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Mathematik » Zahlentheorie » Paralleluniversum Collatz-Algorithmus
Thema eröffnet 2022-04-22 19:39 von haegar90
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Kein bestimmter Bereich Paralleluniversum Collatz-Algorithmus
Primentus
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  Beitrag No.40, eingetragen 2022-05-03

\quoteon(2022-05-03 23:17 - Primentus in Beitrag No. 39) Kann es sein, dass Du eventuell diejenigen ungeraden Zahlen in Beitrag #33 aufgelistet hast, bis der Zyklus beginnt anstelle von ab da, wo der Zyklus beginnt? (letzteres ist bei mir der Fall) \quoteoff @haegar90: Wenn ich mir für $n=31$, $x=3$ die ungeraden Folgenglieder bis zum Beginn des Zyklus anschaue, dann sind meine identisch mit Deinen. Dann denke ich sieht es gut aus. Dann ist wohl nur unsere Zählung der Schritte verschieden, was dann möglicherweise durch Weglassen/Dazuzählen der Abzweigung $\frac{n}{2}$ zustande kommt. LG Primentus


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haegar90
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  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-04

Hallo Primentus, es freut mich sehr dass deine Ergebnisse mit meinen übereinstimmen. Dann entstehen tatsächlich diese unglaublich langen Folgen und Zyklen mit den Vorschriften $T_{x^-}$ und $T_{x^+}$. Das - Guiness Buch Der Rekorde - wartet auf neue Einträge 🙃. Habe soeben $T_{6^+}(31)$ überprüft. (Die Zählung ist noch ohne $n/2$, passe ich noch an). Es gibt auch einen Zyklus. Anscheinend sind die Folgen mit $T_{x^+}$ tendenziell wesentlich länger als mit $T_{x^-}$. \sourceon Python cycle found 80862 1 108857 150000 \sourceoff Nun ist die Frage, gehen alle Startzahlen $n$ für alle $x$, wenn auch erst nach unzähligen Schritten, mit diesen beiden Bildungsvorschriften in einen Zyklus ? Nach einem Gegenbeispiel kann man ja schlecht suchen. Mache erst einmal noch weitere Versuche mit kleineren $x$. AddOn: $T_{12^-}, n = 7^{50} = 1798465042647412146620280340569649349251249$ \sourceon Python cnt = 5000 n = 70647825198474045971405 cnt = 10000 n = 27224820585472904386004986832412139021879 cnt = 15000 n = 293022847179995179 cnt = 20000 n = 1282553 cnt = 25000 n = 6665918261735 cnt = 30000 n = 618711160961 cnt = 35000 n = 162771774178180499 cnt = 40000 n = 34503843648915270073676915 cnt = 45000 n = 1468900945 cnt = 50000 n = 51089382040438559 cnt = 55000 n = 28092789235165331 cnt = 60000 n = 693218417128205 cnt = 65000 n = 195604656059256403 cnt = 70000 n = 163876466696035069358896894818311 cnt = 75000 n = 2413945160206168607 cnt = 80000 n = 167103515748266399663086349641 cnt = 85000 n = 5707660942432051375 cycle found 87406 1 91 150000 \sourceoff Liegt mit $87.406$ wachsenden Schritten ähnlich wie $T_{12^-}(31)$ mit $87.217$ Schritten. Ob das immer unabhängig von der Startzahl so ähnlich ist 🤔.


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haegar90
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  Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-04

Hier mal die Beispielausgabe für $T_{10^-}(31)$ mit dem nun angepassten Skript: $$cntg : \frac{n}{2}, cntu : 3n+1, cntp : 3^xn+1, cnt : \sum$$ So auch die Reihenfolge der vier Werte in runden Klammern. $$(cntg, cntu, cntp, cnt)$$ Die ersten 5 Zeilen sind nur Zwischenergebnisse zur Fortschrittsbeobachtung. \sourceon Python cntg = 15000 cntu = 7173 cntp = 231 cnt = 22404 n = 38750107645 cntg = 20000 cntu = 9612 cntp = 303 cnt = 29915 n = 4616796715505 cntg = 25000 cntu = 12064 cntp = 374 cnt = 37438 n = 14851497726204455 cntg = 35000 cntu = 16924 cntp = 520 cnt = 52444 n = 1897778119243959678023 cntg = 45000 cntu = 21844 cntp = 658 cnt = 67502 n = 69757003977403403 cycle found T_10-(31): [31, 1830520, 915260, 457630, 228815] ==> [700, 350, 175, 526, 263] (46831, 22689, 686, 70206) cycle_len = 51331 Min_n = 31 Max_n = 8509573143795155934867807007807450046728 \sourceoff \sourceon Python cntg = 5000 cntu = 2403 cntp = 74 cnt = 7477 n = 341700353705 cntg = 10000 cntu = 4831 cntp = 150 cnt = 14981 n = 2794699340660131285401485215 cntg = 15000 cntu = 7239 cntp = 225 cnt = 22464 n = 111108381040095247343169795985 cntg = 20000 cntu = 9640 cntp = 297 cnt = 29937 n = 9799567375133 cntg = 25000 cntu = 12079 cntp = 369 cnt = 37448 n = 1167602023449641 cntg = 35000 cntu = 16966 cntp = 513 cnt = 52479 n = 326284622539668333188687 cycle found T_10-(123456789987654321): [123456789987654321, 370370369962962964, 185185184981481482, 92592592490740741, 277777777472222224] ==> [167, 502, 251, 754, 377] (44974, 21815, 653, 67442) cycle_len = 51331 Min_n = 167 Max_n = 22056865445807494318971348196433163436744 \sourceoff


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Primentus
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  Beitrag No.43, eingetragen 2022-05-04

Hallo haegar90, es freut mich ebenfalls sehr, dass unsere Ergebnisse übereinstimmen. Insbesondere habe ich die exakt gleichen Werte von $cntg$, $cntu$, $cntp$ und $cnt$ wie Du für $T_{10^{-}}(31)$ in der ersten Tabelle von Beitrag #42, und auch als Minimum und Maximum habe ich exakt die gleichen Werte (und die Zykluslänge von $51331$ ist ebenso identisch). Damit können wir nun denke ich sicher sein, dass wir beide richtig gerechnet haben. Ja - da hast Du echt äußerst interessante Folgen zusammengezimmert mit den $T_{x^{-}}$ und $T_{x^{+}}$ Bildungsvorschriften. Während ich zuvor nur Zykluslängen von wenigen hundert Elementen erreicht habe, bist Du nun mit $x=12$ schon in Zykluslängen im sechsstelligen Bereich vorgestoßen. Und da scheint es nach oben hin vermutlich keine Grenzen zu geben. Da kannst Du nun mit Fug und Recht einen Eintrag im Guiness Buch der Rekorde beantragen. 👍 So lange Zyklen habe ich eigentlich nicht erwartet, bzw. in den allermeisten Fällen sehr langer Folgen driften diese dann doch eher ins Unendliche ab - so aber nicht hier. LG Primentus


