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Analysis » Folgen und Reihen » Beweis, dass diese komplexwertige Partialsumme immer ungleich 0 ist.
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Universität/Hochschule J Beweis, dass diese komplexwertige Partialsumme immer ungleich 0 ist.
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  Themenstart: 2022-05-09

Ich möchte zeigen, dass es für alle $R>0$ ein $N$ gibt, so dass $$\sum_{n=0}^N \frac{z^n}{n!}\neq 0~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$ für alle $|z|0$ fest und definieren $\Omega=\{|z|


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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

Ja diese Version haben wir auch aber wir haben auch folgende: Sei $\Omega \subset \Bbb{C}$ offen und zusammenhängend. Sei $f_n:\Omega \rightarrow \Bbb{C}$ eine Folge analytischer Funktionen auf $\Omega$ mit $f_n(z)\neq 0$ für alle $z\in \Omega$ und alle $n$. Falls $f_n$ uniform gegen $f$ konvergiert auf allen kompakten Mengen $K\subset \Omega$ dann gilt $f(z)\neq 0$ für alle $z\in \Omega$ oder $f(z)=0$ für alle $z\in \Omega$. Wenn ich diese Version benütze, funktioniert es dann oder muss ich wirklich die andere verwenden?


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

Hallo Nico Also wen du schreibst alternative, bedeuted das, dass mein Weg so stimmt wenn ich die oben genannte Versuon von Hurwitz verwende oder hast du mir die Alternative gegeben, da mein Weg falsch isch? Grüsse Strandkorb


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-09

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Dass deine $f_N$ auf jeder kompakten Teilmenge gleichmäßig gegen $\exp$ konvergieren folgt aus der bekannten Aussage, dass eine Potenzreihe auf ihrem Konvergenzbereich normal konvergent (insbesondere kompakt konvergent) ist. Wieso aber erfüllen deine $f_N$ die Voraussetzungen des von dir zitierten Satzes? LG Nico Anmerkung: Ich hatte hier vorschnell eine Alternative angeboten, die überhaupt keinen Sinn ergibt. Entschuldigung. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

Ich meine $f_N$ ist analytisch und es gilt $f_N= 1+z+z^2/2!+…$ also hätte ich gesagt ist die Folge ungleich Null und erfüllt die Anforderungen oder habe ich etwas pbersehen?


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-09

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Es ist $f_1(z)=1+z$ und somit $f_1(-1)=0$. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

Oh mist, ja das habe ich übersehen, dann wird diese Version von Hurwitz nicht funktionnieren. Aber vielleicht deine? Oder sollte man das nicht mir Hurwitz lösen (wenn deine funktionniert schaue ich sie mir morgen an)


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-09

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ich verstehe nicht so ganz, was du dir von Hurwitz erwünscht, was dir nicht die lokal gleichmäßige Konvergenz liefert. Sei $R>0$ fixiert. Dann ist $K:=\lbrace |z|\leq R\rbrace$ kompakt und folglich existiert $$ m:=\min_{w\in K} |\exp(w)|>0. $$ Da $(f_n)_n$ auf $K$ gleichmäßig gegen $\exp$ konvergiert, gibt es ein $N\in \mathbb N$ derart, dass $$ |f_n(z)-\exp(z)|< m $$ für alle $z\in K$ und $n\geq N$ gilt. Es folgt $$ ||f_n(z)|-|\exp(z)||\leq |f_n(z)-\exp(z)|\(\endgroup\)


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

Aber kann die Aussage so überhaupt stimmen, denn ich meine für $R$ klein genug finde ich kein $N$ so dass $f_N(0)\neq 0$ gilt [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-09

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-05-09 00:35 - Strandkorb in Beitrag No. 8) Aber kann die Aussage so überhaupt stimmen, denn ich meine für $R$ klein genug finde ich kein $N$ so dass $f_N(0)\neq 0$ gilt [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.] \quoteoff Es ist doch $f_N(0)=1$ für jedes $N\in \mathbb N$. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

Ah ja sorry ist zu spät für mich. Ich schaue mir das Ganze morgen an. Vielen Dank


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