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Mathematik » Stochastik und Statistik » nicht-bijektive Abbildung von Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule nicht-bijektive Abbildung von Zufallsvariablen
Sinnfrei
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Im folgenden soll eine nicht-bijektive Abbildung von Zufallsvariablen untersucht werden. Verwendet wird als Abbildung $$Y = X^2 \quad (1)$$ Die zugehörige Umkehrfunktion ist definiert zu $$X = +\sqrt{Y} \quad (2)$$ Für diese Abbildung ist der Verlauf des gesuchten Ergebnis $p_Y(y)$ auf Grund der nicht vorhandenen Bijektivität nicht invariant gegenüber einer Translation $p_X(x-x_0)$ der ursprünglichen Verteilungsdichte $p_X(x)$.$\color{red}{[1]}$ Es wird hier als Beispiel eine achsensymmetrische PDF für X gemäß $$p_X(x) = 0.5 \cdot \operatorname{rect}{\left(\frac{x}{2}\right)}$$ betrachtet. Wäre die PDF von $X$ identisch Null für negative $X$, so wäre die Abbildung in Gleichung (1) wieder bijektiv. Daher wird die verwendete Abbildung in zwei Schritte zerlegt gemäß $\color{red}{[2]}$ $$Y = X'^2 \quad (3)$$ $$X' = |X| \quad (4)$$ um wieder eine bijektive Abbildung zu erhalten. Es ergeben sich die Darstellungen$\color{red}{[3]}$: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_nicht-bijektive_Abbildung.png $links: PDF~der~Groeße~X,~rechts:~PDF~der~gleichgerichteten~Groeße~X'$ Die ursprünglichen negativen Werte, die die Zufallsgröße $X$ annehmen konnte werden infolge der Betragsbildung auf positive Werte abgebildet. Die Zufallsgröße $X'$ wird nun durch eine PDF $p_{X'}(x')$ beschrieben, die im Intervall $[0;1]$ nun gegenüber $p_X(x)$ den doppelten Wert aufweist. $$p_{X'}(x') = \operatorname{rect}(x'-0.5) \quad (5)$$ Für $X'$ liegt nun eine bijektive Abbildung vor und es kann zur weiteren Berechnung folgende Gleichung $$p_{Y}(y) = p_{X'}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d(g^{-1}(y))}{dy} \quad (6)$$ $$= \operatorname{rect} \left(\sqrt{y} - 0.5\right)\cdot \frac{d\sqrt{y}}{dy}$$ $$= \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \operatorname{rect}(y - 0.5)$$ Damit ergibt sich der unten dargestellte Verlauf der PDF der Variablen Y. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_PDF_s_nicht_bijektive_Abbildung.png Fragen: Zu $\color{red}{[1]}$: Den Satz: "Für diese Abbildung ist der Verlauf des gesuchten Ergebnis $p_Y(y)$ auf Grund der nicht vorhandenen Bijektivität nicht invariant gegenüber einer Translation $p_{X}(x-x_0)$ der ursprünglichen Verteilungsdichte $p_X(x)$" den verstehe ich im Bezug auf nicht-bijektive Abbildungen nicht. Das einzige was mir hier was sagt, wäre die Translation, das meint ja die Verschiebung in X-Richtung. Zu $\color{red}{[2]}$: Wäre die PDF von X identich Null für negative $X$,so wäre die Abbildung in Gleichung (1) wieder bijektiv. Was ist damit gemeint? Wie kann man sich das vorstellen? Wie geht die einzelne Zerlegung der Abbildung im Bezug zu den Bildern oder der Zufallsvariablen. Also wie kommt man auf die beiden $Y=X'^2$ und $X'=|X|$ im Bezug zu den Darstellungen der PDF's Zu $\color{red}{[3]}$: Wie kommt man darauf das, der Betrag oder das aus [2], dass in der hälfte geteilte des $\operatorname{rect}$ und das es auf dem anderen $\operatorname{rect}$ gelegt werden muss.


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-27

Hallo Sinnfrei, zu [3]: Als ein "muss" sehe ich das nicht, das ergibt sich nur in diesem speziellen Fall. Beim zweiten Bild wird nicht auf das untere Rechteck eine hyperbolische Fläche aufgesetzt. Die horizontale Linie bei 1/2 hat für mich die Bedeutung, den Funktionswert bei y=1 zu markieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(Y\) einen Wert in dem infinitesimal kleinen Intervall \([ y,y+\mathrm{d}y]\) annimmt, ist gleich der Fläche \(p_Y(y)\mathrm{d}y\). Die Zuvallsvariable \(Y\) nimmt einen Wert in diesem Intervall an, wenn die Zufallsvariable X einen Wert in dem Urbild \(g^{-1}([y,y+\mathrm{d}y])\) annimmt. Im Fall \(Y=|X]\) ist das ein x aus den beiden Intervallen \([y,y+dy]\) und \([-y,-y-dy]\). Somit gilt \(p_Y(y)\mathrm{d}y = p_X(y)\mathrm{d}y + p_X(-y)\mathrm{d}y\) und nach "teilen durch \(\mathrm{d}y\)" dann \(p_Y(y) = p_X(y) + p_X(-y)\). Das bedeutet, beide Rechtecke \(p_X(y), y>0\) und \(p_X(-y), y>0\) kann man aneinanderlegen. Zu [2]: Wenn \(p_X\) identisch Null für negative \(X\), entfällt ein Summand und nach "teilen durch \(\mathrm{d}y\)" erhält man die Gleichung (6), wenn man das allgemein für \(Y=g(X)\) aufschreibt. Bei einer bijektiven Funktion \(Y=g(X)\) ist das Urbild \(g^{-1}(\{y\})\) einelementig und man kann es als \(g^{-1}(y)\) schreiben. Hier halte ich mal an. Zu [1]: Da fehlt etwas die Erläuterung, was mit invariant gemeint ist. Bei der identischen Abbildung \(Y=X\) beispielsweise würde eine Translation von \(p_X\) auch zu einer Translation von \(p_Y\) führen, also absolut unverändert kann mit invariant nicht gemeint sein. Viele Grüße, Stefan


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

\quoteon(2022-02-27 08:48 - StefanVogel in Beitrag No. 1) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(Y\) einen Wert in dem infinitesimal kleinen Intervall \([ y,y+\mathrm{d}y]\) annimmt, ist gleich der Fläche \(p_Y(y)\mathrm{d}y\). Die Zuvallsvariable \(Y\) nimmt einen Wert in diesem Intervall an, wenn die Zufallsvariable X einen Wert in dem Urbild \(g^{-1}([y,y+\mathrm{d}y])\) annimmt. Im Fall \(Y=|X]\) ist das ein x aus den beiden Intervallen \([y,y+dy]\) und \([-y,-y-dy]\). Somit gilt \(p_Y(y)\mathrm{d}y = p_X(y)\mathrm{d}y + p_X(-y)\mathrm{d}y\) und nach "teilen durch \(\mathrm{d}y\)" dann \(p_Y(y) = p_X(y) + p_X(-y)\). Das bedeutet, beide Rechtecke \(p_X(y), y>0\) und \(p_X(-y), y>0\) kann man aneinanderlegen. \quoteoff Genau dieses aneinander/aufeinanderlegen verstehe ich hier nicht. Es wird doch nur der Betrag, der Zufallsvariable $\mathrm{X}$ angenommen. Also die zwei Schritte, bei der Zerlegung. Wenn ich doch den Betrag von etwas nehme, dann sind die Werte ja einfach nur positiv. Da ja in dem Fall die Zufallsvariable $\mathrm{X}$ Werte zwischen $[-1,1]$ hat, werden diese Werte doch auf $[0,1]$ abgebildet. Das mit dem Infinitesimal kleinen Bereich, in diesem Bezug verstehe ich noch nicht. Ist das allgemeingültig? \quoteon(2022-02-27 08:48 - StefanVogel in Beitrag No. 1) Zu [1]: Da fehlt etwas die Erläuterung, was mit invariant gemeint ist. Bei der identischen Abbildung \(Y=X\) beispielsweise würde eine Translation von \(p_X\) auch zu einer Translation von \(p_Y\) führen, also absolut unverändert kann mit invariant nicht gemeint sein. \quoteoff Ich glaube das mit "invariant" gemeint ist, dass die Verschiebung am Eingang in dem Fall nicht zu einer Verschiebung am Ausgang (X=Input, Y= Output) führt.


