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 Integrationsgrenzen vertauschen mehrdimensional |
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marathon
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 |  Themenstart: 2022-05-08
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hallo hier leider noch einmal eine wichtige Anfrage habe mich selber angeboten Hilfestellung zu leisten
hier zuerst die Aufgabe als Bildelement
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_matroid_integral_anfrage_1.PNG
habe die Rechnungen hier als Bildelemente eingefügt die entscheidende Frage
warum kommt bei mir beim vertauschen der integrationsgrenzen nicht das gleiche
Ergebnis
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_matroid_integral_anfrage_1.PNG
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_matroid_integral_anfrage_rechnung.PNG
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_matroid_integral_anfrage_rechnung_3.PNG
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_matroid_integral_anfrage_rechnung_4.PNG
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_matroid_integral_anfrage_rechnung_5.PNG
wie immer 10000 Dank im Voraus euer markus
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Caban
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-08
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Hallo
Du musst das Gebiet erst einmal skizzieren. Ein einfaches Tauschen geht hier nicht. Bei der Umkehrung der Reihenfolge brauchst du mindestens zwei Integrale.
Gruß Caban
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marathon
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-08
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würden die Berechnungen denn soweit stimmen einmal mit den
186,7 für dxdy und für dydx=400-3y^2-80y
bis dahin danke sehr
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Diophant
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-08
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Hallo marathon,
\quoteon(2022-05-08 21:31 - marathon in Beitrag No. 2)
würden die Berechnungen denn soweit stimmen einmal mit den
186,7 für dxdy
\quoteoff
Das stimmt.
\quoteon(2022-05-08 21:31 - marathon in Beitrag No. 2)
und für dydx=400-3y^2-80y
bis dahin danke sehr
\quoteoff
Da müsste ja das gleiche herauskommen.
Zeichne wie gesagt das Integrationsgebiet, ein Trapez, einmal in ein xy-Koordinatensystem. Ich habe diese andere Reihenfolge bisher nur realisiert bekommen, indem ich das Gebiet in drei Teile aufgeteilt und jeden für sich integriert habe.
Vielleicht findet ja noch jemand einen einfacheren Weg?
Gruß, Diophant
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Caban
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-09
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Hallo
Es müssten 2 Gebiete reichen. Ein großes Dreieck - ein kleines Dreieck.
Gruß Caban
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Squire
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-09
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@Caban: ja, so geht es auch :-)
Hätte ich auch nicht gleich gesehen.
Grüße Squire
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marathon
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-10
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kann mir dies mit dem Trapez und dem Dreieck vielleicht etwas näher erklären stehe da zugegebener Weise ziemlich auf dem Schlauch.
vielleicht dies wäre super super so simlifizieren ,dass ich es noch fassen kann. Danke sehr...
markus
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo marathon,
\quoteon(2022-05-10 22:30 - marathon in Beitrag No. 6)
kann mir dies mit dem Trapez und dem Dreieck vielleicht etwas näher erklären stehe da zugegebener Weise ziemlich auf dem Schlauch.
vielleicht dies wäre super super so simlifizieren ,dass ich es noch fassen kann. Danke sehr...
\quoteoff
Das ist in meinen Augen ein völlig unrealistischer Wunsch im Rahmen eines solchen Forums. Da wäre ein zielführender Rat, dass du dir ein Lehrbuch zur Hand nimmst und die Grundlagen der mehrdimensionalen Integration soweit selbst studierst.
Bei einem solchen Doppelintegral wie oben lässt sich die Funktion, die integriert wird, als Fläche im dreidimensionalen Koordinatensystem auffassen. Es geht also um eine Funktion \(z(x,y)=x\cdot y\), die in einem xyz-Koordinatensystem eine Fläche beschreibt.
Die Integrationsgrenzen beschreiben dabei eine Fläche in der xy-Ebene (man sagt: ein Gebiet). Und da bist du ja bisher nicht darauf eingegangen, dir dieses Gebiet anhand des ersten Integrals einmal klar zu machen.
Hat man bei beiden Integralen nur Zahlen als Schranken, dann ist es einfach: dann ist das Gebiet, über das integriert wird, ein achsenparalleles Rechteck.
