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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Funktorielles Verhalten der Brauergruppe
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Universität/Hochschule J Funktorielles Verhalten der Brauergruppe
matheem
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  Themenstart: 2022-05-07

Hii, ich beziehe mich bei der folgenden Frage auf das Skript von Ina Kersten, auf den Satz in 3.7 (https://www.univerlag.uni-goettingen.de/bitstream/handle/3/isbn-978-3-938616-89-5/brauergruppen.pdf?sequence=3). Dabei habe ich eine Frage zum Beweis der Wohldefiniertheit der Abbildung $r_{L/K}$ Sei $B = M_{n \times n}(K).$ dann gilt: $ (A \otimes _K M_{n \times n}(K)) \otimes _K L \cong ( A \otimes _K L) \otimes _L (M_{n \times n}(K) \otimes _K L) \cong (A \otimes _L L) \otimes _L M_{n \times n}(L)$ Stimmt das soweit? Dann wäre meine Frage hierbei: warum ist dann $r_{L/K}$ wohldefiniert?


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-07

Zur Wohldefiniertheit von $r_{L/K}$ muss gezeigt werden, dass aus $A \sim A'$ auch $A \otimes_K L \sim A' \otimes_K L$ folgt (vgl. Definition der Brauergruppe). Schreibe aus, was das gemäß der Definition der Ähnlichkeit bedeutet. Beweise es anschließend.


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matheem
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-07

\quoteon(2022-05-07 13:33 - Triceratops in Beitrag No. 1) Zur Wohldefiniertheit von $r_{L/K}$ muss gezeigt werden, dass aus $A \sim A'$ auch $A \otimes_K L \sim A' \otimes_K L$ folgt (vgl. Definition der Brauergruppe). Schreibe aus, was das gemäß der Definition der Ähnlichkeit bedeutet. Beweise es anschließend. \quoteoff Okay, also muss ich zeigen: $ \exists n,m \in \mathbb{N}: A \otimes _K M_{n \times n}(K) \cong B \otimes _K M_{m \times m}(K)$ $\Rightarrow $ $\exists k,l \in \mathbb{N}:$ $ A \otimes _K L \otimes _K M_{k \times k}(K) \cong B \otimes _K L \otimes _K M_{l \times l}(K)$ Hab aber gerade überhaupt keine Idee, wie ich das machen soll...


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-07

Nein, das ist nicht zu zeigen. Beachte, dass $A \otimes_K L$ eine $L$-Algebra ist und ein Element in der Brauergruppe von $L$ repräsentiert. Hier muss also eine Matrixalgebra über $L$ tensoriert werden. Was den Beweis angeht, versteht es sich von selbst, dass man $(k,l)=(n,m)$ wählen kann/muss (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805). Aus $A \otimes_K M_n(K) \cong A' \otimes_K M_m(K)$ folgt $(A \otimes_K M_n(K)) \otimes_K L \cong (A' \otimes_K M_m(K)) \otimes_K L$, jetzt rechne beide Seiten aus (mit dem Hinweis von Kersten).


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-07

\quoteon(2022-05-07 15:54 - Triceratops in Beitrag No. 3) Nein, das ist nicht zu zeigen. Beachte, dass $A \otimes_K L$ eine $L$-Algebra ist und ein Element in der Brauergruppe von $L$ repräsentiert. Hier muss also eine Matrixalgebra über $L$ tensoriert werden. Was den Beweis angeht, versteht es sich von selbst, dass man $(k,l)=(n,m)$ wählen kann/muss (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805). Aus $A \otimes_K M_n(K) \cong A' \otimes_K M_m(K)$ folgt $(A \otimes_K M_n(K)) \otimes_K L \cong (A' \otimes_K M_m(K)) \otimes_K L$, jetzt rechne beide Seiten aus (mit dem Hinweis von Kersten). \quoteoff Ok, hab ich es jetzt vielleicht richtig verstanden? z.zg.: Sei $A ~ A'$, dann folgt daraus $A \otimes _K L ~A' \otimes _K L$ Bew.: Da $A \sim A'$ folgt daraus, dass $A \otimes _K M_{n} (K)) \otimes _K L \cong (A' \otimes _K M_{m} (K)) \otimes _K L$ Aufgrund der Multiplikativität (?) folgt daraus, dass $(A \otimes _K L) \otimes _L (M_{n} (K) \otimes _K L) \cong (A' \otimes _K L) \otimes _L (M_{m} (K) \otimes _K L)$ Nach dem Hinweis von Kersten gilt dann: $(A \otimes _K L) \otimes _L M_{n} (L) \cong (A' \otimes _K L) \otimes _L M_{m} (L)$ Woraus wiederum $A \otimes _K L \sim A' \otimes _K L$ folgt?


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-08

Wenn dein Beweis Fragezeichen beinhaltet, ist er unvollständig. Deine Aufgabe ist es ja, die Lücken zu füllen. Grundlagen über Tensorprodukte findest du (wie schon im anderen Thread erwähnt) in https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf aber das Skript von Kersten sollte auch alles bereit gestellt haben. PS @Moderatoren: Irgendjemand hat dieses Thema nach "algebraische Geometrie" eingeordnet. Es hat damit aber nichts zu tun.