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StefanVogel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-10

\quoteon(2022-07-08 13:00 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Genau dieses aneinander/aufeinanderlegen verstehe ich hier nicht. \quoteoff Anstelle \(X, X', Y\) verwende ich die Bezeichnungen \(X, Y, Z\). Gesucht ist im ersten Schritt die Dichtefunktion \(p_Y(y)\) zur Zufallsvariablen \(Y=|X|\). Außerhalb des Intervalls \((0,1)\) muss sie \(0\) sein, weil \(X\) keine solchen Werte annimmt. $ \begin{tikzpicture} \draw[white] (-2.1,0) -- (-2.0); \begin{scope} %X %Koordinatensystem \draw[-Stealth] (-1.5,0) -- (2,0) node[below] {x}; \draw[-Stealth] (0,0) -- (0,2) node[below right] {$p_X(x)$}; \node[below] at (-1,0) {$-1$}; \node[below] at (1,0) {$+1$}; \node[above right] at (0,0.5) {$1/2$}; %p_X(x) \draw[blue,thick] (-1.3,0) -- (-1,0) -- (-1,0.5) -- (1,0.5) -- (1,0) -- (1.4,0); \end{scope} \begin{scope}[shift={(4.5,0)}] %Y=|X| \node at (0,0.8) {$\huge Y=|X|$}; \node at (0,0.3) {$\huge \Rightarrow$}; \end{scope} \begin{scope}[shift={(8,0)}] %Y %Koordinatensystem \draw[-Stealth] (-1.2,0) -- (2,0) node[below] {y}; \draw[-Stealth] (0,0) -- (0,2) node[below right] {$p_Y(y)$}; \node[below] at (-1,0) {$-1$}; \node[below] at (1,0) {$+1$}; \node[left] at (0,0.5) {$0{,}5$}; \node[left] at (0,1) {$1{,}0$}; %p_Y(y) \draw[blue,thick] (-0.5,0) -- (0,0) edge [dotted,out=90,in=90,looseness=5] node[below] {?} (1,0) (1,0) -- (1.4,0); \end{scope} \end{tikzpicture} $ Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Zufallsvariable einen Wert in einem beliebigen Intervall [a,b] annimmt, ist gleich dem Inhalt der von der Dichtefunktion begrenzten Fläche über den Intervall [a,b]. Also betrachte ich ein sehr schmales Intervall \([y,y+dy]\) mit \(0


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-10

Erstmal großen Respekt für diese schöne und detailreiche Darstellung in Latex. Hin- und wieder bin ich selber sprachlos, wie wenig ich doch in Latex kann und auf der anderen Seite wie schön und detailreich diese Sprache, wenn man sie dann auch mal soweit kann, ist. Großes Dankeschön allein für deine Mühe. Zum Inhalt werde ich mich dbzgl. noch melden. Viele Grüße Sinnfrei


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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-14

\quoteon(2022-02-27 08:48 - StefanVogel in Beitrag No. 1) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(Y\) einen Wert in dem infinitesimal kleinen Intervall \([ y,y+\mathrm{d}y]\) annimmt, ist gleich der Fläche \(p_Y(y)\mathrm{d}y\). Die Zuvallsvariable \(Y\) nimmt einen Wert in diesem Intervall an, wenn die Zufallsvariable X einen Wert in dem Urbild \(g^{-1}([y,y+\mathrm{d}y])\) annimmt. Im Fall \(Y=|X]\) ist das ein x aus den beiden Intervallen \([y,y+dy]\) und \([-y,-y-dy]\). Somit gilt \(p_Y(y)\mathrm{d}y = p_X(y)\mathrm{d}y + p_X(-y)\mathrm{d}y\) und nach "teilen durch \(\mathrm{d}y\)" dann \(p_Y(y) = p_X(y) + p_X(-y)\). Das bedeutet, beide Rechtecke \(p_X(y), y>0\) und \(p_X(-y), y>0\) kann man aneinanderlegen. \quoteoff Das mit dem addieren der WDF \(p_Y(y)\mathrm{d}y = p_X(y)\mathrm{d}y + p_X(-y)\mathrm{d}y\) verstehe ich immer noch nicht. Wenn ich doch etwas bijektiv machen möchte, was vorher nicht bijektiv war, müsste ich doch nur den Definitions- und Wertebereich anpassen. Wie z.B. bei $x^2$, um dann die Umkehrfunktion bilden zu können. Ist das in der Stochastik allgemein so, dass man die Werte, die sich im negativen befinden auf die positive Achse abbildet, damit die WDF dann bijektiv ist? Das mit der Bijektivität verstehe, in diesem Zusammenhang nicht. Eigentlich sollte doch auch die WDF von $x' = |X|$ nicht bijektiv sein, da sie ja nicht injektiv ist aber anscheinend ist das hier anders zu verstehen. Nachtrag: \quoteon(2022-02-27 08:48 - StefanVogel in Beitrag No. 1 Zu [2]: Wenn \(p_X\) identisch Null für negative \(X\), entfällt ein Summand und nach "teilen durch \(\mathrm{d}y\)" erhält man die Gleichung (6), wenn man das allgemein für \(Y=g(X)\) aufschreibt. Bei einer bijektiven Funktion \(Y=g(X)\) ist das Urbild \(g^{-1}(\{y\})\) einelementig und man kann es als \(g^{-1}(y)\) schreiben. Hier halte ich mal an. \quoteoff Hier sagst du ja das die bijektive Funktion $Y = g(X)$ als Urbild $X = g^-1(Y)$ ist. Rein rechnerisch ist das ja einfach nur Umkehrfunktion. Am Anfang wird gesagt, falls die PDF für $X < 0$ identisch $0$ ist, wäre die Funktion $Y = X^2$ wieder bijektiv. Diesen Satz verstehe ich nicht. Warum hat die Bijektivität von $Y$ was mit der PDF von $X$ zu tun? Müsste die Bijektivität von $Y$ nicht allein von der Zufallsvariablen $X$ abhängen, da diese ja eine Funktion entspricht, die in $Y$ auftaucht? Nachtrag: Könnte ich das auch so, wie im folgenden Video ab Minute 17:19 machen? ECE 302 Lecture 4.8 Transformation of random variables Dort geht es auch um $Y = X^2$


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StefanVogel
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-09-17

