Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Klausur zu Konvergenzradius bei Potenzreihen
Autor
Universität/Hochschule Klausur zu Konvergenzradius bei Potenzreihen
Mekin
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 06.05.2022
Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2022-05-06

Hallo zusammen. Ich lerne gerade für eine Klausur mit Hilfe von Altklausuren und bin über diese Aufgabe gestolpert und soll den Konvergenzradius der Potenzreihe berechnen: sum(z^2n /(sin(n)+2^n),n=0,\inf ) ich habe versucht den Radius durch das Wurzelkriterium und dann mit Hilfe des Quetschlemmas zu berechnen, bin damit aber nicht sonderlich weit gekommen. Ich bin ehrlich gesagt vollkommen ratlos, wie ich das lösen kann.


   Profil
Qing
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 91
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-07

Hallo, wenn ihr die Formel von Cauchy-Hadamard kennt, hast du diese schon probiert anzuwenden? Ansonsten kannst du dich ja mal als Übung fragen, wann das Trivial-Kriterium (also die notwendige Bedingung, dass über eine Nullfolge summiert wird) erfüllt ist. Selbstfrage: Wieso ist dieses notwendige Kriterium nicht hinreichend? Kennst du also eine Reihe, die über eine Nullfolge summiert, aber nicht konvergiert? Da du schon einiges probiert hast, kannst du mal deine Rechnungen zeigen. Vielleicht sind die ja gar nicht so falsch, oder legen andere Verständnisprobleme offen.


   Profil
Mekin
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 06.05.2022
Mitteilungen: 2
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-07

Hi, danke erstmal für die Antwort. Ich sehe nicht, was das Trivialkriterium mir hier bringen soll, schließlich ist 1/(sin(n) +2^n) eine Nullfolge. Danke für die "Übungsfrage"😁, aber natürlich reicht das Trivialkriterium nicht für Reihenkonvergenz aus (siehe zbsp harmonische Reihe). Sowohl das Wurzelkriterium, als auch das Quotientenkriterium für Potenzreihen scheitern bei meinen Rechnungen an der Summe unter der Wurzel. Ich habe folgendes gemacht: Substituiere u = z^2 R = lim(n->\inf,1/abs(sqrt(sin(n)+2^n)) Quetschlemma: (die Quadratwurzel soll die n-te Wurzel sein) 1/2 = lim(n->\inf,1/abs(sqrt(-1 +2^n))<= lim(n->\inf,1/abs(sqrt(sin(n)+2^n)) <= lim(n->\inf,1/abs(sqrt(1 * 2^n+2^n))) = lim(n->\inf,1/abs(sqrt(2)*sqrt(2^n)) = 1/2 Rückwärts substituieren: R = 1/sqrt(2) wie zeige ich, dass die linke Folge ebenfalls gegen 1/2 konvergiert?


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9323
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-07

Hallo, bei der Cauchy-Hadamard-Formel arbeitet man mit der n. Wurzel, nicht mit Quadratwurzeln. Hilft dir das bereits weiter? EDIT: sorry, das hattest du ja selbst schon klargestellt. Dann eben noch ein fedgeo-Tipp: \sourceon fedgeo Formeleditor \wurzel(n,x) \sourceoff ergibt im fed: \wurzel(n,x) Gruß, Diophant


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3775
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-07

\quoteon(2022-05-07 10:13 - Mekin in Beitrag No. 2) Ich sehe nicht, was das Trivialkriterium mir hier bringen soll, schließlich ist 1/(sin(n) +2^n) eine Nullfolge. \quoteoff Es geht um die Folge$$ {z^{2n}\over\sin(n)+2^n} = \left({z^2\over 2}\right)^n \, \frac1{1+{\sin(n)\over2^n}} \;, $$und die ist nur für $|z|^2<2$ bzw. $|z|<\sqrt 2$ eine Nullfolge. --zippy [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3775
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-07

\quoteon(2022-05-07 10:32 - Diophant in Beitrag No. 3) bei der Cauchy-Hadamard-Formel arbeitet man mit der n. Wurzel, nicht mit Quadratwurzeln. \quoteoff \quoteon(2022-05-07 10:13 - Mekin in Beitrag No. 2) (die Quadratwurzel soll die n-te Wurzel sein) \quoteoff


   Profil
Mekin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Mekin wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]