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Lineare Algebra » Vektorräume » Unendlich-dimensional bijektiv zu endlich-dimensional?
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Universität/Hochschule J Unendlich-dimensional bijektiv zu endlich-dimensional?
Cyborg
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  Themenstart: 2022-03-27

Hallo, Leute! Als Hobbymathematiker weiß ich so schöne Sachen, wie: 1. \(\mathbb{R}^n\) ist bijektiv zu \(\mathbb{R}^m\) für \(m\neq n\). 2. Cantormenge \(C\) ist bijektiv zu \(\mathbb{R}\), obwohl \(C\) Volumen \(0\) hat. 3. Die Vitali-Menge ist nicht messbar, existiert also mathematisch, aber nicht physikalisch. 4. Die Menge, die alles enthält, gibt es nicht, weil sie nur Widersprüche erzeugt. 5. Ein größtes \(\infty\) gibt es nicht, sonst nehme die Potenzmenge. 6. Die von Koch'sche Flockenkurve ist unendlich lang, aber schließt ein endliches Volumen ein und ist in ein Quadrat einsperrbar. 7. Das Runde passt sich dem Eckigen besser an als umgekehrt. 8. Eine unendlich lange Kurve auf der Kugel muss sich nicht irgendwann selber schneiden. 9. \(2^{\aleph_0}=c\), \(c\) ist Kontinuum. 10. \(\sqrt{-1}^{\sqrt{-1}}=e^{-\frac{\pi}{2}}\in\mathbb{R}\). 11. \(e^{\pi\cdot i}+1=0\). 12. Aus dem Auswahlaxiom folgt das Banach-Tarski-PARADOXON, dass man Volumen verdoppelt, obwohl man nur zerschnitten, verschoben und gedreht hat. 13. Die unendlich-dimensionale Kugel mit Radius \(1\) hat das Volumen \(0\). 14. Man kann Analysis in Topologie umrechnen und umgekehrt (Satz von deRham). 15. \(x^p-y^q=1\) hat nur die Lösung \(3^2-2^3=1\). 16. Ein Tier, dass nur in der Fläche lebt und den 3-dimensionalen Raum drumherum nicht kennt, kann mit der Gauß-Bonnet-Formel entscheiden, ob es auf einer Kugel oder z.B. auf einem Torus oder Brezel lebt. 17. Quadratur des Kreises und die Menge der mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Punkte hat das Volumen \(0\) 18. \(\mathbb{N}\) ist bijektiv zu \(\mathbb{2N}\), obwohl \(\mathbb{2N}\) eine echte Teilmenge von \(\mathbb{N}\) ist. 19. \(\mathbb{Q}^n\) ist bijektiv zu \(\mathbb{N}\). 20. 2. Kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit) ist endlich (ungefähr \(11 km/s\)), weil das Integral von \(1\) bis \(\infty\) über \(\frac{1}{r^2}\) endlich ist. 21. Harmonische Reihe divergiert, nicht aber die alternierende h. R. 22. \(x^n+y^n=z^n\) hat für \(n>2\) keine Lösung in \(\mathbb{Z}\). 23. Mithilfe der Unendlichkeit kann man eine algebraische Zahl (glatt) in eine transzendente (krumm) überführen: \(\sin(\alpha)\) ist transzendent für \(\alpha\) algebraisch, Taylorreihe von \(\sin(\alpha)\) hat unendlich viele Summanden!! 24. \(\mathbb{Q}\) ist dicht in \(\mathbb{R}\), hat aber das Volumen \(0\). 25. Es gibt irrationale Zahlen \(a,b\) so, dass aber \(a^b\) rational ist. 26. Der unendlich-dimensionale Würfel der Kantenlänge \(1\) ist in eine Kugel einsperrbar, obwohl er unendlich-dimensional ist. (Hilbertwürfel ist kompakt). 27. Planetenbahnen sind nach Gravitationsgleichung ausgerechnet die schönen Kegelschnitte. 28. Man weiß, dass \(\pi,e\) transzendent ist, aber sowas einfaches nicht, ob \(\pi+e\) auch transzendent ist. 29. Man weiß nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, obwohl die Primzahldichte für große Zahlenbereiche abnimmt. 30. Man kann beweisen: Ein zusammenhängender Wald ist ein BAUM. 31. Dass man die Kontinuumshypothese weder beweisen noch widerlegen kann, kann man beweisen. 32. Gibt es im Universum das ewige Nichts (schwarze Löcher saugen alles auf und vereinigen sich zu einem schwarzen Loch, dass nie explodiert) oder pulsiert (Urknall) es, dass immer wieder "gebaut" wird? usw. (Ich editiere hier noch ein bisschen, weil ich noch was tolles vergessen habe!!!) Schrödingers Katze ist doch SUPER!!! oder: Ist das Universum eine unendlich große Kugel oder z.B. eine 3-dimensionale Torusoberfläche??? \blue\ Was ich mich jetzt frage ist, ob man eine unendlich-dimensionale Menge bijektiv zu einer endlich-dimensionalen Menge haben kann? Danke euch.