\quoteon(2022-09-14 23:49 - Sinnfrei in Beitrag No. 5) Das mit dem addieren der WDF \(p_Y(y)\mathrm{d}y = p_X(y)\mathrm{d}y + p_X(-y)\mathrm{d}y\) verstehe ich immer noch nicht. \quoteoff Anstelle der Begründung mit dem "Dichtefunktion übereinander stapeln" kann man das auch noch anders herleiten. Das versuche ich am Ende dieses Beitrages. \quoteon Wenn ich doch etwas bijektiv machen möchte, was vorher nicht bijektiv war, müsste ich doch nur den Definitions- und Wertebereich anpassen. Wie z.B. bei $x^2$, um dann die Umkehrfunktion bilden zu können. \quoteoff 100% Zustimmung, so soll das bijektiv gemacht werden, um die Umkehrfunktion bilden zu können. \quoteon Ist das in der Stochastik allgemein so, dass man die Werte, die sich im negativen befinden auf die positive Achse abbildet, \quoteoff Etwas weniger Zustimmung, diesen allgemeinen Überblick habe ich nicht. Negative Werte mit der Betragsfunktion auf die positive Achse abbilden ist bestimmt eine recht häufige Variante. Andere Intervalle mit anderen Funktionen transformieren ist deswegen nicht ausgeschlossen. \quoteon damit die WDF dann bijektiv ist? \quoteoff Das könnte der Grund für das Mißverständnis sein. Nicht die WDF soll bijektiv sein, sondern die Funktion \(g\) in der Gleichung (6) im Themenstart. \quoteon Das mit der Bijektivität verstehe, in diesem Zusammenhang nicht. ... Warum hat die Bijektivität von $Y$ was mit der PDF von $X$ zu tun? \quoteoff Eben nichts, es geht nur um die Bijektivität von dem \(g\) in \(Y=g(X)\). Wie \(p_X(x)\) und \(p_Y(y)\) aussehen ist ohne Bedeutung. \quoteon Müsste die Bijektivität von $Y$ nicht allein von der Zufallsvariablen $X$ abhängen, da diese ja eine Funktion entspricht, die in $Y$ auftaucht? \quoteoff So ist es. \quoteon Nachtrag: Könnte ich das auch so, wie im folgenden Video ab Minute 17:19 machen? ECE 302 Lecture 4.8 Transformation of random variables Dort geht es auch um $Y = X^2$ \quoteoff Ja, genau diese Variante wollte ich auch vorschlagen, den Weg über die Verteilungsfunktion gehen. Das ist der Weg, der auf die reine Anwendung der benötigten Definitionen führt. Das "Übereinanderstapeln der Dichtefunktion" verstehe ich eher als Anregung, wie man sich das Ergebnis irgendwie schnell graphisch herleiten kann, und wenn man dem nicht so recht glauben will, das selber als Übungsaufgabe zu rechnen.


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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-17

\quoteon(2022-09-17 08:03 - StefanVogel in Beitrag No. 6) Das könnte der Grund für das Mißverständnis sein. Nicht die WDF soll bijektiv sein, sondern die Funktion \(g\) in der Gleichung (6) im Themenstart. \quoteoff Ich meinte natürlich, warum die PDF für negative $X = 0$ dann die Gleichung in $(1)$ also $Y = g(X) = X^2$ bijektiv wird. Das war darauf, aus dem Themenstart bezogen. Diesen Satz kann ich so nicht nachvollziehen, da wie du bereits auch gesagt hast, die Bijektivität nichts mit der PDF zu hat, sondern mit der Funktion $g(X) = X^2$ \quoteon(2022-09-14 23:49 - Sinnfrei in Beitrag No. 5) Das mit der Bijektivität verstehe, in diesem Zusammenhang nicht. ... Warum hat die Bijektivität von $Y$ was mit der PDF von $X$ zu tun? \quoteon(2022-09-17 08:03 - StefanVogel in Beitrag No. 6) Eben nichts, es geht nur um die Bijektivität von dem \(g\) in \(Y=g(X)\). Wie \(p_X(x)\) und \(p_Y(y)\) aussehen ist ohne Bedeutung. \quoteoff \quoteoff Also halten wir mal fest, die Bijektivität von $g(X)$ soll gezeigt werden. Eingangs im Themenstart wird doch anhand der PDF von $|X|$ gesagt, dass nun $g(X)$ bijektiv ist oder? Ich nehme dann an, dass man anhand der PDF zumindest erkennen kann, dass $g(X)$ bijektiv ist, das suggeriert für mich der Text aus dem Themenstart (Skript). Würde dann nicht nur die Abszisse , der PDF von $X$ für die Bijektivität von $g(X)$ entscheidend dafür sein? Warum dieses überstappeln dann gemacht wird, verstehe ich hier nicht. Mal überlegen, die Funktion $g(X) = X^2$ hat mit der Rechteckverteilung, die im Ursprung seine Symmetrielinie hat, zwei verschiedene Werte. Wäre die Rechteckverteilung mittig zum Ursprung, also sagen wir mal die PDF der Rechteckverteilung hat nur Werte von $X>0$, wie du im Beitrag No. 3) ganz unten, in der letzten Zeile dargestellt hast, müsste man dann noch den Betrag bilden? Eigentlich ja nicht, weil die Werte von $X$, die auf der Abszisse liegen keine symmetrischen Werte hat. Wären die Werte von $X$ jedoch wieder wie im Themenstart, dann würde man symmetrisch zum Ursprung eine Symmetrie der Werte von $X$ feststellen. Dann könnte ich bei nur positiven Werten von $X>0$ doch eigentlich direkt zur PDF von $Y$ übergehen oder? Wenn ich jedoch wie in dem Video, über die Verteilungsfunktion gehen würde, weiss ich zunächst einmal dass die CDF eine Rechteckfunktion ist, sprich eben rechteckverteilt ist. Dann bildet man die CDF, also $$P_Y(y) = P_Y[Y \leq y] = P_Y[X^2\leq y] = P_Y[X\leq\pm\sqrt{y}] = P_Y[-\sqrt{y}\leq X\leq\sqrt{y}]$$ $$=P_X(\sqrt{y}) - P_X(-\sqrt{y})$$ Das differenziert man und man erhält die PDF von Y $$p_Y(y)=P_X^{'}(\sqrt{y}){1\over 2\sqrt{2}} + P_X^{'}(-\sqrt{y}){1\over 2\sqrt{y}} = {1\over 2\sqrt{y}}\left[p_X(\sqrt{y}) + p_X(-\sqrt{y})\right]$$ Also im Grunde genommen wie in dem Video. Wie würde ich das dann zeichnen? Kann ich für $y$ alles einsetzen für $y \geq 0$? Hierfür bräuchte man dann den Verlauf von der PDF von $X$, das wäre die Rechteckfunktion aus dem Themenstart, die mittig im Ursprung liegt. Das fällt mir gerade etwas schwierig. Wie kann ich denn dort etwas für $y$ einsetzen, wenn die Abszisse doch $X$ ist?


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StefanVogel
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-09-18

