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| Autor |
 Klausur zu Konvergenzradius bei Potenzreihen |
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Mekin
Neu 
Dabei seit: 06.05.2022
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2022-05-06
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Hallo zusammen. Ich lerne gerade für eine Klausur mit Hilfe von Altklausuren und bin über diese Aufgabe gestolpert und soll den Konvergenzradius der Potenzreihe berechnen:
sum(z^2n /(sin(n)+2^n),n=0,\inf )
ich habe versucht den Radius durch das Wurzelkriterium und dann mit Hilfe des Quetschlemmas zu berechnen, bin damit aber nicht sonderlich weit gekommen. Ich bin ehrlich gesagt vollkommen ratlos, wie ich das lösen kann.
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Qing
Aktiv 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 91
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-07
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Hallo,
wenn ihr die Formel von Cauchy-Hadamard kennt, hast du diese schon probiert anzuwenden?
Ansonsten kannst du dich ja mal als Übung fragen, wann das Trivial-Kriterium (also die notwendige Bedingung, dass über eine Nullfolge summiert wird) erfüllt ist.
Selbstfrage: Wieso ist dieses notwendige Kriterium nicht hinreichend? Kennst du also eine Reihe, die über eine Nullfolge summiert, aber nicht konvergiert?
Da du schon einiges probiert hast, kannst du mal deine Rechnungen zeigen. Vielleicht sind die ja gar nicht so falsch, oder legen andere Verständnisprobleme offen.
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Mekin
Neu
Dabei seit: 06.05.2022
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-07
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Hi, danke erstmal für die Antwort.
Ich sehe nicht, was das Trivialkriterium mir hier bringen soll, schließlich ist 1/(sin(n) +2^n)
eine Nullfolge. Danke für die "Übungsfrage"😁, aber natürlich reicht das Trivialkriterium nicht für Reihenkonvergenz aus (siehe zbsp harmonische Reihe).
Sowohl das Wurzelkriterium, als auch das Quotientenkriterium für Potenzreihen scheitern bei meinen Rechnungen an der Summe unter der Wurzel. Ich habe folgendes gemacht:
Substituiere u = z^2
R = lim(n->\inf,1/abs(sqrt(sin(n)+2^n))
Quetschlemma: (die Quadratwurzel soll die n-te Wurzel sein)
1/2 = lim(n->\inf,1/abs(sqrt(-1 +2^n))<= lim(n->\inf,1/abs(sqrt(sin(n)+2^n)) <= lim(n->\inf,1/abs(sqrt(1 * 2^n+2^n))) = lim(n->\inf,1/abs(sqrt(2)*sqrt(2^n)) = 1/2
Rückwärts substituieren: R = 1/sqrt(2)
wie zeige ich, dass die linke Folge ebenfalls gegen 1/2 konvergiert?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9323
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-07
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Hallo,
bei der Cauchy-Hadamard-Formel arbeitet man mit der n. Wurzel, nicht mit Quadratwurzeln.
Hilft dir das bereits weiter?
EDIT: sorry, das hattest du ja selbst schon klargestellt. Dann eben noch ein fedgeo-Tipp:
\sourceon fedgeo Formeleditor
\wurzel(n,x)
\sourceoff
ergibt im fed:
\wurzel(n,x)
Gruß, Diophant
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3775
 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-07
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\quoteon(2022-05-07 10:13 - Mekin in Beitrag No. 2)
Ich sehe nicht, was das Trivialkriterium mir hier bringen soll, schließlich ist 1/(sin(n) +2^n)
eine Nullfolge.
\quoteoff
Es geht um die Folge$$
{z^{2n}\over\sin(n)+2^n} = \left({z^2\over 2}\right)^n \,
\frac1{1+{\sin(n)\over2^n}} \;,
$$und die ist nur für $|z|^2<2$ bzw. $|z|<\sqrt 2$ eine Nullfolge.
--zippy
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3775
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-07
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\quoteon(2022-05-07 10:32 - Diophant in Beitrag No. 3)
bei der Cauchy-Hadamard-Formel arbeitet man mit der n. Wurzel, nicht mit Quadratwurzeln.
\quoteoff
\quoteon(2022-05-07 10:13 - Mekin in Beitrag No. 2)
(die Quadratwurzel soll die n-te Wurzel sein)
\quoteoff
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