Ist das Gebiet aber komplizierter, dann müssen beim inneren Intragal an Stelle der Zahlen Funktionen als Schranken treten, welche die jeweilige Berandung beschreiben. Oder man muss zu noch komplizierteren (Mengen-)Schreibweisen greifen.
Das alles solltest du wie gesagt selbst einmal gründlich studieren, bevor du dich mit solchen Aufgaben befasst.
Übrigens: das obige Integral kann man als Volumen auffassen. Und zwar als Volumen einer senkrechten Säule über dem Integrationsgebiet, die nach oben durch die Funktion bzw. durch die Fläche, die durch die Funktion beschrieben wird, begrenzt ist.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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marathon
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-11
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also um eine Fläche in einem Raum bei dem Normalen Integral geht es ja
um eine Fläche in einer Gesamtfläche bei einem dreifachen Integral geht es dann wohl um ein durch die Funktion definiertes Volumen in einem durch die Achsen x y z definierten Gesamtvolumen---- das kann ich soweit nachvollziehen soweit...
Nun bitte nicht böse sein wenn ich springe eine der Aufgaben bestand ja darin die Funktion zu zeichnen habe im repetitorium gelesen dass man hier besser statt mit der Punkt Methode über die Höhenlinien bzw die Schnitte
mit der x-z und y-z ebene gehen sollte aber wie sieht dies in meinem Fall dann genau aus..
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_Unbenannt.GIF
10000 Dank für den Support
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-11
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Hallo marathon,
starte bitte für eine neue Aufgabe auch einen neuen Thread. Und dann bitte mit einer abgetippten Aufgabenstellung (das auf dem Bild kann man nicht entziffern) sowie mit deinen konkreten Fragen dazu.
Falls das doch zu der Funktion aus dem Themenstart gehören soll: was möchtest du eigentlich wissen?
Gruß, Diophant
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marathon
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-13
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ja hallo ich versuchte doch auch noch die Funktion grafisch dazustellen
die Punktvariante scheint aber zu umständlich das oragbefarbige Repetitorium empfilt bespielhaft für die Funktion
f(x,y)= \
y/(1+x^2)
folgendes siehe Bildelement
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_an_Matroid_zeichnung_2_repetitorium.GIF
bei meiner Funktion mit f(x,y)=x*y habe ich nun als Höhenlinen eine Art Hyperpelschar aber danach bei den Abbildungen 2 und 3 analog dem Repetitorium fühle ich sehr starke Unsicherheit und wie setze ich die einzelnen teilmodule wieder zu einem Gesamtbild zusammen
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_an_Matroid_zeichnung.GIF
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_an_Matroid_zeichnung_2.GIF
und bitte auch wenn es sehr nervig rüberkommt wie kann ich mir die mit dem
großen und kleinen Dreieck vorstellen. aber Impulse zu der Zeichnungsmethode wären mir wichtiger.danke euer Markus
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Diophant
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-05-13
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo marathon,
die Bilder werden durch mehrmaliges Einfügen in ihrer Qualität auch nicht besser.
Die Höhenlinien in der xy-Ebene müssen Hyperbeln sein, das siehst du völlig richtig.
Die beiden anderen Schnitte ergeben jeweils Ursprungsgeraden, das ist ebenfalls richtig.
Beides kann man mit der Funktionsgleichung unmittelbar begründen:
\[\ba
z&=x\cdot y\\
\\
i).\ z=c&:\\
c&=x\cdot y\quad\Leftrightarrow\quad y=\frac{c}{x}\quad\text{(Hyperbelschar)}\\
\\
ii).\ y=c&:\\
z&=c\cdot x\quad\text{(Geradenbüschel durch den Ursprung)}\\
\\
iii).\ x=c&:\\
&\text{Geht analog zu ii).}
\ea\]
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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marathon
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-13
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ja und nun hic rhodus hic salta wie setze ich dies drei Komponenten zusammen
damit zumindest ein annähernd ähnliches Bild wie bei geo gebra erscheint
wäre auch noch die weitere Frage auf welche Eben die durch die Achsen gegeben sind bezieht sich das jeweilige hyperbelschar bze die beiden Geradenbüschel.
die x1-x2 Ebene die x2-x3 ebene oder die x2-x3 Ebene
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_die_ebenen.GIF
danke für die Geduld mit mir.
mfg markus
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Diophant
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| Beitrag No.13, eingetragen 2022-05-13
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Hallo marathon,
mit Verlaub: wir sind hier ein Mathe- und kein Kunstforum.
