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Universität/Hochschule J Eine absolute Anfänger-Frage
Hannibal22
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  Themenstart: 2022-01-25

Guten Tag erst einmal von einem Neumitglied. 🙂 Ich bin schon ein älteres Semester und möchte mein Fernuni-Stusium wieder aufnehmen. Ich bin mathematisch nicht „unbegabt“ 😉, aber ich hatte schon immer mit Beweisführung Probleme. Ein Beispiel aus dem Analysis-Skript heißt ganz am anfang: . i) Wir zeigen, dass für alle a, b ∈ R die Gleichung (1) a+x = b genau eine Lösung besitzt: Nach 1.1.1(v) hat die Gleichung a+x0 = 0 eine L-sung, namlich x0 = −a. Es folgt a + (x0 + b) = (a + x0) + b = 0 + b = b. Also löst x := x0 + b = −a + b die Gleichung (1). Wäre ˜x ebenfalls eine Losung von (1), so hätten wir a + x = b = a + ˜x. Hieraus folgt −a + (a + x) = −a + (a + ˜x), also (−a + a) + x = (−a + a) + ˜x, woraus 0 + x = 0 + ˜x, also x = ˜x folgt. Damit ist die Eindeutigkeit der Lösung von (1) gezeigt. 1.1.1. I-V sind die 5 Körpereigenschaften. Der beweis soll ausschließlich mit diesen erfolgen. Mein problem ist, ich sehe einfach den weg nicht, da ich immer denke: x = -a + b, das sehe ich doch sofort in der Gleichung, was soll ich denn da beweisen 🙄. Ich vermute ich muss meine Sichtweise da ändern, aber ich weiß einfach nicht wie 🙂. vielleicht hat jemand einen Rat. grüße stephan


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Die Dinger heißen eigentlich "Körperaxiome", und es sind 9 an der Zahl (bzw. für die reellen Zahlen noch ein paar mehr). Es geht hier darum, die einzelnen Schritte beim Auflösen einer linearen Gleichung mit diesen Axiomen zu begründen bzw. zu rechtfertigen. Von daher wäre es hilfreich, wenn du uns deine Auflistung dieser... \quoteon(2022-01-25 11:35 - Hannibal22 im Themenstart) I-V sind die 5 Körpereigenschaften. \quoteoff ...fünf Körpereigenschaften posten könntest. Die Lösung der Gleichung \(a+x=0\) bspw. folgt aus der Existenz des inversen Elements bzgl. der Addition. Da geht es bei mir schon los, dass ich ins Grübeln komme, wie bzw. weshalb dieses Axiom bei der Nummerierung die V abbekommen konnte... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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ligning
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-25

Die Axiome sind dort merkwürdigerweise so gegeben, dass sie jeweils eine Aussage über Addition und Multiplikation gleichzeitig machen. Das erste lautet beispielsweise "$x+y=y+x$ und $x\cdot y = y\cdot x$". Entsprechendes hat man bei allen, nur nicht beim Distributivgesetz, und so kommt man auf 5 statt 9. Die Axiome sind 1) Kommutativität 2) Assoziativität 3) Distributivität 4) Existenz von neutralen Elementen 5) Existenz von inversen Elementen.


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DavidM
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-25

\quoteon(2022-01-25 11:35 - Hannibal22 im Themenstart) Mein problem ist, ich sehe einfach den weg nicht, da ich immer denke: x = -a + b, das sehe ich doch sofort in der Gleichung, was soll ich denn da beweisen 🙄. Ich vermute ich muss meine Sichtweise da ändern, aber ich weiß einfach nicht wie 🙂. \quoteoff Tatsächlich kann man den Beweis auch so führen, dass man zuerst zeigt, dass man zuerst zeigt, dass $-a+b$ eine Lösung ist. Wenn man das ganz streng aus den Körperaxiomen folgern will, muss man allerdings noch dazu sagen, was $-a$ sein soll, nämlich ein Element, für das $a+(-a)=0$ gilt und Axiom V sagt dann eben genau, dass ein solches existiert. Du musst dann aber auf jeden Fall zeigen, dass das auch tatsächlich eine Lösung ist, also du musst aus den Axiomen folgern, dass $a+(-a+b)=b$ ist. Wie würde das gehen? Und ganz wichtig: Das zeigt nur, dass es eine Lösung gibt, nicht, dass das die einzige ist. So ausführlich wie hier macht man das auch in der Regel nur ganz am Anfang vom Studium, trotzdem ist das aber durchaus wichtig, damit man einmal lernt, wie man Aussagen aus gegebenen Definitionen folgern kann - das braucht man nämlich überall in der Mathematik. Gruß, David [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Hannibal22
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-25