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, was meinst du mit der Dimension einer Menge? Sprichst du von der Dimension eines Vektorraums? In letzterem Fall betrachte die reellen Zahlen $\mathbb R$ einmal als $\mathbb R$-Vektorraum und einmal als $\mathbb Q$-Vektorraum. Die dem Vektorraum zugrundeliegende Menge ist beides mal $\mathbb R$, aber es gilt $\dim_{\mathbb R}(\mathbb R)=1$ und $\dim_{\mathbb Q}(\mathbb R)=\infty$. Edit: dein 9. Punkt ist die Kontinuumshypothese, welche bekanntlich in ZFC nichtentscheidbar ist. LG Nico\(\endgroup\)


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Cyborg
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Hallo, nzimme10. Ja, ich wollte das erstmal allgemein halten. Ich glaube, dass man für Dimension wohl Vektorraum haben muss.


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Qing
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-27

Hallo, ich denke dazu müsstest du erstmal die Dimension einer Menge definieren. Mir ist eine solche bisher nicht bekannt. Hast du sowas im Sinn? Die Dimension einer Menge $A^\omega$ (kartesisches Produkt) entspricht der Kardinalität von $\omega$. (Das wäre wahrscheinlich nicht wohldefiniert) Etwa $\mathbb{C}\cong \mathbb{R}^2$. Wäre dann die Dimension 1 oder 2? Ansonsten sind deine "schönen Sachen" sehr salopp formuliert. Bei 1. meinst du wohl auch $m=n$. Und bei 3. würde ich sagen, dass nichts was mathematisch existiert auch physikalisch existiert. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-03-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-03-27 14:53 - Qing in Beitrag No. 3) Bei 1. meinst du wohl auch $m=n$. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] \quoteoff Er spricht hier nicht von irgendwelchen Isomorphismen, sondern von bijektiven Abbildungen. LG Nico\(\endgroup\)


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Cyborg
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

\quoteon(2022-03-27 14:49 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Edit: dein 9. Punkt ist die Kontinuumshypothese, welche bekanntlich in ZFC nichtentscheidbar ist. \quoteoff Die Kontinuumshypothese ist doch, ob es zwischen \(\mathbb{N}\) und \(\mathbb{R}\) eine Menge gibt, die genau dazwischenliegt. Es ist aber richtig, dass es genauso viele Zahlen auf dem Zahlenstrahl gibt, wie es Teilmengen in den natürlichen Zahlen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-03-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-03-27 14:58 - Cyborg in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-03-27 14:49 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Edit: dein 9. Punkt ist die Kontinuumshypothese, welche bekanntlich in ZFC nichtentscheidbar ist. \quoteoff Die Kontinuumshypothese ist doch, ob es zwischen \(\mathbb{N}\) und \(\mathbb{R}\) eine Menge gibt, die genau dazwischenliegt. Es ist aber richtig, dass es genauso viele Zahlen auf dem Zahlenstrahl gibt, wie es Teilmengen in den natürlichen Zahlen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.] \quoteoff Ich habe deine Aussage falsch gelesen. Die Kontinuumshypothese wäre formal $2^{\aleph_0}=\aleph_1$.\(\endgroup\)


