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Analysis » Maßtheorie » Signierte Maße und Zerlegungssatz von Hahn
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Universität/Hochschule J Signierte Maße und Zerlegungssatz von Hahn
Gast123
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  Themenstart: 2022-01-22

Hallo, ich habe ein Verständnisproblem bei einem Lemma, das zur Vorbereitung auf den Satz von Hahn gezeigt wird. Das Lemma besagt: Ist $\nu: \mathcal{A} \rightarrow [-\infty, +\infty)$ ein signiertes Mass und $A \in \mathcal{A}$ mit $\nu(A) \neq -\infty$, dann existiert eine positive Menge $P$ mit $\nu(P) \geq \nu(A)$. Spezifisch habe ich dabei ein Problem mit einem Unterpunkt dieses Lemmas. Denn dort will man folgende Aussage zum Widerspruch fuehren: Es existiert ein $\varepsilon > 0$, sodass jede messbare Menge $A_{\varepsilon}$ mit $A_{\varepsilon} \subseteq A$ und $\nu(A_{\varepsilon}) \geq \nu(A)$ eine messbare Menge $B$ enthaelt, $B \subseteq A$, sodass $\nu(B) \leq - \varepsilon$. Hierzu wird nun sowohl im Elstrodt als auch in folgendem Skript (S.24, Lemma 1.40) https://www.stochastik.uni-freiburg.de/lehre/ws-2019-2020/vorlesung-wahrscheinlichkeitstheorie-ws-2019-2020/skript6 induktiv eine Folge von Mengen $B_k$ konstruiert. Und genau diese Konstruktion verstehe ich nicht so ganz. In beiden Quellen wird lediglich angegeben, dass diese Folge so konstruiert wird: $B_1 \subseteq A$ und $B_k \subseteq A\setminus (B_1 \cup ... \cup B_{k-1})$. Was bedeutet hier induktiv? Bedeutet es, dass fuer n=1 A als Grundmenge genommen wird, dann fuer n=2 wird $A\setminus B_1$ als Grundmenge genommen, auf die dann jeweils die obige (falsche) Annahme angewandt wird? Bekommt man dann auch fuer jedes $n$ ein anderes $\varepsilon$? Und falls das so ist, kann man eine Aussage ueber diese unterschiedlichen $\varepsilon$ treffen? Also werden diese vielleicht kleiner mit steigendem $k$?


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-24

Moin Gast123, für $A \in \mathcal{A}$ mit $\nu(A) > -\infty$ und $\epsilon > 0$ soll die Annahme \[\forall C \in \mathcal{A}, C \subseteq A: \nu(C) \ge \nu(A) \implies \exists B \in \mathcal{A}, B \subseteq C: \nu(B) \le -\epsilon \tag{1}\] auf einen Widerspruch geführt werden. Zunächst mal gilt wegen $\nu(A) \in \mathbb{R}$ und \[\nu(A) = \nu(A \setminus B) + \nu(B)\] für $\mathcal{A} \ni B \subseteq A$ insbesondere auch $\nu(B) \in \mathbb{R}$ und weiter \[\nu(A \setminus B) = \nu(A) - \nu(B). \tag{2}\] Induktiv wird nun eine Folge von paarweise disjunkten messbaren Mengen $B_k \subseteq A$ mit $\nu(B_k) \le -\epsilon$ wie folgt konstruiert: (i) Wähle zu $C := A$ eine Menge $B =: B_1$ wie in $(1)$. (ii) Sind für $k \ge 2$ die Mengen $B_1, \ldots, B_{k-1}$ konstruiert, so gilt für $C := A \setminus (B_1 \cup \ldots \cup B_{k-1})$ nach $(2)$ \[\nu(C) = \nu(A) - \nu(B_1 \cup \ldots \cup B_{k-1}) = \nu(A) - \sum_{l = 1}^{k-1} \nu(B_l) \ge \nu(A) + (k-1) \epsilon \ge \nu(A).\] Wähle dann zu $C$ eine Menge $B =: B_k$ wie in $(1)$. Du erhältst den Widerspruch \[\mathcal{A} \ni \bigcup_{k = 1}^{\infty} B_k \subseteq A \land \nu\left(\bigcup_{k = 1}^{\infty} B_k\right) = \sum_{k = 1}^{\infty} \nu(B_k) = -\infty.\] LG, semasch