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Primentus
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  Beitrag No.44, eingetragen 2022-05-04

Hallo haegar90, für $x=6$ hat $T_{6^{+}}(31)$ bereits Zykluslänge $147430$, wohingegen die Zykluslänge von $T_{x^{-}}$ erst für $x=12$ erstmals sechsstellig wird. Damit sieht es tatsächlich danach aus, dass bei $T_{x^{+}}$ die Zykluslänge noch schneller wächst. Ich schaue mir das noch genauer an. Außerdem werde ich auch mal Ausschau halten, ob für verschiedenste Kombinationen aus $n$ und $x$ Folgen auftreten, die nicht in einem Zyklus enden. Solange kein Gegenbeispiel gefunden ist, sagt das natürlich noch nichts aus, aber wenn doch, dann schon. LG Primentus


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haegar90
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  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-05

Hallo Primentus, da bin ich gespannt welche Erkenntnisse sich bei den weiteren Untersuchungen noch zeigen. Werde auch weitere Experimente in der Richtung machen. Für die Bildung dieser langen Zyklen ist wahrscheinlich der Primzahlsatz, bzw. die abnehmende Primzahldichte bei wachsenden 10er Potenzen ausschlaggebend. In welchem Spektrum, oder Intervall, sich die Folgen "aufhalten" wird für $T_{x^\pm}(n)$ ja durch $x$ nivelliert. Nimmt die Primzahldichte mit jeder 10er Potenz anfangs noch stark ab, nimmt sie z.B. zwischen $10^{22}$ und $10^{23}$ nur noch um weniger als $0,09 \%$ ab. Es könnte dann also so sein, dass die Folgen $T_{x^\pm}(n)$ ab einem $x$ divergieren. Oder einfach gesagt, das Wachstum der Zahlen übersteigt die Seltenheit der Primzahlen. Das festzustellen wird wohl leider die Kapazitäten meines Computers übersteigen.


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gonz
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  Beitrag No.46, eingetragen 2022-05-05

Ich bin noch immer bei Post #15 und C_MP3 - wie ist die Bildungsvorschrift zu verstehen? Um das nächste Folgenglied zu bekommen, teilt man durch 5, wenn möglich, und andernfalls nimmt man 8 mal das Folgeglied plus zweimal das vorhergehende? Grüße aus dem Harz Gerhard/Gonz


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haegar90
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  Beitrag No.47, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-05

\quoteon(2022-04-28 16:23 - cramilu in Beitrag No. 15) ... $C_{MP3}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, \;\; C_{MP3}(n)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{n}{5} & \, \textrm{wenn } \;\; m = n \mod 5 = 0 \\ 8n+2m & \, \textrm{wenn } \;\; m = n \mod 5 \neq 0 \\ \end{array} \right. $ ... \quoteoff Hallo gonz, interpretiere $C_{MP3}(n)$ so dass im Fall $5 \nmid n$ gerechnet wird: $8n+2\cdot(n \mod 5)$. $65,13,110,22,180,36 \dots$


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gonz
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  Beitrag No.48, eingetragen 2022-05-05

Danke :)


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cramilu
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  Beitrag No.49, eingetragen 2022-05-05

Ich habe gerade eben für meine spezielle Teilbetrachtung ein eigenes Thema eröffnet: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=258570&start=0 haegar90, nix für ungut, aber dann können wir uns hier weiterhin Primzahl-Orientierung etc. widmen, und der dank Deiner Anregung gefundene "ganz spezielle Fall" wird dort gesondert abgegrast.


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haegar90
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  Beitrag No.50, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-05

Hallo cramilu, Primentus hat es ja quasi schon in #34 mit "uff -...." 😃 auf den Punkt gebracht und die künstliche Beatmung von gonz in #46 war einfach zu zaghaft (Scherz 😉). Gerne werde ich auch im Paralleluniversum Collatz [2] mitwirken 👍, soweit ich da etwas Brauchbares liefern kann.


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Primentus
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  Beitrag No.51, eingetragen 2022-05-06

Hallo cramilu, ihr beide - haegar90 und Du - hattet unmittelbar vor Beitrag #34 auf Erkenntnisse und Ideen ziemlich zeitintensiver Natur verwiesen, so dass ich mich erstmal gezwungen sah, mich für eines von beiden Themen zu entscheiden. Ich finde es besser, sich erstmal mit einem zeitintensiven Thema auseinanderzusetzen, weil man dieses dann auch in der nötigen Tiefe abhandeln kann. Die Prachtfolge ist keinesfalls weniger interessant für mich, nur ist da der Aufwand, mich darin einzuarbeiten noch größer als bei haegar90's Bildungsvorschrift, so dass ich erstmal das Thema von haegar90 vorgezogen habe (da bitte ich um Verständnis). Mich hat es zugegebenermaßen auch sehr beeindruckt, dass man Zyklen mit sechsstelliger Anzahl Elemente oder sogar noch darüber hinaus erreichen kann. Das soll die Idee der Prachtfolge bzw. modulobasierten Expansion jedoch keinesfalls schmälern, und sollte ich demnächst Zeit finden, schaue ich mir gerne auch dieses Thema noch genauer an. Nur kann man sich eben nicht zweiteilen (außer bei Threads und Themen, die nicht so zeitintensiv sind). LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.52, eingetragen 2022-05-06

Primentus, alles gut! 😉 Ich selber werde da wohl auch auf Dauer hin- und herhüpfen. Dieser Dein Thread, haegar90, hat nach nicht einmal zwei Wochen schon fast 2.000 Views. Wohl kaum von ungefähr! Die Anregungen für Bildungsvorschriften mit Primzahlverwendung und Modulo sind jedenfalls mir hochinteressant.


