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Kein bestimmter Bereich Die Mächtigkeit von Computerbeweisen
Roulette
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  Themenstart: 2022-05-09

Moin, bei den Diskussionen der letzten Zeit ist mir eine Sache klargeworden: nicht nur die Physik, sondern auch die Mathematik muss sich dem Prinzip des "Experiments" stellen. Wenn eine - wie auch immer kompliziert - hergeleitete Formel als Ergebnis etwas anderes erbringt als eine korrekt programmierte Computersimulation, dann ist diese Formel - falsch. Genau wie jede physikalische Theorie, die durch ein Experiment widerlegt wird. Interessant... Schönen Gruß Roulette


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thureduehrsen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-09

Das ist mir zu scherenschnittartig argumentiert. Wenn du prüfen kannst, ob eine Simulation korrekt programmiert ist, was hindert dich dann daran, die Korrektheit der Herleitung der simulierten Formel zu prüfen, ohne Computereinsatz? mfg thureduehrsen


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Roulette
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

\quoteon(2022-05-09 19:45 - thureduehrsen in Beitrag No. 1) Das ist mir zu scherenschnittartig argumentiert. Wenn du prüfen kannst, ob eine Simulation korrekt programmiert ist, was hindert dich dann daran, die Korrektheit der Herleitung der simulierten Formel zu prüfen, ohne Computereinsatz? \quoteoff Das kannst Du selbstverständlich. Den letzten Beweis, dass das Ergebnis richtig ist, kann aber die Theorie (Mathematik) nicht erbringen. Nur die Praxis (Rechnung/Simulation usw.). Man könnte ja auch ein Lemma angewandt haben, das vielleicht in manchen Fällen versagt. Gruß, Roulette


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Roulette
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

Allerdings hat man das Problem, dass auch die Simulation falsch sein kann. Oder vielmehr: dass nicht BEWIESEN werden kann, dass sie 100% korrekt arbeitet...(?)


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thureduehrsen
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-09

\quoteon(2022-05-09 20:16 - Roulette in Beitrag No. 2) Man könnte ja auch ein Lemma angewandt haben, das vielleicht in manchen Fällen versagt. \quoteoff Dann ist das Lemma falsch formuliert und du solltest von vorn anfangen. \quoteon(2022-05-09 20:32 - Roulette in Beitrag No. 3) Allerdings hat man das Problem, dass auch die Simulation falsch sein kann. Oder vielmehr: dass nicht BEWIESEN werden kann, dass sie 100% korrekt arbeitet...(?) \quoteoff Im Themenstart gehst du aber von einer korrekt programmierten Simulation aus. mfg thureduehrsen [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Roulette
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

\quoteon(2022-05-09 20:35 - thureduehrsen in Beitrag No. 4) Im Themenstart gehst du aber von einer korrekt programmierten Simulation aus. \quoteoff Nur: wie kann ich eigentlich 100%-ig sicherstellen, DASS sie korrekt programmiert ist? Oder dass IRGENDWAS 100% korrekt ist? Absolute Sicherheit dafür kann es eigentlich nicht geben. Nur eine (meinethalben enorm) hohe Wahrscheinlichkeit. "Mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit", sozusagen...


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Delastelle
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-10

Hallo, Eine Simulation wird korrekt sein, wenn man für das Programm die Korrektheit gezeigt hat. (Weakest Precoditon und Schleifeninvarianten etc.) Es kann auch passieren, dass eine Aussage nicht beweisbar ist. Für ein Integral kann es auch keine Stammfunktion geben - nur numerische Ansätze... Viele Grüße Ronald


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lula
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-10