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Gast123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-24

Hallo semasch, super Danke für deine Antwort zu diesem sehr spezifischen Thema! Ich habe jetzt auch noch eine Quelle gefunden wo es ein bischen ausführlicher ist: https://www.math.uni-tuebingen.de/user/deitmar/LEHRE/Skripten/Ana3.pdf S.61/62. Er definiert hier $C_1 \subseteq A$ und nicht so wie du $C_1 =A$. Dazu haette ich dann ein paar Fragen: 1) Wenn man es so wie du macht, also dass man $C_1=A$ waehlt, kann man dann auf jeden Fall schliessen, dass die Eigenschaft auch fuer eine echte Teilmenge von $A$ gilt (und eben nicht nur fuer die Teilmenge die gleich $A$ ist)? 2.) Wie kann man schliessen dass $C_2$, oder allgemeiner $C_k$ in der Sigma Algebra liegt? Egal ob ich es jetzt so wie Deitmar als $C_2 = C_1 \setminus B_1$ oder so wie du als $C_2 = A \setminus B_1$ definiere. 3.) Bei dem Argument benutzt man dann ja am Ende den Grenzuebergang $k \to \infty$. Was aber wenn die Menge $A$ bzw $C_1$ gar nicht unendlich viele Teilmengen hat? 4.) Wie kommt Deitmar dann zu dem Schluss dass $B_k \subseteq A\setminus (B_1 \cup ... \cup B_{k-1})$ ist und nicht $B_k \subseteq C_1\setminus (B_1 \cup ... \cup B_{k-1})$. Denn bei ihm ist ja immer zB $C_3 = C_2 \setminus B_2 = (C_1 \setminus B_1) \setminus B_2 = C_1 \setminus (B_1 \cup B_2)$, d.h. bei ihm zieht man immer von der Menge $C_1$ ab, nicht von der Menge $A$.


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-26

\quoteon(2022-01-24 19:46 - Gast123 in Beitrag No. 2) Er definiert hier $C_1 \subseteq A$ und nicht so wie du $C_1 =A$. Dazu haette ich dann ein paar Fragen: 1) Wenn man es so wie du macht, also dass man $C_1=A$ waehlt, kann man dann auf jeden Fall schliessen, dass die Eigenschaft auch fuer eine echte Teilmenge von $A$ gilt (und eben nicht nur fuer die Teilmenge die gleich $A$ ist)? \quoteoff Meine Argumentation aus Beitrag #1 ist der Spezialfall $C_1 = A$ derjenigen aus dem von dir in Beitrag #2 verlinkten Skriptum. $\subset$ bedeutet dort nicht echte Teilmenge, sondern nur Teilmenge (wofür ich $\subseteq$ schreibe) und dort wird eben eine nicht näher spezifizierte messbare Teilmenge $C_1 \subseteq A$ mit $\nu(C_1) \ge \nu(A)$ zum Ausgangspunkt genommen (dass man eine solche findet, ist klar, da ja eben $C_1 = A$ funktioniert). \quoteon(2022-01-24 19:46 - Gast123 in Beitrag No. 2) 2.) Wie kann man schliessen dass $C_2$, oder allgemeiner $C_k$ in der Sigma Algebra liegt? Egal ob ich es jetzt so wie Deitmar als $C_2 = C_1 \setminus B_1$ oder so wie du als $C_2 = A \setminus B_1$ definiere. \quoteoff Das folgt wegen $C_1 \in \mathcal{A}$ induktiv aus der Differenzstabilität von $\mathcal{A}$. \quoteon(2022-01-24 19:46 - Gast123 in Beitrag No. 2) 3.) Bei dem Argument benutzt man dann ja am Ende den Grenzuebergang $k \to \infty$. Was aber wenn die Menge $A$ bzw $C_1$ gar nicht unendlich viele Teilmengen hat? \quoteoff Die Generalannahme $(1)$, die ja auf einen Widerspruch geführt werden soll, garantiert, dass man zu jedem $C_k$ ein entsprechendes $B_k$ findet. \quoteon(2022-01-24 19:46 - Gast123 in Beitrag No. 2) 4.) Wie kommt Deitmar dann zu dem Schluss dass $B_k \subseteq A\setminus (B_1 \cup ... \cup B_{k-1})$ ist und nicht $B_k \subseteq C_1\setminus (B_1 \cup ... \cup B_{k-1})$. Denn bei ihm ist ja immer zB $C_3 = C_2 \setminus B_2 = (C_1 \setminus B_1) \setminus B_2 = C_1 \setminus (B_1 \cup B_2)$, d.h. bei ihm zieht man immer von der Menge $C_1$ ab, nicht von der Menge $A$. \quoteoff $B_k \subseteq C_k = C_1 \setminus (B_1 \cup \ldots \cup B_{k-1})$ und $C_1 \subseteq A$ impliziert $B_k \subseteq A \setminus (B_1 \cup \ldots \cup B_{k-1})$. LG, semasch


