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Schule Ellipsenmechanik, -zirkel, Ellipsograph
Abel
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Dabei seit: 05.11.2005
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  Themenstart: 2022-03-25

Hallo, ich habe jetzt schon sehr viel im Internet nach dem Thema Ellipsenmechanik gesucht und teilweise auch Dokumente gefunden. Ich beschäftige mich mit Ellipsographen; es handelt sich um Zirkel, mit denen man eine Ellipse statt wie sonst üblich einen Kreis zeichnen kann. Eine Ellipse wird meist nach der Gärtnerkonstruktion gezeichnet, wenn die Werte der Halbachsen bekannt sind. Die Konstruktion beruht darauf, daß die Summe der Abstände eines Ellipsenpunktes von zwei vorgegebenen Punkten, den Brennpunkten, für alle Punkte gleich ist. Alle Ellipsenpunkte liegen auf einer Ortskurve, auf der Ellipse. Bei der Gärtnerkonstruktion kann ich sehr gut nachvollziehen, daß alle Punkte auf einer Ortskurve liegen. Bei den weiteren Ellipsographen kann ich leider nur staunen, daß die gezeichneten Punkte auf einer Ellipse liegen. Ich verstehe nicht die Funktionsweise von den Ellipsographen. Ich bin doch überrascht, daß ich bei diesem Zeichengerät eine Ellipse bekomme. Wie kann ich durch Vorüberlegungen wissen oder ahnen, daß mir diese Geräte eine Ellipse zeichnen? Frans van Schooten hat vor vielen Jahren mehrere dieser Zeichengeräte konsruiert. Danke für die Hilfe, also ich habe diese Ellipsographen einfach nicht verstanden.


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Wario
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-25

Evtl. hier interessant: Näherungsweise Ellipsenkonstruktion als Oval · mit Zirkel und Lineal: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=245708&post_id=1788792 · mit Zirkel, Lineal und Winkelmesser: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=245708&post_id=1788915


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Abel
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-21

Es gibt eine große Anzahl von Ellipsenzirkel (, die wohl Fans van Schooten entworfen hat.) Es ist auch möglich, mit den cardanischen Kreisen eine Ellipse zu zeichen. Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit ich mit den cardanischen Kreisen (Tulsi couple)eine Ellipse zeichnen kann. Welche Gleichnung hat die gezeichnete Ellipse? Ist es einfacher, die Ellipsengleichung in Polar- als in kartesischen Koordinaten anzugeben? Kann ich bei der Konstruktion mit den Cardenischen Kreise die Gärtnermethode wiedererkennen oder haben beide Methoden gar nichts miteinander zu tun? Unter Papierstreifenmethode ist die Konstruktion mit den cardanischen Kreisen abgebildet. https://dewiki.de/Lexikon/Ellipse Leider ist meine Ausrüstung hier so schlecht, daß ich leider nur den Link für Ellipsenzirkel angeben kann, anstatt ein aussagekräftiges Foto mitzusenden. Gibt es kein einführendes Werk, das mir erläutert, wie ich die Ellipsengleichungen der der Ortskurven erhalte, die ich mit irgendeinem dieser Ellipsenzrikel von van Schooten gezeichnet habe? Sind in irgendeinem Dokument die Ellipsenzirkel in einfacher Weise näher erläutert, so daß ich dessen Funktion besser verstehen kann? Welche Größen werden bei den verschiedenen E.zirkeln eingestellt, die Größe der Hauptachse a oder der Nebenachse b? Welche Punkte müssen gegeben sein (Brenn- oder Scheitelpunkte)? Für gute Ratschläge, weiterführende Links für Anfänger... bin ich sehr dankbar.


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Bozzo
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-23

Im Wikipedia-Artikel ist es doch eigentlich ganz gut erklaert. Da GEI gleichschenklig ist, ist GE gleichlang wie EI und da GH = GE + EH = EI + EH damit konstante Laenge hat, kommt offenbar dieselbe Kurve wie bei der Gaertnerkonstruktion heraus -- also eine Ellipse.


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Wario
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-23

\quoteon(2022-05-21 09:50 - Abel in Beitrag No. 2) Gibt es kein einführendes Werk, das mir erläutert, wie ich die Ellipsengleichungen der der Ortskurven erhalte, die ich mit irgendeinem dieser Ellipsenzrikel von van Schooten gezeichnet habe? \quoteoff Wenn ich Dich richtig verstehe, möchtest Du wissen, wie man die Funktionsgleichung jener Ellipse ermittelt, die mit einem van-Schooten-Ellipsenzrikel gezeichnet wurde (was im wikipedia-Artikel anders als etwa beim Ellipsograph des Archimedes nicht explizit erläutert wird) Wenn ich mich nicht vertue läuft das so: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52997_25_555555.png · Du gibst den Brennpunktabstand $|HI| =:2e$ (durch nadelneinstechen) vor. · Ferner legst Du die eine Diagonale $|GI|$ der Raute fest. Damit hast Du auch die Strecke $|GH| =:2a$ festgelegt; die Du entweder durch abmessen bestimmst oder durch geometrische Rechnung ermittelst; ich vermute im Sinne des Erfinders misst man das ganz einfach ab, weil ja der Parameter $a$ damit festgelegt werden soll. Vielleicht ist ja da schon eine Linealskala. Nun kannst Du also $b$ aus der Beziehung $a^2=e^2+b^2$ bestimmen, und endlich die Ellipsengleichung $ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1 $ aufstellen. PS: Aus https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:01-Ellipsenzirkel-van_Schooten-1.gif


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haribo
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-23

https://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/history/ausstell/ellipsenzirkel/index.html in dieser ausstellung kann man sich auch durch einige modelle durchklicken (unten der blaue pfeil), wie die methode "zylinderschnitte" wirklich funktioniert begreife ich aber auch nicht... und dort dürftest du auch literaturangeben finden


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Abel
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26

Danke für die Antworten: ich habe jetzt verstanden, daß ich es jetzt aus der Zeichnung die Werte von e und dem Achsenabschnitt a ablesen kann; die dritte fehlende Größe muß dann jeweils immer berechnet werden. Auch habe ich jetzt eine Vorstellung, wie ich diesen Ellipsenkompaß benutzen kann, um den Funktionsgraphen einer gegeben Ellipsengleichung zu zeichnen. Folgende Aufgabe: Zeige, daß der Punkt P auf einer Ortskurve einer Ellipse liegt. Antwort: Die Gleichnung der Kurve, auf der sich der Punkt P bewegt, ist $ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1 $ , eine Ellipsengleichung. Wie ist das mit weiteren Eigenschaften der Ellipsen? Beipiel: Für die Ellipse liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf einem Kreis. Gibt es für diese Eigenschaft Beispielaufgaben oder Anwendungsbeipiele. Ich erinnere mich, daß es bei Kreisen einen Sehnen-, Sekanten- oder Sekanten-Tangenten-Satz gab. Gibt es ähnliche Sätze/Gesetzmäßigkeiten bei Ellipsen? Wenn ich die Sätze bei den Kreisen verstanden habe, fällt es mir leichter diese Sätze bei Ellipsen nachzuvollziehen. Um die Eigenschaften der Kreise besser zu begreifen, gab es immer eine Menge einführende (einfache) Aufgaben oder Verständnisfragen. Um diese Aufgaben erfolgreich lösen zu können, mußte man Figuren konstruieren. Gibt es solchen (Konstruktions-)Aufgaben oder Verständnisfragen auch bei Ellipsen? Wie immer herzlichen Dank für weiterführende Ratschläge. Grüezl, Abel


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