Hallo Ich verstehe die Diskussion nicht. Eine "hergeleitete" Formel ist doch wohl eine bewiesene Formel? Was daran soll dann eine Computersimulation tun? Wenn man etwa bei einem bestimmten Integral einfach falsch rechnet, kann eine numerische Integration den Fehler feststellen, dann hat man einen Fehler ind der "Herleitung" gemacht. Ohne Herleitung einer Fehlerabschätzung, einem Beweis der Konvergenz einer Simulation sagt aber auch die Simulation nicht.s, denn wie anders als mit echter Mathe kann man die "Simulation" als richtig zeigen? Mathematische Beweise sind aber nicht "wahrscheinlich " sondern richtig (oder fehlerhaft und damit falsch) Dazu kommt dass Komputer nicht mit reellen Zahlen rechnen können, so dass man was damit zusammenhängt nicht simulieren kann. lula


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Dixon
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-11

\quoteon(2022-05-09 19:40 - Roulette im Themenstart) Moin, bei den Diskussionen der letzten Zeit ist mir eine Sache klargeworden: nicht nur die Physik, sondern auch die Mathematik muss sich dem Prinzip des "Experiments" stellen. Wenn eine - wie auch immer kompliziert - hergeleitete Formel als Ergebnis etwas anderes erbringt als eine korrekt programmierte Computersimulation, dann ist diese Formel - falsch. Genau wie jede physikalische Theorie, die durch ein Experiment widerlegt wird. \quoteoff Unsinn. Dazu müßte es perfekte Programme geben, die perfekte Simulationen machen. Die Probleme beginnen bei falsch konstruierten Chips (erinnert sich noch jemand an den falsch rechnenden Pentium?), geht über irgendwelche Störungen, die auf den Rechner einwirken (will man alles mit weltraumtauglicher Technik rechnen?) und endet beim großen Klotz Programmierer. Das sind Menschen, und Menschen machen Fehler. Und es kann dauern, bis ein Fehler bemerkt wird. Den Luxus des Experiments hat die Physik, die Mathematik nicht... Grüße Dixon


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tactac
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-13

\quoteon(2022-05-09 19:40 - Roulette im Themenstart) Wenn eine - wie auch immer kompliziert - hergeleitete Formel als Ergebnis etwas anderes erbringt als eine korrekt programmierte Computersimulation, dann ist diese Formel - falsch. \quoteoff Ein Programm ist auch nur 'ne Formel, nur eben 'ne große. Und sie kann ggf. auch hergeleitet worden sein. (Klar, in der Praxis wird heutzutage noch ein Programm in der Regel eher geraten. 😄 Aber es muss nicht prinzipiell so bleiben.)


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Roulette
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-11 00:08 - Dixon in Beitrag No. 8) Den Luxus des Experiments hat die Physik, die Mathematik nicht \quoteoff Nein. Dann hast Du zwei Dinge nicht verstanden: a) Für die Physik ist das Experiment keineswegs "Luxus", sondern unverzichtbare Grundlage. b) Die Mathematik wäre wertlos, wenn sie nicht durch das "Experiment" in der Praxis immer wieder bestätigt würde. Und sie wird täglich, nein, genauer: sekündlich, überprüft und durch "Experimente" verifiziert. Hauptsächlich durch Zigmillionen Rechner und Computerchips, die ständig damit arbeiten = rechnen. Wäre die Mathematik "falsch", würden wir das exorbitant schnell bemerken an den Auswirkungen in der Welt, die das hätte (z.B. Kontostände, Satelliten im Orbit, am eigenen Computer, usw.). Die Mathematik ist nichts weiter als eines der Hilfsmittel, die sich der Mensch geschaffen hat, um die Realität besser in den Griff kriegen zu können. Und sei es nur, um vorherzusagen, wie lange ich bei Geschwindigkeit X bis zu Ziel Y bei Entfernung Z unterwegs bin... Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Geschichte_der_Mathematik \quoteon(2022-05-11 00:08 - Dixon in Beitrag No. 8) Dazu müßte es perfekte Programme geben, die perfekte Simulationen machen. Die Probleme beginnen bei falsch konstruierten Chips (erinnert sich noch jemand an den falsch rechnenden Pentium?), geht über irgendwelche Störungen, die auf den Rechner einwirken (will man alles mit weltraumtauglicher Technik rechnen?) \quoteoff Du kannst mir glauben: die heutigen Chips, die rechnen schon richtig. Das Gegenteil würde man auch schon sehr schnell feststellen. Und auch die in meiner Bastelkiste tun das - sonst würden meine Modelleisenbahn-Züge wohl kaum immer millimetergenau am gewünschten Punkt des Bahnsteigs anhalten... 😃 \quoteon(2022-05-11 00:08 - Dixon in Beitrag No. 8) und endet beim großen Klotz Programmierer. Das sind Menschen, und Menschen machen Fehler. Und es kann dauern, bis ein Fehler bemerkt wird. \quoteoff Ich hab' mir sagen lassen: Mathematiker sind auch Menschen. Und machen Fehler. Und es hat manchmal schon länger gedauert, bis ein Fehler in der Mathematik bemerkt worden ist... 😉


