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Universität/Hochschule J Abschätzung der Lebensdauer eines Quasars
Muon
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  Themenstart: 2022-01-22

Hallo zusammen, ich bin mir leider nicht sicher, ob mein Ansatz zur Lösung des Problems richtig ist, es geht um die folgende Aufgabe: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-01-22_um_18.50.33.png Ich würde jetzt einfach die gesamte Masse, also Masse des schwarzen Loches + die Masse des Gases in die Eddington-Leuchtkraft Gleichung einsetzen. Diese Leuchtkraft würde ich jetzt in die untere Gleichung einsetzen, für den Wirkungsgrad 1 verwenden und die Gleichung nach der Akkretionsrate M auflösen. Um jetzt die Lebensdauer zu erhalten, würde ich einfach die Masse des Gases durch die Akkretionsrate teilen. Ich bin mir jetzt leider nicht sicher, ob das so richtig ist, denn in der Aufgabenstellung ist ja einmal die Rede, dass man bei dem Wirkungsgrad 1 verwenden soll und ein anderes Mal 0.1. Ich gehe davon aus, dass man die 0.1 benutzen muss, wenn das gesamte Gas fast aufgebraucht ist, leider weiß ich nicht, wie ich das in der Rechnung mit einfließen lassen muss. Hat jemand vielleicht ein Tipp für mich?


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Spock
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-23

Hallo Muon, bevor wir in die dunkle Seite der Schwarzen Löcher einsteigen, und da es teilweise um die Eddington-Luminosität geht, eine kleine Anekdote zu Arthur Eddington (1882-1944): Journalist: “Sir Arthur, it is said that only three people in the world understand relativity!” Eddington: “Yes I’ve heard that. I am trying to work out who the third person is...” Dann käme noch mein Gag dazu: Wenn ich damals gewußt hätte, daß er mich sucht, hätte ich mich bei ihm gemeldet, :-) Jetzt aber zurück zu Deinen Fragen: Du bist mit Deiner beschreibenden Vorgehensweise wahrscheinlich auf dem richtigen Weg, aber Du solltest versuchen, die Worte in Gleichungen zu fassen. Daher bestehen meine Tipps jetzt hauptsächlich aus Gleichungen: Ich schreibe die Eddington Luminosität in der Form \lr(1)L_Edd=K M/M_S wobei K~=1.3\cross 10^31 Watt ist, und M_S ist die Sonnenmasse. Es ist bestimmt kein Fehler, wenn Du nachliest, wie diese Gleichung zustande kommt, bzw. ihre vollständige Herleitung nachvollziehst. Mit dem Hinweis in der Aufgabenstellung \lr(2)L=\eta M^* c^2 und der Annahme \(warum?) \lr(3)L~=L_Edd erhält man für die Masse M=M(t) die folgende Differentialgleichung \lr(4)M^*=K/(\eta c^2 M_S) M Damit kommst Du erstmal weiter? Grüße Juergen


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Muon
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Vielen Dank Juergen für deine Hilfe 👍👍👍 \quoteon(2022-01-23 15:19 - Spock in Beitrag No. 1) Hallo Muon, bevor wir in die dunkle Seite der Schwarzen Löcher einsteigen, und da es teilweise um die Eddington-Luminosität geht, eine kleine Anekdote zu Arthur Eddington (1882-1944): Journalist: “Sir Arthur, it is said that only three people in the world understand relativity!” Eddington: “Yes I’ve heard that. I am trying to work out who the third person is...” Dann käme noch mein Gag dazu: Wenn ich damals gewußt hätte, daß er mich sucht, hätte ich mich bei ihm gemeldet, :-) \quoteoff Ich gehöre, Stand jetzt, leider nicht zu dem Personenkreis 😃 Wenn ich es richtig verstanden habe, dann verwendet man das hydrostatische Gleichgewicht, also wenn der Gravitationsdruck dem Entartungsdruck des Gaseses gleicht, zur Herleitung der Eddington Luminosität. Vielen Dank, dass du die Gleichungen schon einmal aufgeschrieben hast. Ich würde jetzt wie folgt weiter machen: t= M_gas/M^* t= (1*10^9 kg)/(1.02*10^(-7) kg/s)= 9.8*10^15 s Das würde jetzt ungefähr der Lebensdauer des Quasars entsprechen, denn in dieser Zeit wäre das gesamte Gas (Masse) in Strahlung umgewandelt wurden. Jetzt bin ich mir aber nicht sicher, wofür man die 0.1 Wirkungsgrad verwenden muss. Bei meiner obigen Rechnung habe ich nämlich einen Wirkungsgrad von 1 verwendet. Gruß Tobias