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Primentus
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  Beitrag No.53, eingetragen 2022-05-06

@cramilu: Ok 👍 LG Primentus


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gonz
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  Beitrag No.54, eingetragen 2022-05-06

Ich versuch mich mal an der 171 als Startzahl für MP_3... und hab ein bissl mit C und GMP rumprobiert. \showon \sourceon C #include #include #define steps 400 int main() { mpz_t meinwert,zwischenwert,vergleichszahl; mpz_init(meinwert); mpz_init(zwischenwert); mpz_init(vergleichszahl); mpz_set_ui(meinwert, 171); mpz_set_ui(vergleichszahl,1); unsigned long int rest,stellenzahl_bits=1; while (1) { if (mpz_cmp(meinwert,vergleichszahl)>0) { printf("%li,",stellenzahl_bits); fflush(stdout); stellenzahl_bits+=steps; mpz_mul_2exp(zwischenwert,vergleichszahl,steps); mpz_set(vergleichszahl,zwischenwert); // gmp_printf("%Zd\n", meinwert); } rest = mpz_fdiv_q_ui (zwischenwert,meinwert,5); if (rest==0) mpz_set(meinwert,zwischenwert); else { mpz_mul_2exp (zwischenwert,meinwert,3); mpz_add_ui(meinwert,zwischenwert,rest+rest); } } } // to compile you may use gcc -lgmp \sourceoff \showoff Bis zu 1 Mio Bit großen Zahlen wächst die Folge munter weiter (das Programm läuft noch) Grüße und kommt schön durch den Freitag ins Wochenende :) PS.: Bin ich hier im richtigen Thread? :)


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Primentus
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  Beitrag No.55, eingetragen 2022-05-06

Hallo, ein kleiner Zwischenbericht von mir im Zusammenhang mit der Bildungsvorschrift $T_{x^{+}}$.
  • Die Folge $T_{7^{+}}(31)$ enthält einen Zyklus ab dem 452751. Folgenglied mit Zykluslänge 371384. Der Zyklus lautet (verkürzte Darstellung): 2500618, 1250309, 2734425784, 1367212892, 683606446, ..., 2222770, 1111385, 3334156, 1667078, 833539
     
  • So wie es aussieht, enthält jede Folge $T_{3^{+}}$ für eine beliebige 1- bis 3stellige Startzahl einen Zyklus.
     
  • So wie es aussieht, enthält jede Folge $T_{4^{+}}$ für eine beliebige 1- bis 3stellige Startzahl einen Zyklus.
Bis jetzt konnte ich also noch keinen Fall finden, wo eine Folge der Bildungsvorschrift $T_{x^{+}}$ mutmaßlich bis ins Unendliche abdriftet. LG Primentus



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haegar90
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  Beitrag No.56, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-08

Hallo Primentus, $452.751$ 🤗👍 tolles Ergebnis. Die Millionen sind nicht mehr weit. Um da weiterzukommen muss mein Skript irgendwie angepasst werden damit es schneller wird. Hatte zunächst die Änderung gemacht, nur noch die Primzahlen zum Vergleich zu nehmen ob ein Zyklus entsteht. Das geht auch 10-fach schneller. \sourceon Python 31 cycle found T_7+(31): [31, 47, 77093, 1406609, 1153595207] ==> [23771345976773, 4626367630826009, 94962099384116273, 5645514110962079, 1250309] (549434, 262711, 11994, 824139) cycle_len = 5425 Min_n = 31 Max_n = 2081322198427719212640939531431286356589055324247608 \sourceoff Hier für $T_{7^{+}}(31)$ enthält die Folge bis zum Zyklus $824.139$ Elemente. "cycle_len" sind hier nur die Primzahlen mit 5425. Lasse jetzt so mal $x=8$ laufen. AddOn: \sourceon Python 31 cycle found T_8+(31): [31, 47, 21683, 10002809, 7786967021] ==> [1794679001117, 4370924140721, 28483857917, 790192408367, 551231] (1531350, 735580, 28826, 2295756) cycle_len = 20537 Min_n = 31 Max_n = 2507869382304329140284098664391497887853671710303271510156656 31 cycle found T_9+(31): [31, 47, 693827, 640152977, 59129805419] ==> [18082445073479811953, 29359752039494322197, 214066847, 9289529, 47] (1662783, 803570, 27282, 2493635) cycle_len = 27281 Min_n = 31 Max_n = 956582546679744350848575693207719524340624264677712914698856721585764 \sourceoff ...mit $T_{10^+}(31)$ wird es so schon zäh. Nach ca. $6.500.000$ Elementen noch kein Zyklus aber auch keine Divergenz.


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cramilu
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  Beitrag No.57, eingetragen 2022-05-08

Ach von mir: Chapeau, Primentus! Dass bei Primzahl-Orientierung in der Bildungsvorschrift derart lange Schleifen/Perioden/Zyklen entstehen können, ohne dass sich daraus unmittelbar zwingend ein Hang zur insgesamten Divergenz ableiten lässt, finde ich faszinierend! Da ich genau dazu gerade allgemein am Überlegen bin: Würde man eine Folge, welche begründbar vorhersehbar nach der soundsovielten nächsten Startzahl einen neuen, zu den bis dato erzeugten zusätzlichen Zyklus erzeugt, nicht auch als "divergent" bezeichnen müssen? Und welches Verhalten würde man allgemein für Folgen erwarten, die sich als "haarscharf vor der Divergenz herumflatternd" charakterisieren lassen? Eher viele, aber scheinbar noch endlich viele Zyklen unterschiedlicher Längen? Oder eher so etwas wie mindestens einen eeeeeecht langen Zyklus?


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Primentus
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  Beitrag No.58, eingetragen 2022-05-09