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Gast123
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26

Also semasch, danke für deine weitere Antwort! \quoteon \quoteon(2022-01-24 19:46 - Gast123 in Beitrag No. 2) 3.) Bei dem Argument benutzt man dann ja am Ende den Grenzuebergang $k \to \infty$. Was aber wenn die Menge $A$ bzw $C_1$ gar nicht unendlich viele Teilmengen hat? \quoteoff Die Generalannahme $(1)$, die ja auf einen Widerspruch geführt werden soll, garantiert, dass man zu jedem $C_k$ ein entsprechendes $B_k$ findet. \quoteoff Also ich meinte, was passiert denn, wenn es nur endlich viele $C_k$ gibt in A? Wie kann man dann einen Grenzübergang ins Unendliche bilden, bzw eine unendliche Reihe bilden? Und da du ja in der Materie drin zu sein scheinst wollte ich dich noch fragen zum Beweis des eigentlichen Satzes von Hahn. Der ist ebenfalls im Skript von Deitmar auf S.62 (welches ich im Beitrag davor verlinkt hatte). Dort wird die Menge Menge $\alpha =\sup\{\nu(A): A \in \mathcal{A}\}$ gebildet. Dann wird erst gesagt, dass es eine Folge messbarer Mengen $A_n$ gibt, deren MAße gegen $\alpha$ konvergieren und dass deshalb dann mit dem Lemma auch eine Folge positiver Mengen $P_n$ existieren, deren Maße gegen $\alpha$ konvergieren. Meine Fragen: 1.) Woher weiß man dass es eine solche Folge $A_n$ gibt? Und woher weiß man, dass diese Mengen messbar sind? 2.) Sind die positiven Mengen $P_n$ ebenfalls messbar? 3.) Wie ist sichergestellt, dass die $P_n$ ebenfalls gegen $\alpha$ konvergieren? Es kann ja gut sein, dass zB $\nu(A_k) \geq \nu(A_l)$ aber für die zu diesen Indizes gehörigen positiven Mengen gilt $\nu(P_k) \leq \nu(P_l)$ oder?


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semasch
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-27