\quoteon(2022-09-17 12:39 - Sinnfrei in Beitrag No. 7) Ich meinte natürlich, warum die PDF für negative $X = 0$ dann die Gleichung in $(1)$ also $Y = g(X) = X^2$ bijektiv wird. \quoteoff Nimm das "bijektiv werden" nicht allzu wörtlich, sondern so, wie das in diesem Zusammenhang gemeint ist. Etwa wie das Wort "machen" in dem Spruch "eine Schwalbe macht noch keinen Sommer". Die Schwalbe macht da überhaupt nichts mit dem Sommer und der Sommer richtet sich nicht im geringsten danach was die Schwalbe macht. Für beides gibt es nur eine gemeinsame Ursache, wo man untersuchen kann, ob das zu einem Zusammenhang zwischen beiden Folgen führt. Eine mehr oder weniger geeignete PDF macht die Funktion \(g(x)\) genau genommen nicht bijektiv. Die Funktion \(g(x)\) bleibt unverändert so wie sie ist, da kann die PDF machen was sie will. Man kann versuchen, mittels einer Variablentransformation \(X'=|X|\) in die bijektive Hälfte \(h(x)=x^2, x \ge 0\) hineinzukommen. Dann ist die Abbildung \(Y=h(X)=(X')^2\) bijektiv, weil \(h(x)\) einen anderen Definitionsbereich hat. \(g\) und \(h\) gelten aber als verschiedene Funktionen, weil sie sich im Definitionsbereich unterscheiden. Ein Nebeneffekt ist, dass die PDF von \(X'\) auf der negativen Achse Null wird und das wird dann in eine Formulierung gepackt wie im Skript "Wäre die PDF von \(X\) identisch Null für negative \(X\), so wäre die Abbildung in Gleichung (1) wieder bijektiv". \quoteon(2022-09-17 12:39 - Sinnfrei in Beitrag No. 7) Also halten wir mal fest, die Bijektivität von $g(X)$ soll gezeigt werden. Eingangs im Themenstart wird doch anhand der PDF von $|X|$ gesagt, dass nun $g(X)$ bijektiv ist oder? Ich nehme dann an, dass man anhand der PDF zumindest erkennen kann, dass $g(X)$ bijektiv ist, das suggeriert für mich der Text aus dem Themenstart (Skript). Würde dann nicht nur die Abszisse , der PDF von $X$ für die Bijektivität von $g(X)$ entscheidend dafür sein? Warum dieses überstappeln dann gemacht wird, verstehe ich hier nicht. Mal überlegen, die Funktion $g(X) = X^2$ hat mit der Rechteckverteilung, die im Ursprung seine Symmetrielinie hat, zwei verschiedene Werte. Wäre die Rechteckverteilung nicht mittig zum Ursprung, also sagen wir mal die PDF der Rechteckverteilung hat nur Werte von $X>0$, wie du im Beitrag No. 3) ganz unten, in der letzten Zeile dargestellt hast, müsste man dann noch den Betrag bilden? Eigentlich ja nicht, weil die Werte von $X$, die auf der Abszisse liegen keine symmetrischen Werte hat. Wären die Werte von $X$ jedoch wieder wie im Themenstart, dann würde man symmetrisch zum Ursprung eine Symmetrie der Werte von $X$ feststellen. Dann könnte ich bei nur positiven Werten von $X>0$ doch eigentlich direkt zur PDF von $Y$ übergehen oder? \quoteoff Da habe ich ein "nicht" ergänzt, dann stimmen diese Überlegungen schon. Wegen dem Übereinanderstapeln der PDF, das funktioniert so nur für rechteckige PDF. Sonst muss man das noch etwas anders formulieren. Mein Vorschlag, berechne erstmal wie im Video die CDF von \(X'=|X|\) für unterschiedliche CDF von X. In deiner bisherigen Berechnung habe ich folgende Fehler gefunden: Die CDF einer Gleichverteilung ist keine Rechteckfunktion. Der Zwischenschritt \(...= P_Y[X\leq\pm\sqrt{y}]\) drückt nicht das aus was gemeint ist und kann auch ganz weggelassen werden. \quoteon(2022-09-17 12:39 - Sinnfrei in Beitrag No. 7) Wie kann ich denn dort etwas für $y$ einsetzen, wenn die Abszisse doch $X$ ist? \quoteoff Gesucht ist der Funktionswert \(p_Y(y)\) an der Stelle \(y\) und dieser wird aus verschiedenen Funktionswerten \(p_X(x)\) an den Stellen \(x=\sqrt{y}\) und \(x=-\sqrt{y}\) berechnet.


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-18

\quoteon(2022-09-18 08:40 - StefanVogel in Beitrag No. 8) Da habe ich ein "nicht" ergänzt, dann stimmen diese Überlegungen schon. Wegen dem Übereinanderstapeln der PDF, das funktioniert so nur für rechteckige PDF. Sonst muss man das noch etwas anders formulieren. Mein Vorschlag, berechne erstmal wie im Video die CDF von \(X'=|X|\) für unterschiedliche CDF von X. In deiner bisherigen Berechnung habe ich folgende Fehler gefunden: Die CDF einer Gleichverteilung ist keine Rechteckfunktion. Der Zwischenschritt \(...= P_Y[X\leq\pm\sqrt{y}]\) drückt nicht das aus was gemeint ist und kann auch ganz weggelassen werden. \quoteoff https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-18_112934.png Habe die CDF $X'$ auf zwei verschiedene Weisen gerechnet. Also einmal wie in dem Video und einmal mittels Integral. Zudem habe ich nochmal den Weg zurück zur PDF von $X'$ gemacht. Weiss aber nicht was mir das jetzt sagen soll. Das zeigt doch nur, dass die PDF im Skript für $X'$ stimmt aber nicht warum die Abbildung aus (1) bijektiv ist. Zudem fällt es mir schwer, den Satzteil zum Ende zu verstehen: "... für unterschiedliche CDF von X". Wenn das was ich im Bild gerechnet richtig sein sollte, habe ich dich dann dennoch richtig verstanden, dass du meintest, dass ich die CDF von $X'$ bestimme.


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StefanVogel
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-09-18