Hallo nochmal, ja das mit den 5 Axiomen ist im Skript genau so wie von ligning beschrieben. @David: danke für die Erläuterungen. Ich sehe für mich irgendwie den "Anfang" noch nicht. Die Aussage im Skript ist: Seien a,b € R gegeben. Dann gibt es genau ein x € R mit a + x = b, und, falls a ungleich 0 ist, gibt es genau ein y € R mit ay = b. Ich verstehe natürlich die Argumente bloß wäre ich niemals auf die Idee gekommen, nun mit a + x0 = 0 und Axiom (v) - inverses Element - anzufangen. Ich will das diesmal nur ganz genau verstehen warum dieser Weg folgt und was der Beweggrund ist, damit ich dass für die Zukunft endlich mal verinnerlicht habe. Ich denke das ist für mich extrem wichtig. Was denkt der Mathematiker wenn er so einen Beweis führen will, zuerst ? Ich hoffe auf einen baldigen Durchbruch. Nach 25 Arbeitsjahren ist die Denkweise ein wenig eingerostet 😁 Vielleicht hast Du (ihr) noch ein kleine weitere Starthilfe für mich..... Grüsse Stephan


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, dein oben angeführter Weg ist auch ziemlich opulent. Hat man alle Körperaxiome (bzw. in deiner Version die Körpereigenschaften) zur Verfügung, dann kann man mittels Addition mit \(-a\) von links und der Anwendung des Kommutativgesetzes sofort (ohne Umweg über die Gleichung a+x=0) die Lösung x=b-a erhalten. Die Eindeutigkeit begründet man dann genau so, wie du es oben dastehen hast. Diese "Körpereigenschaften", wie sie bei euch genannt werden, sind in Wirklichkeit sog. Axiome. Das sind Grundannahmen, die man nicht auf einfachere Sachverhalte zurückführen und mithin nicht beweisen kann. Der Grundgedanke bei der Herleitung der Lösung \(x=b-a\) ist einfach der: man trifft diese Grundannahmen und nimmt sie als wahr an. Und dann muss man einfach ausnutzen, dass die hier notwendigen Umformungen jeweils direkt durch so ein Axiom bzw. eine Körpereigenschaft "legitimiert" sind. Interessanter ist da schon der Beweis der Eindeutigkeit. Das ist eine Problematik, die man an vielen Stellen in der Mathematik findet. Und die Vorgehensweise hier wird dich durch das Studium begleiten: man nimmt einmal für den Moment an, dass es zwei verschiedene Lösungen \(x\), \(\tilde x\) gibt. Da die Terme \(a+x\) und \(a+\tilde x\) den gleichen Wert \(b\) haben müssen, setzt man sie gleich und folgert daraus (wiederum unter Zuhilfenahme der Existenz des additiv Inversen), dass \(x=\tilde x\) ist. Zum Thema Beweise finden, Beweismotive, etc. gibt es hier auf dem Matheplanet zwei wunderschöne und lehrreiche Artikel: 1): Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann 2): Typische Beweismotive. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-01-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) \quoteon(2022-01-25 15:33 - Hannibal22 in Beitrag No. 4) Ich will das diesmal nur ganz genau verstehen warum dieser Weg folgt und was der Beweggrund ist, damit ich dass für die Zukunft endlich mal verinnerlicht habe. Ich denke das ist für mich extrem wichtig. \quoteoff Das ist nicht unbedingt die richtige Vorangehensweise. Ein Mathematiker schreibt seinen Beweis nicht zwingend in der gleichen Reihenfolge auf, in der es gefunden wurde. Nein, oft schreibt man es sogar komplett umgekehrt auf... und lässt 10 Seiten Schmierpapier aus. Das liegt daran, dass man die Idee oft in einer anderen Reihenfolge schlüssiger formulieren kann. Vielleicht nicht ganz passend, aber auch nicht allzu unpassend: Wenn du z.B. eine Geschichte schreiben möchtest, dann fällt dir vielleicht zuerst ein guter Schluss oder ein spannender Höhepunkt ein und überlegst dir die anderen Teile nachher. Auf die Schnelle fällt mir gerade nichts Besseres ein: Künstliches Beispiel. Finde (mit Beweis) alle Lösungen von $$x^3 - 1448x^2 + 151305 x - 3874626 = 0$$ in $\R$. Wenn man keinen Computer zur Hand hat, könnte man mühsam mit der Formel von Cardano (das ist die Lösungsformel kubischer Gleichungen) alle Lösungen berechnen. Nach einigen Seiten Fleißarbeit (und wahrscheinlich tausenden Rechenfehlern) hat man alle Lösungen berechnet: $42, 69, 1337$. Wie schreibt ein Mathematiker letztendlich seinen Beweis auf? Beweis. Wenn man $42, 69, 1337$ einsetzt, dann kann man unmittelbar nachrechnen, dass sie Lösungen dieser Gleichung sind. Da eine kubische Gleichung höchstens $3$ Lösungen hat, sind das alle. $\square$ Beachte: Wir haben mit dem Endergebnis angefangen und die Herleitung komplett weggelassen. Der Beweis schein quasi vom Himmel zu fallen. Das ist typisch für Beweise von Mathematikern. Wenn dein Lehrbuch oder Paper sich gerade nicht die Mühe macht, die Idee zu erklären, dann ist die Aufgabe eines guten Studenten, diese Idee selber zu finden und zu verstehen. (Ich würde auch empfehlen Ausschau nach solchen Büchern zu halten.) Diese Idee muss sich allerdings keinesfalls ausschließlich linear aus dem Text ergeben. \quoteon(2022-01-25 15:33 - Hannibal22 in Beitrag No. 4) Was denkt der Mathematiker wenn er so einen Beweis führen will, zuerst ? \quoteoff Kurze Antwort: Sehr sehr viel. Aufforderung an dich: Stift und Papier raus und herumspielen.\(\endgroup\)