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Cyborg
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

\quoteon(2022-03-27 14:49 - nzimme10 in Beitrag No. 1) In letzterem Fall betrachte die reellen Zahlen $\mathbb R$ einmal als $\mathbb R$-Vektorraum und einmal als $\mathbb Q$-Vektorraum. Die dem Vektorraum zugrundeliegende Menge ist beides mal $\mathbb R$, aber es gilt $\dim_{\mathbb R}(\mathbb R)=1$ und $\dim_{\mathbb Q}(\mathbb R)=\infty$. \quoteoff Das gefällt mir schonmal ganz gut! \red\ Gibt es vielleicht noch was schöneres?


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Cyborg
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Achso: Die Menge aller \(x,y,z\) für die gilt: \(x^2+y^2+z^2=1\) ist kein Vektorraum, hat aber die Dimension \(2\).


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nzimme10
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-03-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-03-27 17:50 - Cyborg in Beitrag No. 8) Achso: Die Menge aller \(x,y,z\) für die gilt: \(x^2+y^2+z^2=1\) ist kein Vektorraum, hat aber die Dimension \(2\). \quoteoff Hier sprichst du wohl von der Dimension einer (Unter-) Mannigfaltigkeit. LG Nico\(\endgroup\)


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Cyborg
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Hallo, nzimme10! Ja, ich meine die Dimension einer Mannigfaltigkeit. Ich glaube, dass die schlauen Mathematiker wohl nichts mehr auf Lager zu haben scheinen. Mit dem Beispiel, dass du mir gegeben hast, muss ich und will ich mich erstmal zufrieden geben. \red\ Ansonsten: Wenn ihr noch kleine Schätzchen auf Lager anzubieten habt, dann schreibt ruhig. Dann habe ich noch mehr, was ich meiner Freundin so mal erklären kann. Besonders interessiert wäre ich an paradoxe Resulte wegen Unendlichkeit. Damit kann man doch Eindruck schinden. Wenn wir da ein bisschen was gesammelt haben, möchte ich danach hier ein Haken machen. Ein Schätzchen wäre z.B. doch: Im projektiven Raum schneiden sich Geraden immer wegen der Hinzunahme des UNENDLICH fernen Punktes. ODER: \(1+2+3+4+5+\ldots=-\dfrac{1}{12}\), wenn man mit der UNENDLICHKEIT nicht aufpasst! ODER: Die Fläche der Gaußschen Glockenkurve lässt sich nicht in ein Quadrat einsperren, hat aber endlichen Flächeninhalt.


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Triceratops
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-03-28

@Cyborg: Du wirfst bei deiner Frage zur Dimension und den Beispielen dazu im wörtlichen Sinne alles durcheinander (Mengen, Vektorräume, Mannigfaltigkeiten). Bitte schau hier: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1586 Davon abgesehen: Die von dir genannten "Paradoxien" sind keine. Die meisten "obwohls" sind daher nicht gerechtfertigt. Zum Beispiel steht die Aussage, dass $\IQ$ dicht in $\IR$ ist, natürlich in keinem Widerspruch dazu, dass das Volumen von $\IQ$ Null ist. Wenn man da "intuitiv" einen Widerspruch sieht, hat man die Definitionen dieser Begriffe nicht erfasst. Ich sehe es daher eher so: Die von dir genannten "Paradoxien" sind Einladungen, sich mit den Begriffen näher auseinanderzusetzen. Weitere Fehler: - Die Gleichung $1+2+3+\dotsc = -\frac{1}{12}$ ist falsch und steht vermutlich für die korrekte Gleichung $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$. - Natürlich lässt sich die Flockenkurve in ein Quadrat einsperren (ironischerweise hast du das auch im Themenstart geschrieben). - Die Aussage "Man kann Analysis in Topologie umrechnen und umgekehrt (Satz von deRham)" ist eine ziemlich fahrlässige Zusammenfassung des Satzes von de Rham. - Die Relation "$X$ ist bijektiv zu $Y$" zwischen Mengen gibt es nicht. Du meinst "$X$ ist gleichmächtig zu $Y$" (man kann auch sagen: "isomorph zu"). Denn "bijektiv" ist eine Eigenschaft von Abbildungen, nicht von (Paaren von) Mengen.


