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 Weitere Erdös-Vermutung bewiesen |
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Slash
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Dabei seit: 23.03.2005
Mitteilungen: 9056
 |  Themenstart: 2022-03-14
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"Nach 50 Jahren gelöst: Mathematiker haben eine der berühmten Erdös-Vermutungen bewiesen – die Existenz sogenannter Steiner-Tripelsysteme mit hoher Taillenweite. Sie besagt, dass beispielsweise sieben Personen sieben Trios bilden können, ohne dass sich dasselbe Paar in mehr als einem Tripel findet. Indem die Forscher Methoden aus der Wahrscheinlichkeitstheorie anwendeten, gelang es ihnen, diese Vermutung erstmals zu beweisen." (scinexx.de)
Forscher belegen die Existenz von speziellen Steiner-Tripelsystemen
Gruß, Slash
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Ixx
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Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 343
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-14
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Also irgendwie ist der Artikel seltsam. Das Beispiel mit den 7 Tripeln von 7 Punkten, von denen keine zwei Tripel zwei gemeinsame Punkte haben, ist doch einfach die Fano-Ebene, wobei die Tripel die Geraden sind. Das ist doch ein alter Hut...
Tatsächlich betrachten die Autoren auch eher was anderes. Soweit ich das überblicke, lässt sich der Spaß, wie folgt, beschreiben:
Wir betrachten 3-uniforme Hypergraphen, d.h., jede Kante verbindet genau drei Knoten. (Anders formuliert: Wir betrachten eine Mengenfamilie, wobei jede Menge aus genau drei Elementen besteht. Diese Mengen werden im Folgenden Tripel genannt, auch wenn dies mit der allgmeingebräuchlichen Bedeutung des Worts als geordnetes Tupel mit drei Elementen nicht zusammenfällt.) Ein solcher 3-uniformer Hypergraph wird dann auch Tripel-System genannt.
Es ist "ein klassischer Fakt", dass für alle natürlichen $N$ mit $N \equiv 1 \pmod{6}$ oder $N\equiv 3\pmod{6}$ ein aus $N$ Knoten bestehendes Tripel-System existert, bei dem jede aus zwei Knoten bestehende Teilmenge in genau einem Tripel enthalten ist. Solche Tripel-Systeme heißen dann Steiner-Tripel-Systeme.
Weierhin ist eine $(j,\ell)$-Konfiguration nun eine Menge von $\ell$ Tripeln, die zusammen höchstens $j$ Knoten überdecken.
Die Autoren des Papers zeigen nun, dass es für jedes natürliche $g$ eine untere Schranke $N(g)$ gibt, sodass für alle natürlichen $N$ mit $N\geq N(g)$ sowie ($N \equiv 1 \pmod{6}$ oder $N\equiv 3\pmod{6}$) es ein Steiner-Tripel-System mit genau $N$ Knoten gibt, welches für alle $4\leq j\leq g$ keine $(j,j-2)$ Konfiguration besitzt.
(Die Taillenweite eines solchen Tripelsystems ist das kleinste $g$, sodass das System eine $(g,g-2)$-Konfiguration besitzt. Der gezeigte Satz sagt also, dass es Steiner-Systeme mit beliebig großer Taillenweite gibt.)
Zusammenfassend: Das Ausgangs-Beispiel des verlinkten Artikels ist bestenfalls dafür gut, den Begriff des Steiner-Trpel-Systems zu verstehen. Mit der in der Arbeit gezeigten Aussage hat das aber rein gar nichts zu tun...
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