Hallo haegar90, ja, ab $x=7$ kommt man schon zu ganz schön langen Zyklen. Schön, dass Du Deinen Algorithmus sogar noch beschleunigen konntest. Ein paar Untersuchungen mache ich noch zu $T_{x^{+}}$, aber bei mir wird es auch schon recht zäh, bis mal Ergebnisse vorliegen. Aber ich denke, man kann schon mal festhalten, dass die Bildungsvorschrift $T_{x^{+}}$ die bislang ergiebigste ist, was möglichst lange Zyklen betrifft (und $T_{x^{-}}$ die zweitergiebigste). @cramilu: Danke! Ich finde es wie schon gesagt auch sehr faszinierend, eine Bildungsvorschrift zu haben, die sehr, sehr lange Zyklen erzeugt, so wie das bei $T_{x^{+}}$ der Fall ist. Es ist schon erstaunlich, dass die Folge ein paar hunderttausend Elemente lang "herumeiert", bevor sie dann doch noch in einen Zyklus gerät anstatt ins Unendliche abzudriften. Genauso interessant finde ich aber Bildungsvorschriften, die möglichst viele verschiedene Zyklen hervorbringen, so wie es bei der fibonacci-basierten Bildungsvorschrift $F_{F;n}$ der Fall ist (siehe Beiträge #18 und #28). Hier ist es ja so, dass je höher $n$ ist, die Anzahl zweigliedriger Zyklen immer mehr in Richtung Unendlich wandert, auch wenn diese zweigliedrigen Zyklen, die offensichtlich nach der Bauart $k\cdot F_{n+2},k$ mit $k\in \{1,2,3,..,F_{n+2}-1\}$ konstruiert sind, eher trivialer Natur sind. Aber so wie die Anzahl verschiedener Zyklen $F_{F;n}$ für ein festes $n$ so wie es aussieht immer mehr in Richtung Unendlich geht, so geht die Zykluslänge von $T_{x^{+}}$ vermutlich auch immer mehr gegen Unendlich. Somit sind beide Bildungsvorschriften gleichermaßen interessant. Bei $F_{F;n}$ ist es jedoch so, dass es zusätzlich teilweise auch Startzahlen gibt, bei denen die Folge ins mutmaßlich Unendliche abdriftet, wohingegen $T_{x^{+}}$ wie bislang festgestellt offenbar immer in einen Zyklus mündet. Als "haarscharf vor der Divergenz herumflatternd" würde ich die Folgen $T_{x^{-}}$ und $T_{x^{+}}$ bezeichnen, da die Zyklen so lang werden, dass man kaum noch damit rechnet, dass überhaupt noch ein Zyklus zustande kommt. Und als divergent würde ich Folgen bezeichnen, die sagen wir mal für mindestens 50 % der Startzahlen ins mutmaßlich Unendliche abdriften, ansonsten wären sie eher "teildivergent" oder "geringfügig divergent" Den Fall viele verschiedene Zyklen ein- und derselben Bildungsvorschrift mit unterschiedlichen Zykluslängen scheint es bei $F_{F;n}$ nicht zu geben (bis auf die gelegentliche Ausnahme eines Zyklus, der länger als zweigliedrig ist [respektive mehr als drei verschiedene Zykluslängen für festes $n$ konnte ich bislang noch nicht feststellen]). $T_{x^{-}}$ und $T_{x^{+}}$ sind jedoch Bildungsvorschriften, die nicht nur besonders lange, sondern für festes $x$ auch viele verschiedene Zyklen hervorbringen (siehe Beitrag #33 - muss ich mir aber selbst nochmal genauer ansehen). LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.59, eingetragen 2022-05-09

Bei Eueren \(T_{x^+}\) muss ja nun das grobe mittlere Wachstum, welches zu erwarten ist, zunächst größer sein als bei Standard- Collatz, wenn ich es richtig sehe. Dort ist es \(\frac{3}{2}=1,5\) , und das "Kollaps-Potenzial" durch die erreichbaren Zweierpotenzen bleibt gleich. Könnt Ihr denn bei den \(T_{x^+}\) das grobe Wachstum abhängig von \(x\) so angeben, dass man es mit Standard-Collatz vergleichen und daraus ggf. Abschätzbarkeiten ableiten kann?


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haegar90
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  Beitrag No.60, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

Hallo cramilu, Primentus, diese Folgen \(T_{x^+}\) scheinen magisch zu sein. Selbst mit brutal frei gewähltem $x=200$ und der beliebigen Startzahl $507$ scheint hier ein unangreifbares Gleichgewicht zu herrschen. Man beachte $cntp$ und die Länge von $n$.🤔 \sourceon Python cntg = 2071 cntu = 1000 cntp = 6 cnt = 3077 n = 868825903923126469305952325431308829057812571143253338165158677973395430134877514371090212434476656864236334997285180286771190378222488131497253035295200122312959003952156325810252663423168972080373871777712502952960861707174406075901026687347264332174532266718173396654437311337427697595718680666385425184290201251177071474963766388890245162826477017347193244233372024842941232586753998430300974255019573763288158079897357223899 cntg = 4116 cntu = 2000 cntp = 7 cnt = 6123 n = 75526140406300125338219739742005660514269388436201254020303267525657485979572513297443014011610256747633643255664508187111576129509570645279452286044132920958189091662348488533916692358619013173200042019629184035295264482899895480205165822294545559195961106871114217912496705493807943470187881826444293898397282625244223801090500560052931812171202902952891989034618392091401914417772901 cntg = 6113 cntu = 3000 cntp = 8 cnt = 9121 n = 1847998499459025976654675645200756894234192023529742199280093563864131490664341400354491489789346503801723745754233144820524695989300662333338643625092410342716010400575793684643807994853926079985353197521852431177268580562609400124124236294850007183504485096861776537691676348204543644748687637241003115433328077264461564519403380038433982239516025244768707 cntg = 8087 cntu = 4000 cntp = 12 cnt = 12099 n = 7108020455311384002508433659097812368572599980600662226812903761043943448279326788104010565364724751101145716428299764915534836086915670038242779936945996830832972283661935182867300291831189997230774110513540362423629357935962906830527956615585413151661055029961216468940992956149392304503981717424934390705137656377818035622755445332791243264797696188087651741609375345374151529143092691094336896112188127518549328307236601247136587881280785574337089965119326039876971564767547571793973659555059866463029406086257124405271795623178881144500771473898737435293349100821586234455946555693180552788523451762590696760276610601 cntg = 10069 cntu = 5000 cntp = 14 cnt = 15083 n = 1513749004196495626913493329154386800138512316387296731152046312614621449784167505486248780075713798656509918027163865832219279454309405442502685380146153471316546985745617960862510395115027049384905579611937740238482280403492734361045235561251832358251831242111714887513562966423966783450664162316382577119734176785423136627628002894494065231849329086118487369323160804737319249474475451550958046317452827643340614557960542912555457778969018454252216831759100515612918881999954477606018325026218983076693289935799049830375037531239946540869601553189623227379931638750710115331239393976966692832871297589440813563104370923152517477783380822822179501091490423741395861739562393340956467202926683 \sourceoff \sourceon Python cntg = 43789 cntu = 22000 cntp = 38 cnt = 65827 n = 49198625492524310758314494931984550542077947926864357670364871597261026272534603271347540811346985616281994141159554567780176516138509702812706886638377954419332680121247764935365020662250011096957785535400760885660312277918995126752808746243961373357340443000784965813675306639969407974756920242500025186297172638864904346494128049390363447184935267117751994329583467839305615264209017757035284755254086172774316456561038565263121253274193110221733136987791008077729993255291910804398644871736168757528935116072199419806356302594160410267380687402299876135958456387704538491603730568806484856864028233129483614170041060687069232231313702399714481561600111997853386256344414048762978057887396645975738454728924407252808768385088046351306159213962333822340587966513338235578738332166787723288213465732578777569580173529822304902237516033510933672463633189495462886058837764520564423264159738862919711309401853693373645663557091026624096101702501 cntg = 45837 cntu = 23000 cntp = 38 cnt = 68875 n = 2012688520053623588049586494405513807467342744537946632266675826824374248703731159484833112790445119343636506499596578290597794905223903507282939625837255036889055371286018261800188486807736028359477240904887469660281985261175492721275668929658693546194718823758990923246039691211677547269060321669471479465695538640484504352366749728781516270892778911852018859039405909044311619274855614596086605239501102669331274322224203062450070424458654857797253839175559077361836073019864072774188584526177821985396226890208791286756204241269581746020603980389819174331605011272788499216195456881760218553949735004887250224214268249542624886553286295202574960369337230573790099752263424360439780933277456919765131599041769229834137950049205276177688856406117592838498937228347767577964107656469441429781348248337411 cntg = 47710 cntu = 24000 cntp = 40 cnt = 71750 n = 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425437373033221468812541214888462862299207952133342836598623453290896237818362706092210919839478268618881580664464463134074567387593477137720770041754518053206001389894780891246132735482213430183273744471097861642444878539395699614612161464235859530041916321826134427099332603701623902280827819955518952321574040462218552893497217581331559713621850932930328799400686732262503916950390829239559008591140058098752292229222351666942905389689201976336188656147294273247005491449024335065050575036945043468747739487675688512114758603174705672278167041136805142242926892038381521416540384919838294625213823726270840039921437035342789855738530311848534824809632358303818045716276470713680749373597956643772327934507665668667899634215086157365960563073194587085998739070364181391010184851996777956714886391094477734293452948762898536767248165181660789114795130413338950387930194138102979 cntg = 51703 cntu = 26000 cntp = 41 cnt = 77744 n = 1254119715743477612634733701303777069178279647825500502734646343451720612530194214788223446316920882460159899886859667985351342378387820814969186774654039554518443628275201297369722231740361214440953885633232578334958105619562319863951147117315169448894260734099324192343764319515294143361266076197700106098422602203230539089819553652999871077434723759838603701306997927792599290257353610781455094529949361293239714272322514652618560234563120495938810970278697048357898499773689682952792740169018150083667237847395294293248059650536080168506238544072743242471674401229466622363528992541011401509701964248169823746707613686307307701442340489616867337947585324112649915231289407677591756379703527547997744073818643928299010226700426315154702382613796563033103 cntg = 53614 cntu = 27000 cntp = 43 cnt = 80657 n = 630628928478183483992693675525038292595820630491385088339113556398423622229936118567277632545729733231023912700096880659685838854842637865153370507026211091504631037361322413297759073539057860477580323452893258066270824721451185044609942905681466452557067660350975848174431481296758313422174146535159078656791262425170631838351660319548306697671581960544186344654448047508586608560187879614762254483090681776634941601222069058105328901929389311077691934480391947068635880278132474612045508201537908714465807655011099069178458778516601335318315069063084409884606632478471287608316686422444158843235608858999200767103383633681188845927458615328150712417956913556561608981350381445823373985199860406866733858778216301519054348582306464403864920827628211561914464440150510574437162174405313473816253051936012034112584025843710951905651090241775165480595 \sourceoff Habe das noch länger laufen lassen. Es setzt sich so fort und würde vermutlich nach ein paar Jahren in einen Zyklus gehen😂.