Das Ergebnis \(p_{X'}(x') = p_X(x') + p_X(-x')\) stimmt und wenn du dazu keine Zweifel mehr hast, ist das ein gute Ausgangspunkt, um den Rest auch noch zu verstehen. Jetzt brauchen wir diese Gleichung nicht mehr graphisch herleiten sondern nur graphisch veranschaulichen. Dafür werden infinitesimale \(dx\) nicht mehr gebraucht. Ich nehme nochmal das Beispiel \(X\) gleichverteilt von -1 bis 1. Wenn ich wissen will, wie groß der Funktionswert \(p_{X'}(x')\) für \(x'=0{,}7\) ist, lese ich im Graph die beiden Funktionswerte \(p_X(0{,}7)\) und \(p_X(-0{,}7)\) ab und addiere sie, graphisch durch übereinandersetzen der orangen und grauen Strecken. $ \begin{tikzpicture} \draw[white] (-2.1,0) -- (-2.0); \begin{scope} %X %background \fill[grey!30] (0.7,0.5) -- (0.7,0) -- (0.75,0) -- (0.75,0.5); \fill[orange!30] (-0.75,0.5) -- (-0.75,0) -- (-0.7,0) -- (-0.7,0.5); %Koordinatensystem \draw[-Stealth] (-1.5,0) -- (2,0) node[below] {x}; \draw[-Stealth] (0,0) -- (0,2) node[below right] {$p_X(x)$}; \node[below] at (-1,0) {-1}; \node[below] at (1,0) {+1}; \node[above right] at (0,0.5) {1/2}; %p_X(x) \draw[blue,thick] (-1.3,0) -- (-1,0) -- (-1,0.5) -- (1,0.5) -- (1,0) -- (1.4,0); \end{scope} \begin{scope}[shift={(4.5,0)}] %X'=|X| \node at (0,0.8) {$\huge X'=|X|$}; \node at (0,0.3) {$\huge \Rightarrow$}; \end{scope} \begin{scope}[shift={(8,0)}] %X' %background \fill[grey!30] (0.7,0.5) -- (0.7,0) -- (0.75,0) -- (0.75,0.5); \fill[orange!30] (0.7,1) -- (0.7,0.5) -- (0.75,0.5) -- (0.75,1); %Koordinatensystem \draw[white] (-2.1,0) -- (-2.0); \draw[-Stealth] (-1.2,0) -- (2,0) node[below] {x'}; \draw[-Stealth] (0,0) -- (0,2) node[below right] {$p_{X'}(x')$}; \node[below] at (-1,0) {-1}; \node[below] at (1,0) {+1}; \node[left] at (0,0.5) {0{,}5}; \node[left] at (0,1) {1{,}0}; %p_Y(y) \draw[blue,thick] (-0.5,0) -- (0,0) -- (0,1) -- (1,1) -- (1,0) -- (1.4,0); \end{scope} \end{tikzpicture} $ So kann man das übers gesamte Intervall machen und es entsteht der Eindruck, dass die Rechtecke grau und orange übereinandergesetzt wurden. Wenn die PDF von \(X\) eine Dreieckfunktion ist, dann werden auch die einzelnen Funktionswerte addiert, $ \begin{tikzpicture} \draw[white] (-2.1,0) -- (-2.0); \begin{scope} %X %background \fill[grey!30] (0.7,0.25) -- (0.7,0) -- (0.75,0) -- (0.75,0.25); \fill[orange!30] (-0.75,0.25) -- (-0.75,0) -- (-0.7,0) -- (-0.7,0.25); %Koordinatensystem \draw[-Stealth] (-1.5,0) -- (2,0) node[below] {x}; \draw[-Stealth] (0,0) -- (0,2) node[below right] {$p_X(x)$}; \node[below] at (-1,0) {-1}; \node[below] at (1,0) {+1}; \node[above right] at (0,1) {1}; %p_X(x) \draw[blue,thick] (-1.3,0) -- (-1,0) -- (0,1) -- (1,0) -- (1.4,0); \end{scope} \begin{scope}[shift={(4.5,0)}] %X'=|X| \node at (0,0.8) {$\huge X'=|X|$}; \node at (0,0.3) {$\huge \Rightarrow$}; \end{scope} \begin{scope}[shift={(8,0)}] %X' %background \fill[grey!30] (0.7,0.25) -- (0.7,0) -- (0.75,0) -- (0.75,0.25); \fill[orange!30] (0.7,0.5) -- (0.7,0.25) -- (0.75,0.25) -- (0.75,0.5); %Koordinatensystem \draw[-Stealth] (-1.2,0) -- (2,0) node[below] {x'}; \draw[-Stealth] (0,0) -- (0,2.2) node[right] {$p_{X'}(x')$}; \node[below] at (-1,0) {-1}; \node[below] at (1,0) {+1}; \node[left] at (0,2) {2}; \node[left] at (0,1) {1}; %p_Y(y) \draw[blue,thick] (-0.5,0) -- (0,0) -- (0,2) -- (1,0) -- (1.4,0); \end{scope} \end{tikzpicture} $ aber man kann nicht mehr sagen, dass die beiden Teildreiecke von \(p_X(x)\) einfach nur übereinandergesetzt werden. Diese Aussage stimmt allgemein nicht. Jetzt verschiebe ich die PDF von \(X\) noch in den positiven Bereich, $ \begin{tikzpicture} \draw[white] (-2.1,0) -- (-2.0); \begin{scope} %X %background \fill[grey!30] (1.7,0.25) -- (1.7,0) -- (1.75,0) -- (1.75,0.25); \fill[orange!30] (0.25,0.25) -- (0.25,0) -- (0.3,0) -- (0.3,0.25); %Koordinatensystem \draw[-Stealth] (-1.5,0) -- (2.8,0) node[below] {x}; \draw[-Stealth] (0,0) -- (0,2) node[below right] {$p_X(x)$}; \node[below] at (-1,0) {-1}; \node[below] at (1,0) {+1}; \node[left] at (0,1) {1}; %p_X(x) \draw[blue,thick] (-1.3,0) -- (0,0) -- (1,1) -- (2,0) -- (2.4,0); \end{scope} \begin{scope}[shift={(4.5,0)}] %X'=|X| \node at (0,0.8) {$\huge X'=|X|$}; \node at (0,0.3) {$\huge \Rightarrow$}; \end{scope} \begin{scope}[shift={(8,0)}] %X' %background \fill[grey!30] (1.7,0.25) -- (1.7,0) -- (1.75,0) -- (1.75,0.25); \fill[orange!30] (0.25,0.25) -- (0.25,0) -- (0.3,0) -- (0.3,0.25); %Koordinatensystem \draw[-Stealth] (-1.2,0) -- (2.8,0) node[below] {x'}; \draw[-Stealth] (0,0) -- (0,2) node[below right] {$p_{X'}(x')$}; \node[below] at (-1,0) {-1}; \node[below] at (1,0) {+1}; \node[left] at (0,1) {1}; %p_Y(y) \draw[blue,thick] (-1.3,0) -- (0,0) -- (1,1) -- (2,0) -- (2.4,0); \end{scope} \end{tikzpicture} $ da bleibt \(p_{X'}(x')=p_X(x')\) unverändert, weil \(p_X(-x')=0\) ist. In dieser Situation ist \(Y=|X|\) bijektiv, weil \(X\) nur nichtnegative Werte annimmt. \quoteon(2022-09-18 11:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 9) Das zeigt doch nur, dass die PDF im Skript für $X'$ stimmt aber nicht warum die Abbildung aus (1) bijektiv ist. \quoteoff Nochmal, diese Aussage nicht wörtlich nehmen. Die Abbildung (1) ist nicht bijektiv und so steht das auch nicht im Skript. Die Abbildung (1) wäre bijektiv, wenn \(X\) nur nichtnegative Werte annehmen würde, also deren PDF gleich Null für negative Werte. Um so eine Situation zu erreichen, wird die Abbildung (1) zerlegt in Abbildung (3) und Abbildung (4). Davon ist die Abbildung (3) bijektiv, weil jetzt das \(X'\) nur nichtnegative Werte annimmt. Da kann man jetzt Gleichung (6) anwenden. Abbildung (4) ist nicht bijektiv, zu der kann aber die PDF vergleichsweise einfach bestimmt werden.


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-18

Die Gleichung würde dann für $X' = 0.7$ wie folgt lauten $$p_X'(x' = 0.7) = p_X(0.7) + p_X(-0.7) = {1\over 2}+{1\over 2} = 1$$ $$p_X'(0.7) = 1$$ Aber man braucht diesen Zwischenschritt mit $X' = |X|$ ja nicht machen, um direkt auf die PDF von $Y$ zu kommen aber dann komme ich auf folgendes https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-18_193917.png Ist denn $(1)$ richtig, da im Themenstart mit $X' = |X|$ die PDF von $Y$ gebildet wurde, weiss ich das jetzt nicht, ergibt aber denke ich denselben Verlauf. Weiterhin geht es mir auch im Punkt $(2)$, wie z.B. von $P_X(x)$ an die Verteilungsfunktion $P_Y(y)$ kommt. Also nicht von $P_Y(y)$ ausgehend. Danke an der Stelle nochmals für die Mühe, die du in Latex steckst. Ich weiss nicht, ob du mit einem PS tool die Grafiken erstellst, aber die sehen doch mal richtig gut aus. Vielleicht kannst du mir ja ein tool empfehlen, falls du eins kennst, womit du auch selber schon Erfahrungen gesammelt hast. Viele Grüße Sinnfrei


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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-09-18

Ergebnis (1) stimmt. Ja, den Zwischenschritt \(X'=|X|\) kann man auch weglassen und alles in einem Schritt rechnen. Schon in der zweiten Zeile deiner Berechnung (1) kannst du \(P_Y(y)\) aus \(P_X(x)\) bestimmen: \(P_Y(y) = P_X(\sqrt{y}) - P_X(-\sqrt{y})\) Wenn nur \(p_X(x)\) gegeben ist, dann erhält man das benötigte \(P_X(x)\) durch Integrieren von \(p_X(x)\). Die Grafik gebe ich beim Beitrag schreiben Schritt für Schritt mit ein und drücke fast nach jedem neuen Detail die Vorschautaste, um gleich die Eingabefehler zu finden. Ich mache recht viele Fehlversuche, das ist schon mühsam so. Als Anleitung verwende ich die pdf-Version von https://tikz.dev. Ich schließe mich deinen Worten an, vielleicht liest es zufällig jemand von TikZ. Die Grafiken \quoteon(2022-09-18 19:45 - Sinnfrei in Beitrag No. 11) die sehen doch mal richtig gut aus. \quoteoff


