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Matroids Matheplanet Forum Index » Problemschach » *Springertausch auf kleinem Schachbrett
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Kein bestimmter Bereich J *Springertausch auf kleinem Schachbrett
Wario
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https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52997_8_555555.png Die schwarzen Springer sollen mit den weißen die Plätze tauschen (mit dem Turm geschieht nichts). (Wer möchte kann Fragen bearbeiten wie: "Wie viele Lösungsmöglichkeiten?", "Wie viele Züge mindestens" etc.)


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tactac
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-25

* Die kürzesten Lösungen bestehen aus 16 Steinbewegungen. * Es gibt 4726784 kürzeste Lösungen. * Legt man darauf Wert, dass Schwarz und Weiß abwechseln ziehen, gibt es 1020 kürzeste Lösungen (die auch aus 16 Steinbewegungen, also dann 8 richtigen Schachzügen, bestehen).


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Wario
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26

\quoteon(2022-01-25 23:09 - tactac in Beitrag No. 1) * Die kürzesten Lösungen bestehen aus 16 Steinbewegungen. * Es gibt 4726784 kürzeste Lösungen. * Legt man darauf Wert, dass Schwarz und Weiß abwechseln ziehen, gibt es 1020 kürzeste Lösungen (die auch aus 16 Steinbewegungen, also dann 8 richtigen Schachzügen, bestehen). \quoteoff Aja, sieh mal an. Die Rechnungen dazu wären interessant.


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tactac
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-26

\quoteon(2022-01-26 13:39 - Wario in Beitrag No. 2) \quoteon(2022-01-25 23:09 - tactac in Beitrag No. 1) * Die kürzesten Lösungen bestehen aus 16 Steinbewegungen. * Es gibt 4726784 kürzeste Lösungen. * Legt man darauf Wert, dass Schwarz und Weiß abwechseln ziehen, gibt es 1020 kürzeste Lösungen (die auch aus 16 Steinbewegungen, also dann 8 richtigen Schachzügen, bestehen). \quoteoff Aja, sieh mal an. Die Rechnungen dazu wären interessant. \quoteoff Ganz einfach: ich habe es auf das Problem zurückgeführt, zwei weiße und zwei schwarze Wesire anstelle der Springer die Plätze tauschen zu lassen (die Mitte darf von ihnen trotzdem nicht betreten werden).


