Die Mathe-Redaktion [Home] - Neues auf einen Blick 21.05.2022 11:05 [Neues] [Forum] [Suche] - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Eigenwerte » Minimalpolynom und charakteristisches Polynom
Autor
Universität/Hochschule Minimalpolynom und charakteristisches Polynom
jodie93
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.01.2022
Mitteilungen: 4
  Themenstart: 2022-01-28

Hey Leute, es geht darum die folgenden zwei Aussagen zum Minimalpolynom zu zeigen: a) Charakteristisches Polynom = Minimalpolynom,genau dann, wenn die geometrisches Vielfachheit aller Eigenwerte 1 ist b) Eine Nullstelle \(\lambda\in K\) von \(m_A\) ist genau dann einfach, wenn \(\text{Kern}(A-\lambda I_n)=\text{Kern}((A-\lambda I_n))^2\) ist. Zu a) \(\Leftarrow\): Da die geometrische Vielfachheit für alle Eigenwerte 1 ist, wissen wir, dass alle Jordanblöcke die Größe 1 haben und ebenfalls wissen wir, dass dann die algebraische Vielfachheit aller Eigenwerte auch 1 ist, da gilt: $$l=\sum\limits_{i=1}^{l}1=\sum\limits_{i=1}^{l}g(\lambda_i,A)=\sum\limits_{i=1}^{l}a(\lambda_i,A)=\sum\limits_{i=1}^{l}1$$ Da also die algebraische Vielfachheit aller Eigenwerte 1 ist und die Jordanblöcke immer die maximale Größe 1 haben, folgt: $$m_A=\prod\limits_{i = 1}^{l}(t-\lambda_i)^1=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)...(t-\lambda_3)=p_A$$ Zur Rückrichtung fehlt mir gerade noch ein wirklicher Ansatz. Da wäre ich über jede Hilfe dankbar. Zu b) Hier bin ich momenta noch komplett ratlos und würde mich sehr über Tipps und Anregungen freuen. LG Jodie

   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46521
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-28

Hi jodie93, bei a) gibt es keine Rückrichtung. Es stimmt nicht, dass die Jordanblöcke die Größe 1 haben. Gruß Buri

   Profil
jodie93
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.01.2022
Mitteilungen: 4
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-28

Hallo Buri, danke erstmal für deine Antwort. Die Aufgabe ist allerdings tatsächlich eine "genau dann, wenn" Aussage. Hatte ich vielleicht etwas undeutlich formuliert. Ich hatte auch noch vergessen, zu erwähnen, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Ist es nun möglich? Ich komme trotzdem auf keinen wirklichen Ansatz

   Profil
jodie93 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]