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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-18

\quoteon(2022-09-18 21:27 - StefanVogel in Beitrag No. 12) Ergebnis (1) stimmt. Ja, den Zwischenschritt \(X'=|X|\) kann man auch weglassen und alles in einem Schritt rechnen. Schon in der zweiten Zeile deiner Berechnung (1) kannst du \(P_Y(y)\) aus \(P_X(x)\) bestimmen: \(P_Y(y) = P_X(\sqrt{y}) - P_X(-\sqrt{y})\) \quoteoff Das habe ich doch gemacht \quoteon(2022-09-18 21:27 - StefanVogel in Beitrag No. 12) Wenn nur \(p_X(x)\) gegeben ist, dann erhält man das benötigte \(P_X(x)\) durch Integrieren von \(p_X(x)\) \quoteoff Das ist auf den Punkt (2) bezogen oder? Jetzt sehe ich das. Was mir aber auffällt ist, dass die PDF von $Y$ aus dem Themenstart, eine Rechteckfunktion mit Verschiebung nach rechts um $0.5$ hat. Ist das denn noch dasselbe, wie das was ich mit (1) gerechnet habe? Ich werde mir das ganze trotzdem nochmal genauer, mit Hilfe der Videos von Stanley Chan zu Gemüte führen. Der erklärt das zumindest besser als mein Professor und das um längen. Wie ich den auf Youtube gefunden habe, weiss ich auch nicht - Purer Zufall. Ich hatte diesen Aufgabentyp bereits aufgegeben. Auch wenn es eigentlich nur eine Kleinigkeit ist, sitze ich da schon echt lange dran und meistens hänge ich mich da an diesen Kleinigkeiten auf, da wo du dann auch schon gesagt hast, dass ich es nicht so auffassen soll, wie es da steht und das ist für mich schon sehr komisch.


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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-09-18

\quoteon(2022-09-18 21:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 13) Was mir aber auffällt ist, dass die PDF von $Y$ aus dem Themenstart, eine Rechteckfunktion mit Verschiebung nach rechts um $0.5$ hat. Ist das denn noch dasselbe, wie das was ich mit (1) gerechnet habe? \quoteoff Im Intervall \(0 \le x \le 1\) ist \(\operatorname{rect}(\frac{x}{2}) = \operatorname{rect}(x-0{,}5)\). Gleichung (5) im Themenstart soll auch für \(x<0\) gelten, dafür geht nur die Variante mit \(x-0{,}5\).


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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-18

Und wie komme ich dann darauf, ohne diesen Zwischenschritt mit $X' = |X|$ zu machen. Du sagtest vorhin, dass es auch so ohne diesen Zwischenschritt gehen würde.


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StefanVogel
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-09-18

So wie du Berechnung (1) gemacht hast. Der entscheidende Punkt (sehe ich jetzt so) ist in der zweiten Gleichung die Umformung der Verteilungsfunktion in eine Wahrscheinlichkeit \(P_Y(y)=P(Y \le y)=P(g(X) \le y)\). Bis dahin ist das nur Definition und Voraussetzung einsetzen. Ab da muss man sich Gedanken machen, wie man zu der gesuchten Wahrscheinlichkeit \(P(g(X) \le y)\) kommt, also welche Ereignisse sich in der Ungleichung \(g(X) \le y\) verbergen. Bei invertierbarem \(g\) kann man das einfach nach \(X\) umstellen, sonst muss man weiter überlegen, für welche \(X\) die Ungleichung erfüllt ist. \quoteon(2022-09-18 21:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 13) da wo du dann auch schon gesagt hast, dass ich es nicht so auffassen soll, wie es da steht und das ist für mich schon sehr komisch. \quoteoff Das will ich nochmal genauer beschreiben. Die Bezeichnungen "Abbildung", "Funktion", "bijektiv" müssen irgendwo im Skript oder vorher schon definiert worden sein. Bei den Definitionen, die ich kenne, gehört zur Definition einer Funktion unbedingt die Angabe des Definitionsbereiches dazu. Das wird im Skript nicht gemacht. Da kann man nur noch versuchen, aus dem Zusammenhang herausfinden, das mit "\(g(x)=x^2\) wird bijektiv" die Einschränkung (das ist auch exakt definiert) \(h(x)=x^2, x\ge 0\) gemeint ist.


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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-18

\quoteon(2022-09-18 22:55 - StefanVogel in Beitrag No. 16) Das will ich nochmal genauer beschreiben. Die Bezeichnungen "Abbildung", "Funktion", "bijektiv" müssen irgendwo im Skript oder vorher schon definiert worden sein. Bei den Definitionen, die ich kenne, gehört zur Definition einer Funktion unbedingt die Angabe des Definitionsbereiches dazu. Das wird im Skript nicht gemacht. Da kann man nur noch versuchen, aus dem Zusammenhang herausfinden, das mit "\(g(x)=x^2\) wird bijektiv" die Einschränkung (das ist auch exakt definiert) \(h(x)=x^2, x\ge 0\) gemeint ist. \quoteoff Das habe ich doch schon in Beitrag No. 5 bereits gesagt. Also das mit der Bijektivität. Wenn ich aber nach der Bijektivität auf der PDF von $X$ achte, dann habe ich da nur die Abszisse, die hier nur die Werte aus dem Wertebereich für die Zufallsvariable $X$ Auskunft über die Bijektivität gibt und das ist mein Problem. Wenn wir sagen ok, wir dürfen nur die positiven Werte von $X^2$ nehmen, sprich der rechte Ast von der Parabel, dann sehe ich das so, dass nur die negativen Werte von $X^2$ verschwinden und von der Rechteckfunktion der PDF von $X$ die rechte Hälfte übrig bleibt. Warum hier jetzt noch das übereinanderlegen notwendig ist, sehe ich hier nicht. Eigentlich müsste doch die rechte Hälfte der Rechteckfunktion von der PDF von $X$ hier ausreichen.


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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-09-18

Die rechte Hälfte de PDF reicht auch aus, um die gesamte Abbildung bijektiv zu machen. Nur unterschlägst du dann die Ereignisse der linken Hälfte. Mit der Verteilungsfunktion gerechnet (deine Berechnung (1)) wäre das in der zweiten Zeile \(P_Y(y)=P(Y \le y)=P(g(X) \le y)\) die Fortsetzung \(=P(0 \le X \le \sqrt{y})\) und dann fehlt der Anteil \(+P(-\sqrt{y} \le X \le 0)\). Das ist der Anteil, der noch oben drauf gepackt werden muss.


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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-19

\quoteon(2022-09-18 23:43 - StefanVogel in Beitrag No. 18) Die rechte Hälfte de PDF reicht auch aus, um die gesamte Abbildung bijektiv zu machen. Nur unterschlägst du dann die Ereignisse der linken Hälfte. Mit der Verteilungsfunktion gerechnet (deine Berechnung (1)) wäre das in der zweiten Zeile \(P_Y(y)=P(Y \le y)=P(g(X) \le y)\) die Fortsetzung \(=P(0 \le X \le \sqrt{y})\) und dann fehlt der Anteil \(+P(-\sqrt{y} \le X \le 0)\). Das ist der Anteil, der noch oben drauf gepackt werden muss. \quoteoff Das mit unterschlagen der Ereignisse der linken Hälfte, verstehe ich nicht. Wir wollen doch die PDF von $Y$ bestimmen aber die Ereignisse tauchen ja, genau wie sagst, in der Verteilungsfunktion auf, jedoch nicht in der PDF. Ich denke das dort das Problem steckt. Diesen Zusammenhang mit den Ereignissen in der PDF, die an sich ja eigentlich nur in der Verteilungsfunktion eine Rolle spielen sollten.