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cramilu
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  Beitrag No.61, eingetragen 2022-05-09

Womöglich gibt es ja eine Art »Collatz-Wendekreis«, »Syracuse Horizon« oder dergleichen... Also hinter der Frage nach dem Halte-Problem bei der »Collatz-Folge« sogar noch die, ab welcher Umgebung vor einer noch aufzuspürenden und zu benennenden Grenze bei ähnlich gearteten Folgen selbige divergieren, periodisch/zyklisch konvergieren oder aalgleich unfassbar "herumeiern". Ob das jemals zu klären sein wird, geschweige denn hier durch uns, mag wohl unser Leben lang an uns nagen. 🙄


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Primentus
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  Beitrag No.62, eingetragen 2022-05-09

Hallo cramilu, hallo haegar90, es scheint bei $T_{x^{+}}$ und $T_{x^{-}}$ ziemlich sicher ein solches unangreifbares Gleichgewicht zu existieren, so dass sich die darauf basierenden Folgen irgendwo zwischen 1 und Unendlich austarieren und eben weder in Richtung 1 noch in Richtung Unendlich abdriften. Man könnte meinen, dass dies vielleicht damit zusammenhängt, wie oft bei der Bildungsvorschrift die Folge in die Abzweigung "gerade" und in die Abzweigung(en) "ungerade" hineinläuft. Ich möchte mal anhand eines Beispiels demonstrieren, warum dies aber vermutlich eher nicht der Fall ist: Wenn man die Original Collatz-Folge für die Startzahl 31 22404 Folgenglieder lang laufen lässt (ungeachtet dessen, ob ein Zyklus erreicht wurde), dann wird die Abzweigung "gerade" 14932mal durchlaufen und die Abzweigung "ungerade" 7472mal, also in etwa halb so oft. Und das ist ja eine Folge die gegen 1 konvergiert. Lässt man im Gegensatz dazu $T_{10^{-}}$ für die Startzahl 31 ebenfalls 22404 Folgenglieder lang laufen, dann wird die Abzweigung "gerade" 15000mal durchlaufen und die Abzweigung "ungerade" (inlusive prim) 7404mal. Vergleicht man diese beiden Zahlen mit denen der Original-Collatz-Folge, ist der Unterschied eher marginal. Witzigerweise liegen bei $T_{10^{-}}(31)$ sogar noch mehr Durchläufe durch die Abzweigung "gerade" vor und trotzdem konvergiert die Folge nicht wie bei Collatz gegen 1. Daher würde ich so argumentieren, dass es nicht so sehr darauf ankommt, wie oft eine Abzweigung "gerade" oder eine Abzweigung "ungerade" durchlaufen wird, sondern was genau mit einer ungeraden Zahl passiert. Und der Schlüssel scheint womöglich darin zu liegen, eine dritte Abzweigung einzuführen, die neben der schon vorhandenen Verdreifachung bestimmter ungerader Zahlen noch eine gelegentliche mehrfache Verdreifachung im Sinne von $3^x$ durchführt, welche dann offensichtlich diese stabilisierende Wirkung hat, um Halbierungen und Verdreifachungen gegenseitig auszutarieren. Wahrscheinlich würde es eher nicht gelingen, mit nur zwei Abzweigungen in der Bildungsvorschrift ebensolches Verhalten zu generieren - oder findet jemand einen solchen Fall? Wie das aber letztlich mathematisch exakt zu erklären ist, warum zwei verschiedene Arten von Verdreifachungen benötigt werden, um eine Halbierung auszutarieren, ist mir jedoch selbst noch nicht ganz klar. Aber eventuell ist es so, dass wenn Halbierungen stattfinden, dass diese dann nicht so lange zu erneuten Halbierungen führen wie bei der Original-Collatz-Folge. Das könnte möglicherweise dann die Erklärung sein, warum sich die Folge $T_{x^{-}}$ (ebenso wie $T_{x^{+}}$) weit oberhalb der 1 austariert. LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.63, eingetragen 2022-05-10

