Bereich von Längenskalen in der Größenordnung von (optischen) Wellenlängen nicht zu stark ändert, darf man grad(\eps(r^>)~=0 annehmen, und diese Bedingung solltest Du bei der a) herausbekommen. Am schnellsten geht das mit ein wenig Nabla-Kosmetik der Form \Nabla \cross(\phi A^>)=\phi rot(A^>)+(grad(\phi)) \cross A^> , wenn A^> ein Vektorfeld und \phi ein skalares Feld bezeichnet. Zum Teil b): Die ursprüngliche Wellengleichung, die sich aus den Maxwell\-Gleichungen der Aufgabenstellung ergibt, lautet doch zunächst \Delta E^>-grad((div(E^>)))=n^2(r^>) 1/c^2 pdiff(E^>,t,2) Aus div(D^>)=0 kann man wegen besagten Abhängigkeiten nicht zwangsläufig auf div(E^>)=0 schließen, denn div(E^>)=1/\eps_0 (grad(\eps(r^>)))*E^>(r) Mit obiger Bedingung gilt aber zumindest div(E^>)~=0 und man ist bei der Wellengleichung, die in der Aufgabenstellung steht. Grüße Juergen P.S: Behalte bei Deinen Rechnungen die Vektorschreibweise bei und benutze das Symbol * nur für das Skalarprodukt zwischen Vektoren. Alles andere führt bei längeren Rechnungen meist zu Problemen, :-)


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