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Spock
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-24

Hallo Tobias! \quoteon(2022-01-23 19:30 - Muon in Beitrag No. 2) ... Jetzt bin ich mir aber nicht sicher, wofür man die 0.1 Wirkungsgrad verwenden muss ... \quoteoff Gemeint ist, daß Du die Rechnung zweimal machen sollst. Auch das dient zur groben Abschätzung, denn der Wirkungsgrad ist schwer zu bestimmen, und die angegebenen Werte zwischen 0.1 und 1.0 legen so ungefähr die Grenzen fest innerhalb derer sich der Wirkungsgrad bewegt. Der Wert 1.0 ist die obere Grenze, mehr geht nicht, und die 0.1 als untere Grenze kommen irgendwo her, da hab ich auch schon noch kleinere Werte gesehen. Aber das ist nicht der Punkt: Du hast es Dir bei Deiner Rechnung ein wenig zu einfach gemacht. Offenbar brauchst Du bei Deiner Rechnung die angegebene Masse des Schwarzen Loches gar nicht, oder? Schau Dir nochmal die Gleichung (4) in meinem Beitrag No.1 an: Dir ist schon klar, daß das eine Differentialgleichung ist, die man zunächst mal lösen sollte? Grüße Juergen


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Muon
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-24

Hi Juergen, nochmals vielen Dank für deine Hilfe 👍👍👍 \quoteon(2022-01-24 02:03 - Spock in Beitrag No. 3) Schau Dir nochmal die Gleichung (4) in meinem Beitrag No.1 an: Dir ist schon klar, daß das eine Differentialgleichung ist, die man zunächst mal lösen sollte? \quoteoff Das habe ich total übersehen, dass es sich ja um eine DGL handelt, danke für den Hinweis 👍 Bei den DGL verwendet man ja häufig die Bezeichnung mit y und x. Ich bin dann wie folgt vorgegangen y'=M^*, y=M und x=\eta Dann habe ich eine Trennung der Variable vorgenommen M^*/M=K/(\eta c^2 M_S 1/M*dm=K/(\eta c^2 M_S)*d\eta Diese habe ich dann gelöst und habe die folgende Form erhalten: M=\eta^(K/(c^2 M_S))+C Diese Formel für die Masse müsste ich ja dann jetzt noch einmal ableiten um die Akkretionsrate zu erhalten M^*= K/(c^2 M_S)*\eta^(K/(c^2 M_S)-1) Um jetzt die Zeit zu erhalten, müsste ich wie folgt vorgehen t=(M_gas+M_(Schwarzes Loch))/M^* Die Rechnung würde ich ja dann zweimal vornehmen, einmal mit dem Wirkungsgrad 1 und dann mit 0.1, die Lebensdauer des Quasar würde ja dann zwischen diesen beiden Werten liegen. Ist das so richtig? Gruß Tobias


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Spock
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-24