Denk' ich an Collatz in der Nacht... 🙄 haegar90 und Primentus, mit den gesteigerten Dreierpotenzen als Ausweichfaktoren wird ja nun das vorübergehende Wachstum bis zum Erreichen einer schicken Zweierpotenz vermeintlich gesteigert. Nun habe ich mich entsonnen, dass die um Eins verminderten Quadrate ungerader Zahlen stets durch Acht teilbar sind, und die um die ungerade Zahl selbst verminderten dritten Potenzen derselben ebenfalls. Was wäre dann wohl bei... \(h_{h90P;...}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\ n^2-1 & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right.\) \(h_{h90P;...}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\ n^3-n & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right.\) \(h_{h90P;...}(n)=\left\{\begin{array}{3}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\ 3n+1 & wenn\;\;n\;\;ungerade\;\;und\;\;prim \\ n^2-1 & wenn\;\;n\;\;ungerade\;\;und\;\;nicht\;\;prim \end{array}\right.\) \(h_{h90P;...}(n)=\left\{\begin{array}{3}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\ 3n+1 & wenn\;\;n\;\;ungerade\;\;und\;\;nicht\;\;prim \\ n^2-1 & wenn\;\;n\;\;ungerade\;\;und\;\;prim \end{array}\right.\) bzw. anderen denkbaren Kombinationen von \((3n+1)\) , \((n^2-1)\) und \((n^3-n)\) mit prim und nicht-prim sowie ggf. noch Modulo-Behaftungen? Dass man bei einigen solcher Folgen irgendwann auf Null fällt und dort kleben bleibt, ist klar. EDIT Der Zusammenhang \(n^3-n=n\cdot(n^2-1)\) ist ja... banal. 😉 Um die Behauptung obiger Teilbarkeit durch Acht noch einmal kurz zu erhärten: Sei \(n=2k+1\) , also ungerade. Dann ist \(n^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4\cdot(k^2+k)\) , wobei das \((k^2+k)\) für gerade wie ungerade \(k\) gerade wird, also einen weiteren Faktor \(2\) liefert. Wendet man allerdings \((n^2-1)\) oder \((n^3-n)\) auf nicht-prime ungerade Folgeglieder an, dann droht es sich etwa schon mit Startzahl \(21\) im Unendlichen zu verlieren.


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Primentus
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  Beitrag No.64, eingetragen 2022-05-10

Hallo cramilu, wenn ich Deine vier Bildungsvorschriften aus Beitrag #63 mal der Reihe nach durchnummeriere als $h_{h90P1}$, $h_{h90P2}$, $h_{h90P3}$ und $h_{h90P4}$, dann kann ich zu diesen folgende Aussagen bezüglich der sich bildenden Zyklen treffen: $h_{h90P1}$ enthält (mindestens) 1 Art von Zyklus und zwar der Länge 1 (nämlich 0). $h_{h90P2}$ enthält (mindestens) 2 verschiedene Zyklen - davon einen der Länge 1 (nämlich 0) und einen der Länge 4 (nämlich 24, 12, 6, 3). $h_{h90P3}$ enthält (mindestens) 1 Art von Zyklus und zwar der Länge 1 (nämlich 0). $h_{h90P1}$ enthält (mindestens) 2 verschiedene Zyklen - davon einen der Länge 3 (nämlich 4, 2, 1) und einen der Länge 31 (nämlich [verkürzte Darstellung]: 166, 83, 6888, 3444, 1722, ..., 880, 440, 220, 110, 55). Somit sind Bildungsvorschriften dieser Bauart so wie es aussieht weder ergiebig was die Anzahl verschiedener Zyklen für ein- und dieselbe Bildungsvorschrift betrifft noch was die Länge der Zyklen betrifft. Allerdings gibt es hier Schwierigkeiten, diese Bildungsvorschriften für mehr als gut 50 Folgenglieder zu untersuchen, da hierbei extrem große Zahlen entstehen (Folgenglieder mit mehr als 33 Millionen Dezimalstellen). LG Primentus


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cramilu
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  Beitrag No.65, eingetragen 2022-05-11

Danke, Primentus. So in der Art hatte ich es erwartet bzw. befürchtet.


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haegar90
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  Beitrag No.66, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-11

Noch zu #62: Hier ist einmal beispielhaft für die $T_{x^+}$ Folge mit der Startzahl $n=31^{50}$ und $x$ in Elfer-Schritten $(0,11,22...396)$ die Häufigkeit der Primzahlen $p^+:=(n+1) \mod 6=0$ in der Spalte $cntp$ aufgeführt. Es wurden nur die ersten $2000$ Schritte betrachtet wobei ein Schritt hier einer der beiden wachsenden Schritte ist oder die Teilung durch 2 ein fallender Schritt ist. Die Zykluslänge beträgt immer ca. 6000 also kommen auf einen wachsenden Schritt immer ca. 2 fallende Schritte. Die Häufigkeit von $p^+$ und damit die Häufigkeit der wachsenden Schritte $3^x n+1$ nimmt mit steigendem $x$ tendenziell ab und beträgt etwa nur noch $1/1000$ der Schritte. Mag sein dass ich damit falsch liege, aber mir erscheint es immer noch so wie in #45 als sei genau dieser Zusammenhang für das Austarieren der Folgen ausschlaggebend. Gut wäre es, man würde ein anderes* Entscheidungskriterium als $p^+$ als Auslöser für $3^x n+1$ finden. Dieses müsste dann aber auch durch konkrete Zahlen $n$ ausgelöst werden. Dann könnte man vllt. vergleichend prüfen, ob sich auch immer (alle Beispiele) ein Gleichgewicht für beliebige Kombinationen von $(x,n)$ für größere $x$ ergibt. Grundsätzlich bin ich aber bei #62, da sich, wie auch hier, stets das Verhältnis 1:2 von wachsenden zu fallenden Schritten ergibt. *ohne Bezug zu den Primzahlen. \showon \sourceon nameDerSprache | x | n | steps | cntp | len | | 0 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 19 | 1474 | | 11 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 47 | 6127 | | 22 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 24 | 6070 | | 33 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 20 | 6081 | | 44 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 16 | 6012 | | 55 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 16 | 6029 | | 66 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 12 | 6092 | | 77 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 11 | 6046 | | 88 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 9 | 6085 | | 99 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 11 | 6091 | | 110 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 9 | 6045 | | 121 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 7 | 5983 | | 132 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 7 | 6004 | | 143 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 9 | 6109 | | 154 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 8 | 6015 | | 165 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 7 | 6091 | | 176 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 6 | 6042 | | 187 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 6 | 6058 | | 198 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 6 | 6076 | | 209 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 6 | 6064 | | 220 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 4 | 5980 | | 231 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 6 | 6027 | | 242 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 9 | 6009 | | 253 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 4 | 6122 | | 264 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 7 | 6068 | | 275 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 5 | 5959 | | 286 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 4 | 5987 | | 297 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 7 | 6058 | | 308 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 4 | 6198 | | 319 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 4 | 6047 | | 330 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 5 | 6007 | | 341 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 6 | 6034 | | 352 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 4 | 6027 | | 363 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 6 | 5990 | | 374 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 6 | 6001 | | 385 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 5 | 6079 | | 396 | 369900306960760058257055122792882737298592289523754278027523770486241304001 | 2000 | 6 | 5953 | \sourceoff \showoff