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nzimme10
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-03-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Auch wenn dieser Thread mittlerweile aufgrund vieler Bearbeitungen ein ziemliches Durcheinander ist, möchte ich zu deinem 10. Punkt aus dem Themenstart auch etwas hinzufügen. Wenn man sich mit Funktionen $\mathbb C\to \mathbb C$ beschäftigt, dann muss man mit bestimmten Gleichungen aufpassen. Es gibt zunächst keinen Grund zu sagen, dass $\i^{\i}=\e^{-\pi/2}$ gilt. Man muss sich zunächst fragen, was $z^w$ für komplexe Zahlen $z$ und $w$ überhaupt bedeuten soll. Aber natürlich, das ist doch klar. Wir schreiben $z=\e^{\log(z)}$ und setzen dann $z^w:=\e^{\log(z)\cdot w}$. Nun hat man aber nicht bedacht, dass es keinen Logarithmus auf $\mathbb C$ gibt. Die komplexe Exponentialfunktion $\exp\colon \mathbb C\to \mathbb C^*$ ist periodisch mit einer Periode von $2\pi\i$. Folglich ist "der" Logarithmus auf $\mathbb C^*$ eine mehrdeutige Funktion und man muss sich daher auf bestimmte Teilmengen von $\mathbb C^*$ beschränken um einen so genannten Zweig des Logarithmus zu erhalten, der dann eindeutige Werte liefert. Durch entfernen der negativen reellen Achse von $\mathbb C^*$ erhält man dann den so genannten Hauptzweig $\opn{Log}$ des Logarithmus. Definiert man dann $z^w:=\e^{\opn{Log}(z)\cdot w}$ für $z\in \mathbb C^*\setminus (-\infty,0)$ und $w\in \mathbb C$, so erhält man in der Tat $\i^{\i}=\e^{-\pi/2}$. Nun ist diese Wahl eines Zweiges des Logarithmus aber in keiner Weise ausgezeichnet gegenüber irgendeiner anderen Wahl des Logarithmus. LG Nico\(\endgroup\)


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Cyborg
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-28

Hallo, nzimme10 und Triceratops! Ich danke euch für die Richtigstellungen! Ich bin jetzt zufrieden.


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Cyborg
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-04

Hallo, Leute! Ein habe ich noch: $$\{0,1\}^\infty\simeq\mathbb{R}^1$$ Was sagt ihr dazu???


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nzimme10
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-04-04

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-04-04 12:49 - Cyborg in Beitrag No. 14) Hallo, Leute! Ein habe ich noch: $$\{0,1\}^\infty\simeq\mathbb{R}^1$$ Was sagt ihr dazu??? \quoteoff Was möchtest du dazu hören? Dass die UNENDLICH-ste Potenz die reellen Zahlen ergibt? Wenn damit gemeint ist, dass die Menge aller Folgen, deren Glieder aus $0$ oder $1$ bestehen gleichmächtig zu $\mathbb R$ ist, dann ist dem nichts zu entgegnen. LG Nico\(\endgroup\)


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Cyborg
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Alles gut.


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Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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