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tactac
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Aber trotzdem mal ein Rechenweg, den man auch händisch (auch ohne Taschenrechner) gehen könnte, wenn man sich eine Stunde lang konzentrieren kann. \sourceon Liste 0. [(W.W.B.B.,1)] 1. [(W.W.B..B,1),(W.W..BB.,1),(W..WB.B.,1),(.WW.B.B.,1)] 2. [(W.W..B.B,2),(W..WB..B,2),(W..W.BB.,2),(.WW.B..B,2),(.WW..BB.,2),(.W.WB.B.,2)] 3. [(BWW.B...,2),(W.W...BB,2),(W..W.B.B,6),(W...WBB.,2),(.WW..B.B,6),(.W.WB..B,6),(.W.W.BB.,6),(..WWB.B.,2)] 4. [(BWW..B..,8),(BW.WB...,8),(W..W..BB,8),(W...WB.B,8),(.WW...BB,8),(.W.W.B.B,24),(.W..WBB.,8),(..WWB..B,8),(..WW.BB.,8)] 5. [(BWW...B.,16),(BW.W.B..,40),(B.WWB...,16),(W...W.BB,16),(.W.W..BB,40),(.W..WB.B,40),(..WW.B.B,40),(..W.WBB.,16)] 6. [(BWW....B,16),(BW.W..B.,96),(BW..WB..,80),(B.WW.B..,96),(W....WBB,16),(.BWWB...,16),(.W..W.BB,96),(..WW..BB,80),(..W.WB.B,96),(...WWBB.,16)] 7. [(BW.W...B,112),(BW..W.B.,272),(B.WW..B.,272),(B.W.WB..,272),(.BWW.B..,112),(.W...WBB,112),(..W.W.BB,272),(...WWB.B,112)] 8. [(BW..W..B,384),(BW...WB.,384),(B.WW...B,384),(B.W.W.B.,1088),(B..WWB..,384),(.BWW..B.,384),(.BW.WB..,384),(..W..WBB,384),(...WW.BB,384)] 9. [(BW...W.B,768),(B.W.W..B,1856),(B.W..WB.,1856),(B..WW.B.,1856),(.BWW...B,768),(.BW.W.B.,1856),(.B.WWB..,768),(...W.WBB,768)] 10. [(BBWW....,768),(BW....WB,768),(B.W..W.B,4480),(B..WW..B,3712),(B..W.WB.,4480),(.BW.W..B,4480),(.BW..WB.,3712),(.B.WW.B.,4480),(..BWWB..,768),(....WWBB,768)] 11. [(BBW.W...,5248),(B.W...WB,5248),(B..W.W.B,12672),(B...WWB.,5248),(.BW..W.B,12672),(.B.WW..B,12672),(.B.W.WB.,12672),(..BWW.B.,5248)] 12. [(BBW..W..,17920),(BB.WW...,17920),(B..W..WB,17920),(B...WW.B,17920),(.BW...WB,17920),(.B.W.W.B,50688),(.B..WWB.,17920),(..BWW..B,17920),(..BW.WB.,17920)] 13. [(BBW...W.,35840),(BB.W.W..,86528),(B.BWW...,35840),(B...W.WB,35840),(.B.W..WB,86528),(.B..WW.B,86528),(..BW.W.B,86528),(..B.WWB.,35840)] 14. [(BBW....W,35840),(BB.W..W.,208896),(BB..WW..,173056),(B.BW.W..,208896),(B....WWB,35840),(.BBWW...,35840),(.B..W.WB,208896),(..BW..WB,173056),(..B.WW.B,208896),(...BWWB.,35840)] 15. [(BB.W...W,244736),(BB..W.W.,590848),(B.BW..W.,590848),(B.B.WW..,590848),(.BBW.W..,244736),(.B...WWB,244736),(..B.W.WB,590848),(...BWW.B,244736)] 16. [(BB..W..W,835584),(BB...WW.,835584),(B.BW...W,835584),(B.B.W.W.,2363392),(B..BWW..,835584),(.BBW..W.,835584),(.BB.WW..,835584),(..B..WWB,835584),(...BW.WB,835584)] \sourceoff Die Figuren bewegen sich ja auf einem Kreis. Da sie sich nicht aneinander vorbeibewegen können und wir die kürzesten Lösungen zählen wollen, lässt man sie oBdA immer im Uhrzeigersinn gehen und sammelt die verschiedenen erreichbaren Zustände samt der Anzahl der Wege, auf denen sie erreichbar sind, auf. Wir wollen von W.W.B.B. nach B.B.W.W. und wissen daher eigentlich auch schon, dass die kürzesten Lösungen aus 16 Bewegungen bestehen. (Theoretisch könnte man deshalb auch Vorwärtsschritte vom Anfang und Rückwärtsschritte vom Ende her aufeinander zubewegen; in der Mitte gibt's dann ein paar Zustände, wo man sich trifft; die entsprechenden Anzahlen wären dann miteinander zu multiplizieren; aber wir lassen das mal weg.) Wenn man in einem Schritt genau von A und B zum Zustand C kommt, und A auf n Wegen erreichbar ist und B auf m Wegen, so C auf n+m Wegen usw. Daher sind die Zahlen immer Summen von einigen Zahlen aus der vorhergehenden Zeile. Zeile 16 enthält den Zielzustand mit der Wegeanzahl 2363392. Das ist nur die Hälfte der schon genannten Zahl, weil wir hier nur im Uhrzeigersinn gehen. Analog könnte man natürlich auch gegen den Uhrzeigersinn gehen. (Und ja, ich habe die eigentlich aussortierbaren Zustände dringelassen, die nicht mehr zu einer kürzesten Lösung führen können, weil mindestens eine Figur schon zu weit gelatscht ist, und alle deswegen nochmal eine ganze Runde rum müssten.) Edit: Doch noch etwas zum Aufeinanderzubewegen vom Anfang und vom Ende: Das Problem ist ja sehr symmetrisch. Daher reicht es auch, gleich nur vorwärts bis zur Mitte zu gehen, kurz zu überlegen, und dann: $8\cdot 384^2 + 1088^2 = 2363392$. 😄\(\endgroup\)


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Wario
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-27

Ich habe mir mal folgendes überlegt, man könnte auch ein regelmäßiges Achteck hernehmen, auf dem, entsprechend des Startaufbaus, zwei weiße und zwei schwarze Ecken platziert sind. Diese nummerierten Ecken können nun grundsätzlich 3 Nummern (im Urzeigersinn) weiterspringen. Aus diesem Modell müsste man -mutmaßlich- relevante Anzahlen herleiten können, mit einer halbwegs klassischen Kombinatorikrechnung. Ich bin aber nicht tief genug drin in dem Thema, als das ich das gerade machen könnte. Für mich war das Rätsel gerade primär, das Bewältigen der (LaTeX-)Setzertat (entsprechende Pakete etc.) und das Erstellen der gezeigten gif-Animation, was ich mir in einem einfachen Beispiel anlernen wollte. In dem Zusammenhang habe ich dann ggf. bald noch ein besseres Rätsel.


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Wario
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________________ Neues Rätsel: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257402


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Wario hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Wario hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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