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cramilu
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  Beitrag No.67, eingetragen 2022-05-11

haegar90, dann verschränke doch einfach mit dem, was andernorts schon thematisiert wurde, und nimm Palindromzahlen statt der Primzahlen. Oder als zusätzlichen Scheideteiler die konkreten Primzahlen 11, 13, 17, 19 oder die Primzahlquadrate 25 oder 49. $T_{y^+}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, \;\; T_{y^+}(n)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{n}{2} & \, \textrm{wenn } n \textrm{ gerade ist} \\ 3^1n+1 & \, \textrm{wenn } n \textrm{ ungerade und nicht durch 11[13,17,19,25,49] teilbar ist.} \\ 3^yn+1 & \, \textrm{wenn } n \textrm{ ungerade und durch 11[13,17,19,25,49] teilbar ist.}\\ \end{array} \right. $


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haegar90
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  Beitrag No.68, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-12

Hallo cramilu, Gute Vorschläge. Gerne würde ich das auch so verwenden. Doch es gibt, soweit ich es bisher versucht habe, keinen Ansatz der $p^+$ oder $p^-$ auch nur annähernd ähnelt. Es geht dann doch entweder recht schnell in einen Zyklus oder es divergiert eben für verschiedene Kombinationen $(x,n)$. Weitere Ideen sind sehr erwünscht 🙂.


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haegar90
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  Beitrag No.69, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-13

Dieser Beitrag \quoteon(2022-05-12 15:35 - blindmessenger im Themenstart) .... \[ \begin{array}{r|c|c|c|} Algo.&Anzahl \ der \ Zyklen & Zykluszahl \\\hline 3n+1&1&4 \\\hline 3n+3&1&12 \\\hline 3n+5&3&8;20;152 \\\hline 3n+7& 2&28;40 \\\hline 3n+9&1&36 \\\hline 3n+11& 3&32;44;248 \\\hline \end{array} \] \quoteoff .... \quoteoff hat nun diese Idee hevorgebracht, die bis jetzt nur anhand sehr weniger Stichproben betrachtet worden ist: Mit $u(i=0)=1$ und $u(i)= 2i+1$ $T_{u(i)}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, \;\; T_{u(i)}(n)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{n}{2} & \, \textrm{wenn } n \textrm{ gerade ist} \\ 3n+u(i), \; i=i+1 & \, \textrm{wenn } n \textrm{ ungerade } \textrm{ ist.} \\ \end{array} \right. $ Bsp.: $7==>22==>11==>36==>9==>32==>1$ Einige Startzahlen gelangen so zur $1$, andere gehen in einen Zyklus wachsen fortwährend. Die andere Variante mit $p(j=0)=1$ und $p(j) \in \lbrace 2,3,5,7,11,13,17 \dots\rbrace, \;\; p(1)=2, \;\; p(2)=3 \dots$ $T_{p(j)}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, \;\; T_{p(j)}(n)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{n}{2} & \, \textrm{wenn } n \textrm{ gerade ist} \\ 3n+p(j),\; j=j+1 & \, \textrm{wenn } n \textrm{ ungerade } \textrm{ ist.} \\ \end{array} \right. $ geht, nach ersten wenigen Stichproben, immer zur $1$. Wie gesagt, das ist nur der erste Eindruck, aber wenn es so wäre, schon erstaunlich. EDIT: Es scheinen doch Gegenbeispiele zu existieren.


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blindmessenger
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  Beitrag No.70, eingetragen 2022-05-13

Hallo Hägar, ich habe tatsächlich sehr wenige Beispiele gecheckt... Hättest Du eventuell ein Beispiel für eine Startzahl von $3n+k$ wo es fortwährend wächst? Vielleicht liegt ja nur ein sehr langer Zyklus vor anstatt Divergenz... Ist aber wahrscheinlich schwer zu unterscheiden...


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haegar90
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  Beitrag No.71, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-13

Hallo blindmessenger, du hast dich hier vielleicht mit dem Thread vertan. $3n+k$ ist doch dein Universum 3 Thread.


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blindmessenger
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  Beitrag No.72, eingetragen 2022-05-13

Achso ok... Weil Du meine Tabelle zitiert hattest...


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cramilu
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  Beitrag No.73, eingetragen 2022-05-16

Moin haegar90 😉 Dreierpotenzen scheinen nicht bloß "vorne" von Belang, sondern auch "hinten" - siehe »Universum 3«. Du kannst ja mal probieren, was sich bei Deinen Folgen am Verhalten ändert, wenn Du jeweils statt der \(1\) eine der höheren Dreierpotenzen \(3\), \(9\), \(27\) usw. addierst. Bei meinen Modulo-Dingern muss ich da erst noch grübeln, ob sich das berücksichtigen lässt.


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haegar90
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  Beitrag No.74, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16

\quoteon(2022-05-16 03:16 - cramilu in Beitrag No. 4) ... Viel schöner: cramilu-Behauptung Seien \(k\in\mathbb{N}_0\) , \(m=2k+1\) und \(n\in\mathbb{N}_+\) ; dann gilt für expandierende Folgen \(C_k(n)\) mit der Bildungsvorschrift \(C_k(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\ 3\cdot n+2k+1=3\cdot n+m & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right.\) für die Fälle \(m=3^p\) mit \(p\in\mathbb{N}_0\) , dass sie für jede Startzahl \(n\) irgendwann in den einen dreigliedrigen Zyklus " \(4\cdot m\) ; \(2\cdot m\) ; \(m\) " einmünden, welcher sich danach periodisch wiederholt. Unter jenen ist die »Collatz-Folge« diejenige für \(p=0\) ! \quoteoff Sehr gut 👍👍😄. haegar-Behauptung Für alle $n \in \mathbb{N}$, die nicht den Primfaktor $p=7$ enthalten, gelangt jede Folge $T_{_{3n-7}}(n)$ innerhalb der natürlichen Zahlen zur $1$. Für alle $n \in \mathbb{N}$, die den Primfaktor $p=7$ enthalten, gelangt keine Folge $T_{_{3n-7}}(n)$ zur $1$. $$T_{_{3n-7}}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, \;\; T_{_{3n-7}}=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n>0\;\;gerade \\ 3n-7 & wenn\;\;n>1\;\;ungerade \end{array}\right.$$ Edit: Scheint allg. für manche $3n-p, p>3$ in ähnlicher Art zu gelten.