\quoteon(2022-01-26 13:15 - Gast123 in Beitrag No. 4) Also ich meinte, was passiert denn, wenn es nur endlich viele $C_k$ gibt in A? Wie kann man dann einen Grenzübergang ins Unendliche bilden, bzw eine unendliche Reihe bilden? \quoteoff $C_1$ erfüllt wahlgemäß die Voraussetzungen ($\mathcal{A} \ni C_1 \subseteq A, \nu(C_1) \ge \nu(A)$) in $(1)$, also existiert dazu ein passendes $B_1$, wegen $C_2 = C_1 \setminus B_1$ ist wieder $\nu(C_2) = \nu(C_1) - \nu(B_1) \ge \nu(A) + \epsilon \ge \nu(A)$, also existiert ein passendes $B_2$, wegen $C_3 = C_2 \setminus B_2$ ist wieder $\nu(C_3) = \nu(C_2) - \nu(B_2) \ge \nu(A) + \epsilon \ge \nu(A)$, also existiert ein passendes $B_3$, ...; das Ganze bricht nie ab. \quoteon(2022-01-26 13:15 - Gast123 in Beitrag No. 4) 1.) Woher weiß man dass es eine solche Folge $A_n$ gibt? Und woher weiß man, dass diese Mengen messbar sind? \quoteoff Ist $\emptyset \neq M \subseteq \overline{\mathbb{R}}$, so existiert eine Folge $(x_n)$ in $M$ mit $x_n \to \sup(M)$. Hier ist $M = \{\nu(A): A \in \mathcal{A}\}$ und definitionsgemäß also $x_n = \nu(A_n)$ mit gewissen messbaren $A_n \in \mathcal{A}$. \quoteon(2022-01-26 13:15 - Gast123 in Beitrag No. 4) 2.) Sind die positiven Mengen $P_n$ ebenfalls messbar? \quoteoff Ja (für nichtmessbare Mengen macht der Begriff der Positivität gar keinen Sinn). \quoteon(2022-01-26 13:15 - Gast123 in Beitrag No. 4) 3.) Wie ist sichergestellt, dass die $P_n$ ebenfalls gegen $\alpha$ konvergieren? Es kann ja gut sein, dass zB $\nu(A_k) \geq \nu(A_l)$ aber für die zu diesen Indizes gehörigen positiven Mengen gilt $\nu(P_k) \leq \nu(P_l)$ oder? \quoteoff Das folgt aus \[\alpha \ge \nu(P_n) \ge \nu(A_n) \to \alpha.\] LG, semasch


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Gast123
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-28

Hallo semasch, super vielen Dank. Noch eine kurze Frage zu $\nu-$positiven Mengen im Allgemeinen: Haben diese dann auch immer zwangsläufig nicht negatives Mass oder gibt es irgendwelche pathologische Gegenbespiele? Und falls das so ist, kann man für diese Mengen dann auch alle Eigenschaften von normalen Maßen annehmen oder? Als oauch zB Monotonie.


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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-28

\quoteon(2022-01-28 17:37 - Gast123 in Beitrag No. 6) Noch eine kurze Frage zu $\nu-$positiven Mengen im Allgemeinen: Haben diese dann auch immer zwangsläufig nicht negatives Mass oder gibt es irgendwelche pathologische Gegenbespiele? \quoteoff Ja, haben sie, nachdem sie sich selbst ja als messbare Teilmengen enthalten. \quoteon(2022-01-28 17:37 - Gast123 in Beitrag No. 6) Und falls das so ist, kann man für diese Mengen dann auch alle Eigenschaften von normalen Maßen annehmen oder? Als oauch zB Monotonie. \quoteoff Ja, ist $P$ eine positive Menge, so ist auf $\mathcal{A}|_P = \mathcal{A} \cap P$ bzw. $\mathcal{A}$ durch $\nu|_{\mathcal{A}|_P}$ bzw. $\nu((\cdot) \cap P)$ ein Maß gegeben. LG, semasch


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Gast123
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-29