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DavidM
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-25

\quoteon(2022-01-25 15:33 - Hannibal22 in Beitrag No. 4) @David: danke für die Erläuterungen. Ich sehe für mich irgendwie den "Anfang" noch nicht. Die Aussage im Skript ist: Seien a,b € R gegeben. Dann gibt es genau ein x € R mit a + x = b, und, falls a ungleich 0 ist, gibt es genau ein y € R mit ay = b. Ich verstehe natürlich die Argumente bloß wäre ich niemals auf die Idee gekommen, nun mit a + x0 = 0 und Axiom (v) - inverses Element - anzufangen. Ich will das diesmal nur ganz genau verstehen warum dieser Weg folgt und was der Beweggrund ist, damit ich dass für die Zukunft endlich mal verinnerlicht habe. Ich denke das ist für mich extrem wichtig. Was denkt der Mathematiker wenn er so einen Beweis führen will, zuerst ? \quoteoff Wie Kezer schon geschrieben hat, ist der erste Gedanke, den man für so etwas hat, selten dasselbe, wie der erste Schritt im fertig aufgeschriebenen Beweis. Die Gedanken, die einen zur Lösung führen, sind generell bei jedem ein bisschen anders, hier könnte das zum Beispiel ungefähr folgendermaßen aussehen: Im Prinzip weiß man ja schon, dass $-a+b$ die einzige Lösung sein wird. Wenn man das jetzt formal beweisen möchte, sollte man sich als erstes klar machen, was man mit $-a+b$ genau meint und warum so ein Objekt existiert. Jetzt ist es ja so, dass man in einem Körper schon von der Definition hr eine Addition und eine Multiplikation hat, allerdings keine Subtraktion. Was also ist $-a$? Genau an der Stelle kommt Axiom V ins Spiel. Das sagt uns, dass es zu $a$ ein Element $x_0$ gibt (mit welchem Symbol man das bezeichnet, ist völlig egal), sodass $a+x_0=0$ ist. Das ist aber genau das, was wir meinen, wenn wir $-a$ schreiben. Somit wissen wir, dass so etwas wie $-a+b$ existiert, auch wenn es hier $x_0+b$ existiert. Und für dieses Element können wir jetzt zeigen, dass es tatsächlich das erfüllt, was wir wollen, dass es also tatsächlich eine Lösung ist. Und dann müssen wir noch zeigen, dass es die einzige Lösung ist.


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Hannibal22
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-25

Vielen Dank für Eure Antworten. Ich glaube jetzt habe ich es begriffen. In jedem Fall werde ich in Zukunft meine Herangehensweise überdenken. Gelegenheiten wird es ja genügend geben. Der Punkt mit der "fehlenden" Subtraktion bei den Axiomen macht mir nun klar, warum der Autor des Skripts mit Axiom (V) angefangen hat. Prima. Euch noch einen schönen Abend. Grüsse Stephan 👍


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