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juergenX
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  Beitrag No.75, eingetragen 2022-05-29

Bein normale Collatz kommt ja immer nach einem Odd step 3x+1 ZWINGEND ein even step (E), der die ganze Folge nach unten zieht. 7,22,11,34,17,52k,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 Also start Odd number: OEOE mindestens OEO. oder 5,16,8,4,2,1 mindestens OEE. genauer OEEEEE oder 10,5,16,8,4,2,1 mindestens EOE... genauer EOEEEEE oder 1024,...16,8,4,2,1 = EEEEEE mindestens 2*E genauer EEEEEEEEEE Also immer folgt ein Even step nach einem odd step. Bei $m_{5,3,-1} 10,2,5,1,2,5,1$ ist es nicht so, aber es gibt einen trivialen Zyklus bei startzahl 10. Aber generell viel mehr "Odd" steps, die sehr inrementierend sind bei allem X die nicht X mod d = 0 sind. Es lohnt sich sicher kleine D,A,B zu untersuchen.


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gonz
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  Beitrag No.76, eingetragen 2022-05-30

Hallo Jürgen, vielleicht off-Topic in diesem Thread, aber folgende Anmerkung: um genau diesen "EVEN" Schritt (hier: Folgeglied ist durch D teilbar) zu erzeugen, sind die Werte für die B, die wir in dem Thread No. [2] betrachten, entsprechend ausgewählt. Ist dort der Rest bei der Division durch D gleich R, dann lässt sich das aktuelle Glied der Folge ja darstellen als X = Y*D + R Wählen wir nun zB B = A-D, dann erhalten wir als neuen Folgewert: X' = AX + BR = A(YD+R) +(D-A)R = AYD+DR = D(AY+R) was automatisch durch D teilbar ist. Grüße aus dem Harz, Gerhard/Gonz


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juergenX
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  Beitrag No.77, eingetragen 2022-05-31 21:49

\quoteon(2022-05-05 19:36 - Primentus im Themenstart ) Verallgemeinerung: Für \(n\in\mathbb{N}_+\) , \(d\in\mathbb{N}_+(d\geq2)\) , \(a\in[d+1;2d-1]\) , \(b_1=2d-a\) bzw. \(b_2=d-a\) sei \(m_{d;a;b}(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{d} & wenn\;\;\;r=n\mod d=0 \\ a\cdot n+b_{1[2]}\cdot r & wenn\;\;\;r=n\mod d\neq0 \end{array}\right.\) und heiße Modulo-based Expanding Syracuse Sequence [MESS] (modulobasiert expandierende Syracuse-Folge)\(\). Die »Collatz-Folge« \(C(n)\) wäre dann konkret \(m_{2;3;1}(n)\) . \quoteoff Soweit klar. Ich verstehe nicht, was $b_{1[2]}$ hier bedeutet? Bei Collatz \(m_{2;3;1}(n)\) leuchtet ein dass gerade halbiert (D=2) werden, und bei ungeraden n A=3,r=1) ist. was ist das $b_{1[2]}$? Hier offenbar = +1. Oder bei Vorgabe: \(m_{3;2;2}(n)\) D=3, A = 2 , r=2 a) 7, 16, 34, 80,158, 46,96,194,... wenn b = +1. b) 7, 12, 4, 6, 2, 2, 2... wenn b = -1. Trivialer Zyklus (2) gefunden! Hurra! Offenbar kommen wir dem Beispiel (a) nie wieder auf durch 3 teilbare Zahlen. Aber b gibt einen trivialen Zyklus. Was soll das also b sein? Ein geschicktes Vorzeichen fuer r = $\pm1$ ? Oder kann es auch andere Werte annehmen, so wie es uns passt? Tgx


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cramilu
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  Beitrag No.78, eingetragen 2022-06-01 00:06

Guten Abend, juergenX, erstens bist Du leider im falschen Thread! https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=258570&start=0 wäre der richtige! Zweitens zitierst Du mich und nicht Primentus. Und drittens steht oberhalb der Fallunterscheidungsklammer ausdrücklich, wie sich \(b_1\) und \(b_2\) ergeben!


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juergenX
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  Beitrag No.79, eingetragen 2022-06-01 17:44

\quoteon(2022-06-01 00:06 - cramilu in Beitrag No. 78) Guten Abend, juergenX, erstens bist Du leider im falschen Thread! https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=258570&start=0 wäre der richtige! Zweitens zitierst Du mich und nicht Primentus. Und drittens steht oberhalb der Fallunterscheidungsklammer ausdrücklich, wie sich \(b_1\) und \(b_2\) ergeben! \quoteoff sorry @ you, Cramilu.. Ich mach hier mal weiter: Ich versuche nur ertsmal diesen Algoritmus der in "Verallgemeinerung der Modulo-based Expanding Syracuse Sequence" gegeben ist zu verstehen. OK? \(m_{D;A;r}(n) \): r haengt von jeweiligen n ab. Bei D=3, A=2, r=1 b1= 2D-A = 4 haben wir bei der Vorgabe: D=3, A=2 , r=1 b1=4, b2= D-A =1. 1)b1=4: start= 7, r=n mod 3 = 1, m(7)=A*n+r*b1: = 7*4+4*3 = 40, r= 40 mod 3 =1; r=1: m(40) = 40 +4*1 =44 r= 44 mod 3 =1; r=0: m(44) = 44 +4*2 =52 2) Bei D=4, A=2, r=1, b2= D-A = 1 haben wir bei der Vorgabe: D=3, A = 2, r=1: b2= D-A =1. b1=1: start= 7, r=n mod D = 1, m(7)=A*n+r = 7*4+3 = 29, r= 29 mod 4 =1; r=1: m(29) = 3*29+1*1 = 88. r= 88 mod 4 =0; r=0: m(88) = 22. r= 22 mod 4 =2; r=2: m(22) = 3*22+2=68 . . Also abhänging von den verschiedenen vorkommenden b1 oder b2 bekommen wir verschieden Ketten. Auch verschiedene "Standard"-CollatzKetten abhängig von N Mod D? (r=1 oder r=2) \(m_{2;3;1}(n)\): b1 =1: M_{d,a,b} =M_{3,3,1} 5,16,8,4,2,1 b2 = 4 5,23,75,25,79,241,647,... Ich versuche nur die ursprüngliche Rechenvorschrift zu vertehen, und das ganze obige sollte eine Antwort an Gonz sein. Daher das missverstaendnis, ok?


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