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| Autor |
  Realteilbildung von Integralen |
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Sandrob
Aktiv 
Dabei seit: 15.03.2020
Mitteilungen: 120
 |  Themenstart: 2022-01-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo Zusammen😁
Ich schreibe nächste Woche eine Prüfung in Mathematischen Methoden der Physik. Bei den Übungszetteln haben wir oftmals verwendet, dass man für das Integral einer Funktion $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}$ die Realteilbildung/Imaginärteilbildung oder die komplexe Konjugation mit dem Integral vertauschen darf. Gilt dies für alle Funktionen $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}$ oder sogar für Funktionen $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$?
Vielen Dank schon jetzt für eure Hilfe!
Sandrob\(\endgroup\)
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 Profil
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9470
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Sandrob,
ein Integral über ein reelles Intervall ist doch mit \( f(t)=u(t)+iv(t)\) gegeben durch
\( \displaystyle \int_a^b f(t)\, dt=\int_a^b (u(t)+iv(t))\, dt\) und das kann man in zwei Integrale auseinanderziehen.
Wenn du ein komplexes Kurvenintegral hast mit \( \gamma(t)=\gamma_1(t)+i\gamma_2(t) \), \( a\le t\le b\), dann ist
\(\displaystyle \int_\Gamma f(z) dz= \int_a^b \big(u(t)\dot \gamma_1(t)-v(t)\dot\gamma_2(t)\big)\, dt+i\int_a^b \big(u(t)\dot \gamma_2(t)+v(t)\dot\gamma_1(t)\big)\, dt\)
und das Auseinanderziehen ist etwas komplizierter und kommt wahrscheinlich für dich als Physiker nicht so oft vor.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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Sandrob
Aktiv
Dabei seit: 15.03.2020
Mitteilungen: 120
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo Wally,
Danke für deine ausführliche Antwort. Dann kann ich also begründen, dass man für Integral über Funktionen von der Form $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ den Realteil, Imaginärteil und komplexe Konjugation mit dem Integral vertauschen darf, da alle die drei benannten Funktionen $\mathbb{R}$-lineare Abbildungen sind?
Tatsächlich haben wir in diesem Kurs etwa die Hälfte in komplexe Analysis investiert und deswegen sind mir komplexe Kurvenintegrale schon nicht ganz neu. Die von dir erwähnte Gleichung haben wir jedoch nicht angeschaut, da der Fokus vielmehr auf der praktischen Anwendung liegt, als in den Beweisen (was ich manchmal auch ein bisschen schade finde🙁😄).
Liebe Grüsse
Sandrob\(\endgroup\)
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