Hi semasch, danke für deine Antworten! Nochmal kurz zu folgendem: \quoteon(2022-01-27 11:26 - semasch in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-01-26 13:15 - Gast123 in Beitrag No. 4) Also ich meinte, was passiert denn, wenn es nur endlich viele $C_k$ gibt in A? Wie kann man dann einen Grenzübergang ins Unendliche bilden, bzw eine unendliche Reihe bilden? \quoteoff $C_1$ erfüllt wahlgemäß die Voraussetzungen ($\mathcal{A} \ni C_1 \subseteq A, \nu(C_1) \ge \nu(A)$) in $(1)$, also existiert dazu ein passendes $B_1$, wegen $C_2 = C_1 \setminus B_1$ ist wieder $\nu(C_2) = \nu(C_1) - \nu(B_1) \ge \nu(A) + \epsilon \ge \nu(A)$, also existiert ein passendes $B_2$, wegen $C_3 = C_2 \setminus B_2$ ist wieder $\nu(C_3) = \nu(C_2) - \nu(B_2) \ge \nu(A) + \epsilon \ge \nu(A)$, also existiert ein passendes $B_3$, ...; das Ganze bricht nie \quoteoff Was aber passiert wenn meine Grundmenge $X$ endlich ist, zB $X=\{1,2,3\}$ oder so was. Da gibt es dann ja offensichtlich nur endlich viele Teilmengen in die man das zerlegen kann. Da würde es dann ja schon abbrechen oder? Und noch eine Frage zu $P=\cup_{n=1}^{\infty} P_n$: Wenn alle $P_n$ positiv sind, ist dann auch sicher $P$ positiv, oder müsste man das erst noch irgendwie beweisen?


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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-29

\quoteon(2022-01-29 12:56 - Gast123 in Beitrag No. 8) Was aber passiert wenn meine Grundmenge $X$ endlich ist, zB $X=\{1,2,3\}$ oder so was. Da gibt es dann ja offensichtlich nur endlich viele Teilmengen in die man das zerlegen kann. Da würde es dann ja schon abbrechen oder? \quoteoff Da die auf $(1)$ basierende, von mir dargelegte iterative Konstruktion nicht abbricht, kann so ein Fall nicht vorliegen, wenn $(1)$ gilt, was ja die Annahme ist. \quoteon(2022-01-29 12:56 - Gast123 in Beitrag No. 8) Und noch eine Frage zu $P=\cup_{n=1}^{\infty} P_n$: Wenn alle $P_n$ positiv sind, ist dann auch sicher $P$ positiv, oder müsste man das erst noch irgendwie beweisen? \quoteoff Ich entnehme deiner Frage, dass das für dich nicht ganz offensichtlich ist, weswegen du dir natürlich überlegen solltest, warum das der Fall ist. LG, Sebastian


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Gast123
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-03

Okay alles klar, danke. Und wenn ich ein signiertes Maß $\nu: \mathcal{A} \rightarrow \bar{R}$ habe mit $\nu(A) \geq 0$ für all $A \in \mathcal{A}$. Ist dieses $\nu$ dann automatisch ein "normales" Maß?


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semasch
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-02-03

Ja, wie du durch Vergleich der Definitionen erschließen kannst. LG, semasch


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-04

Alles klar danke! Und wenn ich die Hahn-Zerlegung mache für $\nu$ und daraus eine positive Menge $P$ und eine negative Menge $N$ als meine Hahn Zerlegung erhalte, ist dann für $-\nu$ gerade das obige $P$ die negative Menge und $N$ die positive? D.h. hat $-\nu$ die gleiche Hahn Zerlegung wie $\nu$ nur dass positive und negative Menge vertauscht sind? Und damit wäre die positive Variation von $\nu$ die negative Variation von $-\nu$? Also wir haben ja $$\nu^{+} = \nu(A\cap P)$$ wobei $P$ die $\nu-$positive Menge aus der Hahnzerlgung ist und die negative Variation ist gegeben durch: $$\nu^{-} = -\nu(A\cap N)$$ wobei $N$ die $\nu-$negative Menge der Hahnzerlegung ist. Da $P$ $\nu-$positiv ist, gilt fuer alle $C\subseteq P: \nu(C) \geq 0$. Dann muesste ja fuer $-\nu$ gelten, dass fuer alle $C\subseteq P: -\nu(C) \leq 0$. Ist das so noch richtig? Dann waere also $P$ $\nu-$positiv und $-\nu-$negativ. Umgekehrt waere dann $N$ $\nu-$negativ und $-\nu-$positiv. Damit wuerde dann gelten, dass die positive Variation von $-\nu$ gegeben ist durch: $$-\nu^{+}=\nu(A\cap N) = \nu^{-}$$ und die negative Variation waere gegeben durch: $$-\nu^{-}=-(-\nu(A\cap P)) =\nu(A\cap P)= \nu^{+}$$. Ist das korrekt? Was mich daran dann aber wundert: Wenn ich einfach nur zB $\nu^{+} = \nu(A\cap P)$ betrachte und da ein minus davor schreibe, dann erhalte ich ja $-\nu^{+} = -\nu(A\cap P)$, das ist ja aber wohl nicht identisch zu $-\nu^{+}=\nu(A\cap N) = \nu^{-}$ oder?