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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-21

Ich habe mir jetzt nochmal das Video genauer angesehen und es wird zu dem Beispiel auf der Folie 8 ab Minute 21:32 noch auf die CDF und PDF von $Y$ eingegangen. Demnach müsste man zunächst davon ausgehen, dass man eine rechteckverteilte Zufallsvariable X hat, dessen CDF wie folgt ist ${x-a\over b-a}$. Dies könnte man auch mittels des dafür vorgesehenen Integrals für die CDF, aus der PDF von X berechnen. Setzt man die Grenzen, hier $a = -1$ und $b = 1$, aus der PDF von $X$ ein, hat die CDF von X folgenden Funktionsverlauf. $$P_X(x) = {1\over 2}(x+1)\quad (20.1)$$ Und wenn ich damit die CDF von $Y$ möchte, um dann anschließend mittels Differentiation auf die PDF von $Y$ zu kommen, wende ich folgende Formel, die auch zuvor auf Folie 7 präsentiert wurde, an. $$P_Y(y) = P_X(\sqrt{y}) - P_X(-\sqrt{y}) \quad (20.2)$$ Setze ich hier die linke Seite aus $(20.2)$ in $(20.1)$ ein, komme ich dann auf folgende CDF für $Y$ $$P_Y(y) = {1\over 2}(\sqrt{y} + 1) - {1\over 2}(-\sqrt{y} + 1)$$ $$= {1\over 2}2\sqrt{y} = \sqrt{y}\quad(20.3)$$ Leite ich die CDF von $Y$ ab, gelange ich dann auf folgende PDF $$p_Y(y) = {d\over dy}P_Y(y) = {1\over 2\sqrt{y}}$$ Und das ergibt dann den folgenden Verlauf. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-21_142342.png So sollte das jetzt auch stimmen. Also auch ganz ohne, etwas übereinander zu legen. Nachtrag: Bei der Bestimmung des Intervalls für $Y$, muss man doch die Randwerte von $X$ hier $X\in [a=-1,b=1]$ einsetzen. Wenn ich das mache, wäre im folgenden Intervall $Y\in[a=1,b=1]$ aber das kann ja nicht sein. Ich habe jetzt auf einer englischsprachigen Seite gesehen, dass man dann dafür $Y\in[a=0,b=1]$ schreiben kann, warum ist das so? Es wird auch nicht wirklich erklärt, bzw. sehe oder verstehe ich das nicht auf der Seite. Transformations of Random Variables unten im Punkt Uniform Distributions sind auch einige Transformationen zu sehen, darunter auch $Y = X^2$ wo X im Intervall $X\in[-2,2]$ und auch $X\in[-1,3]$ definiert ist. Vielleicht kann mir das jemand erklären.


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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-19 12:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 19) \quoteon(2022-09-18 23:43 - StefanVogel in Beitrag No. 18) Die rechte Hälfte de PDF reicht auch aus, um die gesamte Abbildung bijektiv zu machen. Nur unterschlägst du dann die Ereignisse der linken Hälfte. Mit der Verteilungsfunktion gerechnet (deine Berechnung (1)) wäre das in der zweiten Zeile \(P_Y(y)=P(Y \le y)=P(g(X) \le y)\) die Fortsetzung \(=P(0 \le X \le \sqrt{y})\) und dann fehlt der Anteil \(+P(-\sqrt{y} \le X \le 0)\). Das ist der Anteil, der noch oben drauf gepackt werden muss. \quoteoff Das mit unterschlagen der Ereignisse der linken Hälfte, verstehe ich nicht. Wir wollen doch die PDF von $Y$ bestimmen aber die Ereignisse tauchen ja, genau wie sagst, in der Verteilungsfunktion auf, jedoch nicht in der PDF. Ich denke das dort das Problem steckt. Diesen Zusammenhang mit den Ereignissen in der PDF, die an sich ja eigentlich nur in der Verteilungsfunktion eine Rolle spielen sollten. \quoteoff Ereignisse, die in der Verteilungsfunktion auftauchen, müssen auch in der PDF auftauchen, unterschiedliche Verteilungsfunktionen haben unterschiedliche PDF und umgekehrt. Weiter kann ich nicht antworten, weil ich mir Ereignisse nicht vorstellen kann, die nur in der Verteilungsfunktion eine Rolle spielen. \quoteon(2022-09-21 14:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 20) Ich habe mir jetzt nochmal das Video genauer angesehen und es wird zu dem Beispiel auf der Folie 8 ab Minute 21:32 noch auf die CDF und PDF von $Y$ eingegangen. ... \[P_X(x) = {1\over 2}(x+1)\quad (20.1)\] ... \[P_Y(y) = P_X(\sqrt{y}) - P_X(-\sqrt{y}) \quad (20.2)\] Setze ich hier die linke Seite aus $(20.2)$ in $(20.1)$ ein, komme ich dann auf folgende CDF für $Y$ \[P_Y(y) = {1\over 2}(\sqrt{y} + 1) - {1\over 2}(-\sqrt{y} + 1)\] \[= {1\over 2}2\sqrt{y} = \sqrt{y}\quad(20.3)\] Leite ich die CDF von $Y$ ab, ... https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-21_142342.png So sollte das jetzt auch stimmen. Also auch ganz ohne, etwas übereinander zu legen. \quoteoff Umgekehrt die rechte Seite aus (20.1) wird in (20.2) eingesetzt (ist bestimmt schon so gemeint), ansonsten stimmt das und das ist auch der richtige Rechenweg und nicht mit etwas übereinanderlegen. Im Themenstart ist das Zwischenergebnis für \(X'=X^2\) als Bild dargestellt und darunter steht "...doppelten Wert aufweist". Das ist nicht der zu verwendende Rechenweg sondern da wird das Bild nur nochmal in Worten beschrieben. Ich schreibe den Rechenweg nochmal allgemein auf: \(P_Y(y) = P[Y0" vorausgesetzt. \quoteon Ich habe jetzt auf einer englischsprachigen Seite gesehen, dass man dann dafür $Y\in[a=0,b=1]$ schreiben kann, warum ist das so? Es wird auch nicht wirklich erklärt, bzw. sehe oder verstehe ich das nicht auf der Seite. Transformations of Random Variables \quoteoff Die Stelle \(Y\in[a=0,b=1]\) habe ich noch nicht gefunden. \quoteon unten im Punkt Uniform Distributions sind auch einige Transformationen zu sehen, darunter auch $Y = X^2$ wo X im Intervall $X\in[-2,2]$ und auch $X\in[-1,3]$ definiert ist. Vielleicht kann mir das jemand erklären. \quoteoff Das wird wieder die gleiche allgemeine Erklärung \(P_Y(y) = ...\) von oben. Versuche damit nochmal die beiden Beispiele selber zu rechnen und herauszufinden, wo es nicht weitergeht.