Hallo Tobias, Trennung der Variablen ist schonmal der richtige Ansatz, aber danach bringst Du etwas durcheinander. \lr(4)M^*=K/(\eta c^2 M_S) M Gesucht ist die Funktion M=M(t) Gleichung ref(4) etwas ausführlicher \lr(5)dM/dt=K/(\eta c^2 M_S) M Physiker schreiben die Trennung der Variablen dann meistens so \lr(6)1/M dM=K/(\eta c^2 M_S) dt Es ist zweckmäßig, für den konstanten Ausdruck auf der rechten Seite eine Abkürzung einzuführen, \lr(7)\tau==(\eta c^2 M_S)/K Du überzeugst Dich davon, daß die so eingeführte Größe die Dimension einer Zeit hat, und sie hat auch eine physikalische Bedeutung, in der Literatur wird sie manchmal als "Salpeter"\-Zeitskala geführt. Aus ref(5) wird dann mit der Abkürzung ref(7) \lr(8)1/M dM=1/\tau dt Die Gleichung ref(8) läßt sich jetzt integrieren, wobei auf die Wahl der Integrationsgrenzen zu achten ist, \lr(9)int(1/M',M',M_0,M)=1/\tau int( ,t,0,t_Q) Ich habe die Grenzen jetzt so gewählt, daß t_Q die Lebensdauer des Quasars ist, M_0 ist die Masse des Schwarzen Loches zur Zeit t=0, bei der die Aktivität des Quasars gerade einsetzt, und M ist die Masse des Schwarzen Loches zur Zeit t_Q, bei der das Schwarze Loch alles "gefressen" bzw. in Strahlung umgewandelt hat. Wenn man die Integrationen der Gleichung ref(9) dann ausführt, erhält man was? Danach liegt es an Dir, die richtigen Zahlenwerte einzusetzen. Die Aufgabenstellung ist in dieser Hinsicht nicht ganz klar formuliert, aber es geht ja hauptsächlich um eine grobe Abschätzung der Größenordnung. Wenn Du Dich unsicher fühlst, schreib Dein Ergebnis hier auf. Grüße Juergen


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Muon
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-24

Hi Juergen, Vielen Dank für deine Herleitung bis zum Integral. Oh, da habe ich echt etwas durcheinandergebracht, wenn ein Punkt über dem Symbol ist, bedeutet es ja, dass es sich um eine zeitliche Ableitung handelt. \lr(9)int(1/M',M',M_0,M)=1/\tau int( ,t,0,t_Q) Wenn ich jetzt die obigen Integrale löse, ohne konkret die Werte für die Integrationsgrenzen zu verwenden, würde ich die folgende Gleichung erhalten ln(M)-ln(M_0)=1/\tau*t_Q oder ln(M/M_0)=1/\tau*t_Q Bei der Gleichung links handelt es sich ja um den Kehrwert der Differenz der Massen zu den Zeitpunkten t=0 und t=t_Q Die Gleichung kann ich ja dann nach t_Q auflösen: t_Q=ln(M/M_0)*\tau Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, wurde zum Zeitpunkt t=0 ja noch keine Strahlung produziert, weswegen M_0=M_Gas+M_(Schwarzes Loch) also M_0=4*10^8 kg+1*10^9 kg=1.4*10^9 kg. Zum Zeitpunkt t_Q wurde die gesamte Masse des Gases in Strahlung umgewandelt, also ist M=4*10^8 kg. Wenn man jetzt die Werte einsetzt und für \eta=1 wählt, sieht die Gleichung wie folgt aus: ln((4*10^8)/(1.4 × 10^9))*1.37*10^16=-1.71*10^16 s Damit das Ergebnis physikalisch Sinn ergibt, müsste man es ja noch mit -1 multiplizieren. Die Rechnung müsste ich ja dann noch einmal vornehmen mit einem Wirkungsgrad von 0.1. Stimmt da so? Gruß Tobias


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Spock
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-24

