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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Matrixdarstellung von Operatoren in 3 Dimensionen
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Universität/Hochschule Matrixdarstellung von Operatoren in 3 Dimensionen
timebirts
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Mitteilungen: 14
  Themenstart: 2022-01-23

Hallo :) Mein Ziel ist die Matrix-Darstellung des Lz-Operators in der Eigenbasis des Hamiltonoperators. Hierbei befinden wir uns im (kartesisch) 3-dimensionalen Raum, was mir große Kopfschmerzen macht... Der Hamiltonoperator ist hierbei die Summe aller Teiloperatoren $\hat H = \hat H_1 +\hat H_2 +\hat H_3$ und der zugehörige Eigenzustand ist $|n_1 n_2 n_3 \rangle $. Somit ergibt sich für die EW-Gleichung: $$ \hat H _1 |n_1 n_2 n_3 \rangle + \hat H _2 |n_1 n_2 n_3 \rangle + \hat H _3 |n_1 n_2 n_3 \rangle ~=~ \hbar \omega (n_? + \frac 3 2 )|n_1 n_2 n_3 \rangle ~~~~~~ (i)$$ (mir ist nicht ganz klar wo hier der Eigenwert her kommt) Die Matrixdarstellung des eindimensionalen $\mathcal{H}_i$-Operators lautet in seinem Eigensystem: $$ \hat H_i | n_i \rangle ~=~ \hbar \omega \begin{bmatrix} \frac 1 2 & 0 & 0 & ...\\ 0 & \frac 3 2 & 0 & ...\\ 0 & 0 & \frac 5 2 & ... \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{bmatrix}_{n\times n} | n_i \rangle ~=~\hbar \omega (n_i+ \frac{1} 2 ) | n_i \rangle ~~~~~~~~~(ii)$$ Ich frage mich nun zunächst, wie ich die $|n_1 n_2 n_3 \rangle$ statt den einfachen $|n_i \rangle$ zu deuten habe. Nach meiner Vorstellung müssten diese 'Eigenvektoren' nun nx3-Matritzen sein, da ja eben pro Dimension n Zustände möglich sind. Bei unserer Betrachtung beschränken wir uns jedoch auf den Energiewert $ E= \frac 5 2 \hbar \omega$. Eigenbasis wird daher durch {$ {| 100 \rangle, | 010 \rangle, | 001 \rangle} $} aufgespannnt, in dieser soll der $L_z$-Operator ausgedrückt werden. Grundüberlegeung war folgende: Die {$ {| 100 \rangle, | 010 \rangle, | 001 \rangle} $} bilden hier bzgl. dieses Unterraums ein vollständiges ONS, weshalb ich die Eigenvektoren von $L_z$ als Linearkombination dieser ONS angeben können müsste. Großes Problem ist hier, dass für die EW-Gleichung des $L_z$ Operators gilt: $$ \hat L_z | n,l,m \rangle ~=~ \hbar m |n,l,m \rangle $$ Ich brauche also (bereits in einer Dimension) im Prinzip für jede Hauptquantenzahl n eine Verschachtelung für die Drehimpulsquantenzahlen l und hier dann wiederum eine Verschachtelung für die magnetischen Quantenzahlen m. Ich habe in diesem Zusammenhang auch etwas von einer unitären Transformation gelesen, jedoch leider nicht wirklich nachvollziehen können. Schonmal vielen Dank für eure Hilfe :) Viele Grüße


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Spock
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-24

Hallo, sofern "Dein Ziel" als Ursache eine wohlformulierte Aufgabenstellung hat, würde ich Dir vorschlagen, diese zunächst hier im Originalwortlaut aufzuschreiben. Das Ganze sieht mir nach einem dreidimensionalen harmonischen Oszillator aus? Und wenn man das Problem mit der formalen Methode (ohne Schrödingergleichung usw.) angehen möchte, betrachtet man zunächst den eindimensionalen Fall, und die Stichworte wären Besetzungsdarstellung, Leiteroperatoren, Erzeugungs-, Vernichtungsoperatoren, usw. Aufbauend auf den eindimensionale Fall kommt man dann durch Bildung sog. direkter Produkte zum dreidimensionalen Oszillator. Aber wie gesagt, erstmal genauer aufschreiben, was Du tun magst/sollst. Grüße Juergen


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