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semasch
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-02-05

\quoteon(2022-02-04 11:57 - Gast123 in Beitrag No. 12) Und wenn ich die Hahn-Zerlegung mache für $\nu$ und daraus eine positive Menge $P$ und eine negative Menge $N$ als meine Hahn Zerlegung erhalte, ist dann für $-\nu$ gerade das obige $P$ die negative Menge und $N$ die positive? D.h. hat $-\nu$ die gleiche Hahn Zerlegung wie $\nu$ nur dass positive und negative Menge vertauscht sind? Und damit wäre die positive Variation von $\nu$ die negative Variation von $-\nu$? Also wir haben ja $$\nu^{+} = \nu(A\cap P)$$ wobei $P$ die $\nu-$positive Menge aus der Hahnzerlgung ist und die negative Variation ist gegeben durch: $$\nu^{-} = -\nu(A\cap N)$$ wobei $N$ die $\nu-$negative Menge der Hahnzerlegung ist. Da $P$ $\nu-$positiv ist, gilt fuer alle $C\subseteq P: \nu(C) \geq 0$. Dann muesste ja fuer $-\nu$ gelten, dass fuer alle $C\subseteq P: -\nu(C) \leq 0$. Ist das so noch richtig? Dann waere also $P$ $\nu-$positiv und $-\nu-$negativ. Umgekehrt waere dann $N$ $\nu-$negativ und $-\nu-$positiv. \quoteoff Ja, das stimmt so. \quoteon(2022-02-04 11:57 - Gast123 in Beitrag No. 12) Damit wuerde dann gelten, dass die positive Variation von $-\nu$ gegeben ist durch: $$-\nu^{+}=\nu(A\cap N) = \nu^{-}$$ und die negative Variation waere gegeben durch: $$-\nu^{-}=-(-\nu(A\cap P)) =\nu(A\cap P)= \nu^{+}$$. Ist das korrekt? Was mich daran dann aber wundert: Wenn ich einfach nur zB $\nu^{+} = \nu(A\cap P)$ betrachte und da ein minus davor schreibe, dann erhalte ich ja $-\nu^{+} = -\nu(A\cap P)$, das ist ja aber wohl nicht identisch zu $-\nu^{+}=\nu(A\cap N) = \nu^{-}$ oder? \quoteoff Die positive bzw. negative Variation $(-\nu)^+$ bzw. $(-\nu)^-$ von $-\nu$ ist gegeben durch \[(-\nu)^+(A) = (-\nu)(A \cap N) = -\nu(A \cap N) = \nu^-(A), \quad (-\nu)^-(A) = -(-\nu)(A \cap P) = -(-\nu(A \cap P)) = \nu(A \cap P) = \nu^+(A)\] für alle $A \in \mathcal{A}$, d.h. $(-\nu)^{\pm} = \nu^{\mp}$. Natürlich ist i.A. $-\nu^+ \neq \nu^- = (-\nu)^+$, zumal ja $-\nu^+$ stets nichtpositiv und $\nu^-$ stets nichtnegativ ist. Kurzum: $-(\cdot)$ und $(\cdot)^{\pm}$ vertauschen nicht. Du musst aufpassen, die Klammern richtig zu setzen. LG, semasch


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Gast123
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-06

hallo semasch vielen dank für die antworten!


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