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Lineare Algebra » Vektorräume » Basis eines Untervektorraums
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Universität/Hochschule Basis eines Untervektorraums
timowevel
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  Themenstart: 2022-01-23

Hallo, ich habe aktuell ein falsches Verständnis von Basen. Gegebener Untervektorraum von R^4: V_1 = {(x_1,x_2,x_3,x_4)^t \in R^4 | x_1 = x_2 + x_2 + x_3 + x_4)} Wenn man darauf jetzt eine Basis bilden möchte, muss man mit der Basis alle mit der "Gleichung erreichbaren Vektoren" erreichen, also alle die man damit bilden kann indem man die Zahlen passend auswählt, oder kann es weitere Beschränkungen darauf geben? Beispiel: Basis = {(1,0,1,0)^t,(0,1,-4,3)^t}. Einsetzen beider Vektoren in obige Gleichung liefert eine wahre Aussage. Ist es somit eine Basis des Untervektorraums? Oder muss eine potenzielle Basis die Demension = 3 haben, um eine Basis des obigen U.V.R zu sein? Danke und LG.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-23

Hallo, die Anzahl der Basisvektoren muss natürlich der Dimension des Untervektorraums enstprechen. Dessen Dimension ist 3, wie du richtig erkannt hast: es handelt sich nämlich um eine sog. Hyperebene. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]


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timowevel
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Vielen Dank Diophant! Darf man sagen: Die Dimension entspricht dem Freiheitsgrad der Gleichung, d.h. ich habe 3 unbekannte die ich rausfinden muss, um die Gleichung zu lösen? Beispiel: Bei 2x_2 = 3x_3 würde das Bedeuten, meine Dimension wäre = 1? Vielen Dank!


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-01-23 13:23 - timowevel in Beitrag No. 2) Darf man sagen: Die Dimension entspricht dem Freiheitsgrad der Gleichung, d.h. ich habe 3 unbekannte die ich rausfinden muss, um die Gleichung zu lösen? \quoteoff Ich würde hier nicht von "Freiheitsgraden" sprechen, sondern von der Dimension des Lösungsraums. Die entspricht der Anzahl an freien Parametern, die man benötigt, um die Lösungsmenge darzustellen. Insofern meinst du schon das richtige. \quoteon(2022-01-23 13:23 - timowevel in Beitrag No. 2) Beispiel: Bei 2x_2 = 3x_3 würde das Bedeuten, meine Dimension wäre = 1? \quoteoff Nein, das wäre offensichtlich falsch, da es hier ja auch noch (mindestens) eine Variable \(x_1\) gibt. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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timowevel
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Dankeschön, dann habe ich das jetzt verstanden! Danke!


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timowevel
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Jetzt muss ich doch nochmal fragen, wie wirkt sich das dann auf die Dimension der Basis von 2x_2 = 3x_3 aus? Der ganze Untervektorraum lautet: V_2 = {(x_1,x_2,x_3,x_4)^t \in R^4 | 2x_2 = 3x_3}


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-01-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-01-23 13:30 - timowevel in Beitrag No. 5) Jetzt muss ich doch nochmal fragen, wie wirkt sich das dann auf die Dimension der Basis von 2x_2 = 3x_3 aus? \quoteoff Das kommt ja darauf an, wie viele Dimensionen der eigentliche Vektorraum besitzt. Eine lineare Gleichung beschreibt stets eine Hyperebene. Wenn diese Gleichung also ebenfalls auf den \(\IR^4\) bezogen ist, dann lautet die Antwort auch hier 3. Denn die Lösungmenge wäre dann bspw. \(L=(t,3/2u,u,v)^T\). Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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timowevel
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Genau, R^4 Der ganze Untervektorraum lautet: V_2 = {(x_1,x_2,x_3,x_4)^t \in R^4 | 2x_2 = 3x_3}


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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-23 13:36 - timowevel in Beitrag No. 7) Genau, R^4 Der ganze Untervektorraum lautet: V_2 = {(x_1,x_2,x_3,x_4)^t \in R^4 | 2x_2 = 3x_3} \quoteoff Wie gesagt: dort beschreibt jede (homogene) lieare Gleichung einen UVR der Dimension 3. Gruß, Diophant


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timowevel
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Danke, ich bin aber grad noch dabei das grundsätzlich nachvollziehen zu können, daher hilft mir das leider grade nicht zu sehr :D Aber ich glaube ich habe es jetzt verstanden, also müssen wir mit unserer Basis dazu in der Lage sein, jeden Vektor der durch die Funktion beschrieben wird zu bilden + zusätzlich mit Berücksichtigung von x_1 und x_4, also z.B. (0,0,0,1), (0,3,2,0), (0,0,0,1) zu 2x_2 = 3x_3.