Hallo Tobias, richtig integriert und aufgelöst hast Du, lediglich bei der Interpretation der Massen hast Du noch Verständnisschwierigkeiten. Daß da bei Dir eine negative Zeit rauskommt, sollte Dich stutzig machen, :-) Aber das liegt zum Teil auch an der nicht ganz klar formulierten Angaben in der Aufgabenstellung. Ich würde das wie folgt interpretieren: Gegeben ist ja die Masse des Schwarzen Loches M_SL=4 \cross 10^8 M_S , und die Gasmasse der Galaxis M_gas=1 \cross 10^9 M_S Mit den obigen Bezeichnungen würde ich dann M_0=M_SL und M=M_SL+M_gas wählen. Wir tun also so, als würde das Schwarze Loch mit Masse M_SL=M_0 zum Zeitpunkt t=0 beginnen, die Galaxis aufzufressen. Am Ende, zur Zeit t=t_Q ist von der Galaxis nichts Nennenswertes mehr übrig, und das Schwarze Loch hat die Gesamtmasse M=M_SL+M_gas Schreib auf, was Du dann für die Zeit t_Q erhälst, z.B. mit \eta=0.1 Du kannst jetzt natürlich noch ein wenig mit den Zahlen spielen, aber wichtig ist, daß Du erkennst, daß der Massenzuwachs der Schwarzen Löcher in den Quasar-Kernen von Galaxien exponentiell zunimmt, und zwar gemäß M(t)=M_0 exp(t/\tau) Du kannst ja mal zum Spaß noch ausrechnen, wie lange es dauert, bis ein Schwarzes Loch mit Anfangs\-Masse M_0=100 M_S auf die in der Aufgabe erwähnte Masse M_SL=4 \cross 10^8 M_S kommt. Grüße Juergen


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-25

Hallo Juergen, nochmals vielen Dank für deine Hilfe 👍👍👍 \quoteon(2022-01-24 22:46 - Spock in Beitrag No. 7) Daß da bei Dir eine negative Zeit rauskommt, sollte Dich stutzig machen, :-) \quoteoff Stimmt 😃, das kam mir auch echt komisch vor und ich habe die Rechnung mehrere Male vorgenommen, da ich dachte, ich hätte irgendwo einen Fehler beim Eingeben der Werte gemacht. Jetzt weiß ich aber, dass ich die gesamte Zeit die Masse falsch interpretiert habe. Ich bin immer davon ausgegangen, dass zum Zeitpunkt t_Q, die gesamte Masse des Gases mit E=m*c^2 in Energie, also Strahlung umgewandelt wurde, stattdessen wird die gesamte Masse vom Schwarzen Loch verschlungen. Wenn ich jetzt die Rechnung noch einmal mit dem Wirkungsgrad 0.1 vornehme, würde die Gleichung ja wie folgt aussehen t_Q=ln((M_(SL)+M_(gas))/M_(SL))*\tau Wenn man jetzt alle Werte einsetzt, erhalte ich eine Zeit von t=1.72*10^15 Stimmt die Rechnung so? Ich habe mal versucht auszurechnen, wie lange es dauert, bis ein Schwarzes Loch mit der Anfangsmasse M_0=100 M_S benötigt, um auf die Masse M_SL=4 \cross 10^8 M_S zu kommen. Bin dabei wie folgt vorgegangen: M(t)=M_0 exp(t/\tau) 4*10^8 M_S=M_0*exp(t/\tau) ln(4*10^8 M_S)=ln(M_0)*t/\tau t=ln((4*10^8 M_S)/(M_0))*\tau Dann habe ich die Werte eingesetzt mit M_S=1.99*10^30 kg, \tau=1 und c= 2.9979*10^8 m/s und erhalte eine Zeit von 2.72*10^17 s Gruß Tobias


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Hallo Tobias, die "Lebensdauer" des Quasars hast Du richtig berechnet. Achte darauf, daß Du auch die physikalische Einheit mit angibst, in Deinem Falle sind das Sekunden, bzw. umgerechnet t_Q~=5.5\cross 10^7 Jahre Das kommt von der Größenordnung her ganz gut hin. Grüße Juergen


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Hi Juergen, vielen Dank fürs drüberschauen und nochmals vielen Dank für deine Hilfe 👍👍👍, jetzt habe ich die gesamte Aufgabe viel besser verstanden 😃 Gruß Tobias


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