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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-08

Das hat jetzt nicht direkt etwas mit der Frage zu tun, aber weil du das Buch von Kersten liest: Ich habe die Definitionen im Buch kurz überflogen und habe ein paar Fehler hinsichtlich der Null gefunden (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906). Vereinbarungen 0.1: Es wird hier gesagt, dass jeder Ring $0 \neq 1$ erfüllt. Das ist falsch in dem Sinne, dass es nicht zur üblichen Definition des Begriffes "Ring" passt. Und selbst wenn man sich nur für nichttriviale Ringe interessiert (klar, der triviale Ring ist langweilig), bringt es technische Nachteile mit sich, diese Restriktion zu machen. Zum Beispiel ist die Annahme $V \neq 0$ in Konstruktion 1.3 überhaupt nicht nötig. Mehr dazu wie gesagt im Artikel. Definition 1.1: (Folgefehler) Ein Schiefkörper ist per Definition ein nichttrivialer Ring, in dem jedes Element $\neq 0$ invertierbar ist. In Kerstens Buch ist die Definition so formuliert, dass auch der Nullring ein Schiefkörper wäre. Das ist falsch. Bemerkung 1.1: (Folgefehler) Für eine nichttriviale $K$-Algebra $A$ ist $K \to A$, $\lambda \mapsto \lambda \cdot 1$ injektiv. Kersten behauptet, dass das für alle $K$-Algebren der Fall ist. Definition 1.4: Ein minimales Linksideal ist per Definition ein minimales Element in der partiell geordneten Menge der Linksideale $\neq 0$. Im Kerstens Buch ist die Definition so formuliert, dass auch das Nullideal ein minimales Linksideal wäre. Definition 1.6: (Folgefehler) Ein Ring heißt einfach, wenn er genau zwei Ideale hat. Insbesondere ist der triviale Ring nicht einfach (vgl. https://ncatlab.org/nlab/show/too+simple+to+be+simple ). In Kerstens Buch ist die Definition so formuliert, dass auch der triviale Ring einfach wäre.


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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

\quoteon(2022-05-08 00:32 - Triceratops in Beitrag No. 5) Wenn dein Beweis Fragezeichen beinhaltet, ist er unvollständig. Deine Aufgabe ist es ja, die Lücken zu füllen. Grundlagen über Tensorprodukte findest du (wie schon im anderen Thread erwähnt) in https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf aber das Skript von Kersten sollte auch alles bereit gestellt haben. PS @Moderatoren: Irgendjemand hat dieses Thema nach "algebraische Geometrie" eingeordnet. Es hat damit aber nichts zu tun. \quoteoff Danke, hab es mittlerweile hinbekommen. \quoteon(2022-05-08 22:31 - Triceratops in Beitrag No. 6) Das hat jetzt nicht direkt etwas mit der Frage zu tun, aber weil du das Buch von Kersten liest: Ich habe die Definitionen im Buch kurz überflogen und habe ein paar Fehler hinsichtlich der Null gefunden (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906). Vereinbarungen 0.1: Es wird hier gesagt, dass jeder Ring $0 \neq 1$ erfüllt. Das ist falsch in dem Sinne, dass es nicht zur üblichen Definition des Begriffes "Ring" passt. Und selbst wenn man sich nur für nichttriviale Ringe interessiert (klar, der triviale Ring ist langweilig), bringt es technische Nachteile mit sich, diese Restriktion zu machen. Zum Beispiel ist die Annahme $V \neq 0$ in Konstruktion 1.3 überhaupt nicht nötig. Mehr dazu wie gesagt im Artikel. Definition 1.1: (Folgefehler) Ein Schiefkörper ist per Definition ein nichttrivialer Ring, in dem jedes Element $\neq 0$ invertierbar ist. In Kerstens Buch ist die Definition so formuliert, dass auch der Nullring ein Schiefkörper wäre. Das ist falsch. Bemerkung 1.1: (Folgefehler) Für eine nichttriviale $K$-Algebra $A$ ist $K \to A$, $\lambda \mapsto \lambda \cdot 1$ injektiv. Kersten behauptet, dass das für alle $K$-Algebren der Fall ist. Definition 1.4: Ein minimales Linksideal ist per Definition ein minimales Element in der partiell geordneten Menge der Linksideale $\neq 0$. Im Kerstens Buch ist die Definition so formuliert, dass auch das Nullideal ein minimales Linksideal wäre. Definition 1.6: (Folgefehler) Ein Ring heißt einfach, wenn er genau zwei Ideale hat. Insbesondere ist der triviale Ring nicht einfach (vgl. https://ncatlab.org/nlab/show/too+simple+to+be+simple ). In Kerstens Buch ist die Definition so formuliert, dass auch der triviale Ring einfach wäre. \quoteoff Auch danke dafür, ist gut zu wissen!


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