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-01-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-01-23 13:44 - timowevel in Beitrag No. 9) Danke, ich bin aber grad noch dabei das grundsätzlich nachvollziehen zu können, daher hilft mir das leider grade nicht zu sehr :D Aber ich glaube ich habe es jetzt verstanden, also müssen wir mit unserer Basis dazu in der Lage sein, jeden Vektor der durch die Funktion beschrieben wird zu bilden + zusätzlich mit Berücksichtigung von x_1 und x_4, also z.B. (0,0,0,1), (0,3,2,0), (0,0,0,1) zu 2x_2 = 3x_3. \quoteoff Ich nehme mal an, dass du dich da vertippt hast und die Vektoren \((1,0,0,0)^T\), \((0,3,2,0)^T\) und \((0,0,0,1)^T\) meinst? Für diesen Fall wäre das eine Basis dieses UVR. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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timowevel
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Genau, danke! Was ich noch nicht ganz verstanden habe, ist der Schnitt zw. zwei UVR. Betrachtet man z.B. die beiden UVR die ich gerade genannt habe, V_1 und V_2, lässt sich ein Untervektorraum der den Schnitt der beiden darstellt irgendwie anhand von Gleichungen charakterisieren oder darstellen?


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-23 13:53 - timowevel in Beitrag No. 11) Was ich noch nicht ganz verstanden habe, ist der Schnitt zw. zwei UVR. Betrachtet man z.B. die beiden UVR die ich gerade genannt habe, V_1 und V_2, lässt sich ein Untervektorraum der den Schnitt der beiden darstellt irgendwie anhand von Gleichungen charakterisieren oder darstellen? \quoteoff Ja sicher. Beide Gleichungen zusammen bilden ja ein (wiederum homogenes!) LGS, dessen Lösungsmenge der Schnitt ist. (Mache dir klar, weshalb dieser auch wieder ein UVR ist.) Gruß, Diophant


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timowevel
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Alles klar, danke! Wie müsste ich das machen, wenn ich ein logisches UND habe? Also ein Vektorraum wird durch 3x_1 = 5x_2 und x_3 = 2x_4 beschrieben? Ändert sich da was oder einfach: 3x_1 - 5x_2 = 0 x_3 - 2x_4 = 0 ? Danke!


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Diophant
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-01-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-01-23 14:01 - timowevel in Beitrag No. 13) Alles klar, danke! Wie müsste ich das machen, wenn ich ein logisches UND habe? Also ein Vektorraum wird durch 3x_1 = 5x_2 und x_3 = 2x_4 beschrieben? Ändert sich da was oder einfach: 3x_1 - 5x_2 = 0 x_3 - 2x_4 = 0 \quoteoff Beide Gleichungen beschreiben jeweils einen Untervektorraum des \(\IR^4\). Das LGS hingegen beschreibt den Schnitt dieser beiden Untervektorräume. Besser gesagt: seine Lösungsmenge. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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timowevel
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Ja hatte ich auch gemerkt, deswegen hatte ich den Beitrag nochmal bearbeitet :D


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timowevel
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Sprich wenn ich als Lösungsmenge 0 0 0 0 rausbekomme und ich das jetzt auf den Schnitt von 2 UVR übertrage heißt dass, dass der Schnitt = \emptyset ist? Bei der Addition von 2 UVR würde ich vermuten, man muss die Gleichungen addieren? Danke nochmal, vielmals!


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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-01-23

Hallo, \quoteon(2022-01-23 14:18 - timowevel in Beitrag No. 16) Sprich wenn ich als Lösungsmenge 0 0 0 0 rausbekomme und ich das jetzt auf den Schnitt von 2 UVR übertrage heißt dass, dass der Schnitt = \emptyset ist? Bei der Addition von 2 UVR würde ich vermuten, man muss die Gleichungen addieren? \quoteoff Der Schnitt ist nicht \(\emptyset\) sondern \(\{0\}\). Deine Vermutung entbehrt leider jeder Grundlage.


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timowevel
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Pardon, ich meinte die Basis des Nullvektors, das müsste dann die leere Menge sein. Ja wonach ich grade auf der Suche bin ist der Weg die Basis eines UVR zu bestimmen, der aus der Addition zweier anderer UVR entsteht :D


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Diophant
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-23 14:33 - timowevel in Beitrag No. 18) Pardon, ich meinte die Basis des Nullvektors, das müsste dann die leere Menge sein. \quoteoff Das ist richtig. \quoteon(2022-01-23 14:33 - timowevel in Beitrag No. 18) Ja wonach ich grade auf der Suche bin ist der Weg die Basis eines UVR zu bestimmen, der aus der Addition zweier anderer UVR entsteht :D \quoteoff Was meinst du hier? Die Summe zweier Untervektorräume? Dann solltest du da vielleicht die Definition nochmal studieren. Gruß, Diophant


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timowevel
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Ja genau, ich meine die Summe. Die Aufgabe lautet, die Summe der beiden Untervektorräume bildet einen neuen UVR. Und wir sollen dazu Basen bestimmen.


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Diophant
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\quoteon(2022-01-23 14:58 - timowevel in Beitrag No. 20) Ja genau, ich meine die Summe. Die Aufgabe lautet, die Summe der beiden Untervektorräume bildet einen neuen UVR. Und wir sollen dazu Basen bestimmen. \quoteoff Ich blicke jetzt gerade nicht mehr ganz durch, um welche UVR es jetzt geht... So noch nicht geschehen, berechne jeweils eine Basis der beiden Untervektorräume und recherchiere bitte eigenständig, was man unter einer Summe von Untervektorräumen versteht. Gruß, Diophant


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timowevel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
timowevel hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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