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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 07:44 - StefanVogel in Beitrag No. 21) \quoteon Ich habe jetzt auf einer englischsprachigen Seite gesehen, dass man dann dafür $Y\in[a=0,b=1]$ schreiben kann, warum ist das so? Es wird auch nicht wirklich erklärt, bzw. sehe oder verstehe ich das nicht auf der Seite. Transformations of Random Variables \quoteoff Die Stelle \(Y\in[a=0,b=1]\) habe ich noch nicht gefunden. \quoteoff Du musst bei "Uniform Distributions" auf "Answer" klicken, dann werden dir 3 Lösungen gezeigt, die recht knapp gehalten sind. \quoteon(2022-09-24 07:44 - StefanVogel in Beitrag No. 21) \quoteon unten im Punkt Uniform Distributions sind auch einige Transformationen zu sehen, darunter auch $Y = X^2$ wo X im Intervall $X\in[-2,2]$ und auch $X\in[-1,3]$ definiert ist. Vielleicht kann mir das jemand erklären. \quoteoff Das wird wieder die gleiche allgemeine Erklärung \(P_Y(y) = ...\) von oben. Versuche damit nochmal die beiden Beispiele selber zu rechnen und herauszufinden, wo es nicht weitergeht. \quoteoff Die Rechnung habe ich ja bis auf den Teil, wo man den Wertebereich für $Y$ angeben soll verstanden, nur verstehe ich nicht warum bei symmetrischen Intervallen für $X$, dann der Wertebereich für $Y$ bei $0$ anfängt. Das wäre aus dem unteren Bild der Punkt 2 und bei Punkt 3 verstehe ich nicht, warum man den Bereich so aufteilt, da doch eigentlich der Wertebereich für X von $[0,3]$ bzw. für $Y$ der Wertebereich, von $[0,9]$ gehen sollte. Hier mal das Bild https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-21_210142.png


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StefanVogel
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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-09-25

Diese Bereiche ergeben sich im Verlauf der Berechnung automatisch, wenn man die Funktionen vollständig aufschreibt, einschließlich Definitions- und Zielmenge. Für die Funktion \(g(x)=x^2\) sieht das zum Beispiel so aus \(g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto g(x)=x^2\). Dann erhält man als Lösungsmenge für die Ungleichung \(g(x) \le y\) nicht nur \(-\sqrt{y} \le x \le \sqrt{y}\) sondern \(\{x \in \mathbb{R}\colon x^2(20.2) ist dann ausführlich aufgeschrieben \(P_Y\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y \mapsto P_Y(y) = \begin{cases} P_X(\sqrt{y}) - P_X(-\sqrt{y}) & \text{für } y \ge 0 \\ 0 & \text{für } y < 0 \end{cases}\) Auf Dauer so ausführlich aufschreiben geht aber auch nicht, man muß sich das irgendwie mit merken oder nebenbei notieren oder wenigstens das unbedingt benötigte hinschreiben, damit das nicht verloren geht. Weiter, die Verteilungsfunktion zu Aufgabe 3 ist nicht \(P_x(x) = \frac{1}{4} (x+1)\) sondern \(P_X\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto P_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < -1 \\ \frac{1}{4} (x+1) & \text{für } -1 \le x \le 3 \\ 1 & \text{für } x > 3 \end{cases}\) Diese Verteilungsfunktion in Gleichung (20.2) eingesetzt \(P_Y\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y \mapsto P_Y(y) = \begin{cases} 0 & \text{für } y < 0 \\ \frac{1}{4} (\sqrt{y}+1) - \frac{1}{4} (-\sqrt{y}+1) & \text{für } 0 \le y \le 1 \\ \frac{1}{4} (\sqrt{y}+1) & \text{für } 1 \le y \le 9 \\ 1 & \text{für } y > 9 \end{cases} \) und darin sind die in der Lösung genannten Intervalle für \(y\) enthalten.


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Sinnfrei
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-30

Ich hätte mir etwas, wie in den folgenden Bildern vorgestellt, da mir das mit dem Definitions- und Wertebereich in Zusammenhang mit der PDF und CDF schwer gefallen ist, anstelle das du den Themenstart nur in einer anderen Form widergegeben hast. Die Anregung, weg von den überlappenden Flächen und weg von der Rechteckfunktion, kam ja auch letzten Endes von mir bzw. hat mich der Roland, an einer anderen Stelle darauf gebracht. Ich weiss auch, dass man es so nicht immer macht aber zumindest sollte man es aus meiner Sicht einmal so gesehen haben, damit man eine Vorstellung darüber hat, was sich unter diesem Thema verbirgt. Gerade, wenn man diese Themen rund um Zufallsvariablen noch nicht hatte. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-30_121026.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-30_115037.png Und wieder, auch nach deinem jetzigen Beitrag, ist immer noch nicht klar, wie sich die Grenzen der Integrale und damit der Bereich für $y$ bildet. Auf die in den Bildern dargestellte Herangehensweise, hatte mich mein Mathe Prof. gebracht. Daher vielen Dank an Ihn. Trotzdem möchte mich ich bei dir, für die Mühe in Latex bedanken. Viele Grüße Sinnfrei


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AnnaKath
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  Beitrag No.25, eingetragen 2022-10-02

Huhu Sinnfrei, es ist völlig legitim, "Kochrezepte" für bestimmte Aufgabenstellungen anzuwenden. Solche, wenn sie auch noch durch geübte Anschauung, die die Validieren von Ergebnissen erlaubt, unterstützt sind, sind fraglos nützlich. Die Gefahr bei solchen Verfahren ist aus meiner Sicht lediglich, dass man diese anzuwenden versucht, wenn es nicht zulässig ist, oder dass man mehr "Klimmzüge" machen muss um diese anwendbar zu gestalten als bei einer mit etwas mehr durch Übersicht geprägten Vorgehensweise nötig sind. Gelegentlich zeugt sich fehlende Übersicht bereits in der Notation oder der Verwendung von Begriffen. Und so beschränke ich mich nur auf Anmerkungen* zu diesen Punkten. (i) Eine Funktion $f:A\to B$ kann nicht "bijektiv gemacht" werden. Sie ist es entweder oder nicht. Es gibt ggf. aber eine Funktion $h:C\to D$ mit $C\subset A, D\subset B$ und $f(c)=h(c)$ für $c\in C$, welche bijektiv ist. Jedenfalls besitzen nur solche bijektive Funktionen Umkehrfunktionen in dem Sinne, den Du hier verwenden willst. Deine Funktion $g$ besitzt schlichtweg keine Umkehrfunktion. Somit tritt hier das Phänomen auf, was ich eingangs "Klimmzüge" nannte. (ii) In Beitrag #24 schreibt Du $P_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac12 \mathrm{rect}(\frac{x}{2}) \: \mathrm{d}x$. Das ist mindestens verwirrend und ziemlich sicher falsch. Es ist ganz einfach $P_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac12 \: \mathrm{d}x$. Diese übliche Bezeichnung $X\sim \mathrm{rect}$ (oder Vergleichbares) bezieht sich auf die Verteilung einer Zufallsvariablen. Das ist zunächst mal ein Wahrscheilichkeitsmass. Bei reellen Zufallsvariablen bezeichnet man etwas salopp auch gelegentlich die Verteilungsfunktion (und machmal gar eine Dichte) auf diese Weise. Das ist zwar für einen geübten Menschen sicherlich kein Problem aber natürlich formal nicht korrekt. (iii) Gegen Ende von Beitrag #24 rechnest Du etwas aus, was Du Dichtefunktion (bzw. pdf) $p_Y$ nennst. Das kannst Du tun und 99% aller Lesenden werden wissen, was Du meinst. Aber auch hier sollte Dir klar sein, dass $Y$ überhaupt keine Dichte (bzgl. des Lebesgue-Masses) besitzt! Somit kann man diese auch nicht zeichnen... Hier tritt das zweite Problem mit Kochrezepten aus meiner Eingangsbemerkung auf. Dieses Konzept ist hier überhaupt nicht anwendbar, da $Y$ nicht absolutstetig ist. lg, AK *) und nehme ausdrücklich Geschmacksfragen aus. So halte ich es, insbesondere bei handschriftlicher Notation, für extrem verwirrend, Verteilungsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsmasse mit dem selben Buchstaben zu bezeichnen. Genauso üblich wäre etwas die Verwendung von $\mathbb{P}$ für das Mass oder von $F$ unf $f$ für Verteilungs- und Dichtefunktionen.


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