Die Darstellung mit den Höhenlinien und den senkrechten Schnitten ist eine alternative Möglichkeit, eine solche Funktion zu visualisieren. Du solltest da einmal ein wenig von der schulmathematischen Denke wegkommen, wonach es sich bei einer solchen Visualisierung stets um eine Abbildung des Funktionsgraphen handeln muss (bei vielen Funktionen ist das gar nicht möglich, man denke etwa an komplexwertige Funktionen). Insbesondere hilft dir diese Alternative nicht wirklich dabei, den Graphen irgendwie räumlich darzustellen. Das solltest du in einem Forum für Malerei nachfragen, sofern es so etwas gibt. Oder dich mit den (herausragenden) Möglichkeiten von GeoGebra zufrieden geben. Eine Alternative wäre das Programm GnuPlot (sofern man es beherrscht). Das Numerikprogramm Octave käme ebenfalls infrage (das nutzt GnuPlot, soweit ich weiß).
Und was das alles mit dem Anliegen dieses Threads zu tun haben soll, hast du uns auch nicht verraten. Irgendwelche Aufschlüsse darüber, wie hier das Integrationsgebiet aussieht, bekommst du so auch nicht.
Wenn du also mit der Integration, die hier in diesem Thread das Thema ist, nicht mehr weitermachen möchtest, dann schlage ich vor, diesen Thread abzuschließen.
Gruß, Diophant
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marathon
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-22
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hallo wie es heißt sollte ich hier ja die Integrationsgrenzen vertauschen
nochmal als Bildelement die Aufgabenstellung
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_integrationgrenzen_vertauschen.GIF
hier war die zweite Art der Berechnung offensichtlich falsch da der Dozent in Rot geschrieben folgendes fordert.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_integrationgrenzen_vertauschen_grenzen_Dozent.GIF
hier auch auf dem planeten die zu dieser Aufgabe passen könnte dabei wurden wahrscheinlich analog zu der hier vorliegenden Aufgabe nicht nur die Integrationsreihenfolge sondern auch die Integrationsgrenzen verändert
siehe Bildelement
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_integrationsreihenfolge_new_bild.GIF heißt dies nun das ganze nach diesen Grenzen zu integrienen aber wie kommt man auf diese
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Diophant
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| Beitrag No.15, eingetragen 2022-05-22
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Hallo marathon,
vorneweg: das Beispiel aus dem vorigen Beitrag taugt hier nur sehr bedingt zum Verständnis. Dort ist das Integrationsgebiet ein (rechtwinkliges) Dreieck, da geht das noch relativ einfach.
Hier haben wir ein trapezförmiges Gebiet, und ich kann nur meinen Vorschlag wiederholen (den ich hier nicht zum ersten mal mache): beginne damit, dir das Integrationsgebiet (anhand einer Zeichnung!) klarzumachen.
Dann musst du dir in Erinnerung rufen, was bei einer bestimmten Integration im eindimensionalen Fall passiert. Welche Bedeutung hat das Differential und welche Bedeutung haben hier die Schranken?
Wenn du hier zuerst nach x und dann nach y integrierst, dann sind die Schranken ja vorgegeben. Hier könntest du versuchen dir klarzumachen, was es mit den Schranken des inneren Integrals geometrisch für eine Bewandtnis hat. Aber dazu benötigst du eben die vorgeschlagene Skizze des Integrationsgebiets.
Wenn du dir das klargemacht hast, dann müsste dir eigentlich auch unmittelbar klar werden, warum es bei der anderen Reihenfolge in diesem Fall nicht so einfach geht. Die Lösung deines Profs ist übrigens exakt die, von der ich in Beitrag #3 gesprochen hatte.
Der andere Weg von Caban und Squire ist gedanklich etwas anspruchsvoller, spart aber eine Integration ein. Ich würde jedoch vorschlagen, wir konzentrieren uns auf die Lösung mit den drei Teilgebieten.
Aber ich sage es ehrlich: da musst du in Sachen Verständnis zunächst einmal deine Hausaufgaben (gründlich) erledigen.
Gruß, Diophant
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