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thureduehrsen
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-05-15

Hallo Roulette, \quoteon(2022-05-15 17:44 - Roulette in Beitrag No. 10) Du kannst mir glauben: die heutigen Chips, die rechnen schon richtig. \quoteoff Kannst du das beweisen? Siehe auch: Proof by assertion Zielscheibenfehler Therac-25 mfg thureduehrsen


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-15 17:44 - Roulette in Beitrag No. 10) b) Die Mathematik wäre wertlos, wenn sie nicht durch das "Experiment" in der Praxis immer wieder bestätigt würde. \quoteoff Mit Verlaub: aber das ist Unsinn. Die Mathematik ist ja genau diejenige Wissenschaft, die in der Lage ist, vollkommen abseits der Realität Aussagen über rein abstrakte Begriffe zu machen. Oder wie würden denn diese "Experimente in der Praxis" bspw. für dieses Lemma oder diesen Satz aussehen? \quoteon(2022-05-15 17:44 - Roulette in Beitrag No. 10) Die Mathematik ist nichts weiter als eines der Hilfsmittel, die sich der Mensch geschaffen hat, um die Realität besser in den Griff kriegen zu können. \quoteoff Damit wären die Namensgeber der Mathematik aber sicherlich nicht einverstanden. μάθημα, in unserer Schrift mathema, die "Kunst des Lernens", so nannte man diese Wissenschaft im antiken Griechenland und zählte sie zu den sieben freien Künsten. Die Mathematik ist in Wirklichkeit das mächtigste Erkenntniswerkzeug, über das wir verfügen. Und das schließt dann auch ganz nebenbei mit ein, dass sie sich prima auf die Realität anwenden lässt. Wie gut (oder schlecht) diese Anwendbarkeit im Einzelfall aussieht, sagt dabei aber über die eigentliche Mathematik rein gar nichts aus, sondern höchstens über den Anwender... Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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Roulette
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-15 18:04 - thureduehrsen in Beitrag No. 11) Kannst du das beweisen? \quoteoff Die Erfahrungswerte zeigen das: kein Handy und kein Computer würde vernünftig funktionieren, kein Router, keine Mikrowelle, kein Akkurasierer usw. Die Zuverlässigkeit der Chip-Hardware heutzutage ist schon sehr sehr hoch. Das gilt auch für Software, würde ich sagen. Die seltenen "grossen Fehler", die hier z.T. angeführt werden, zeigen eher das Sprichwort "die Ausnahme bestätigt die Regel". Ausserdem durchlaufen Chips und Software ja auch Modultests, Systemtests etc.


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Diophant
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-05-15

@Roulette: die sachlich essentiellen Einwände gegen deine "Thesen" ignorierst du ja wirklich hartnäckig: \quoteon(2022-05-10 12:08 - lula in Beitrag No. 7) Dazu kommt dass Komputer nicht mit reellen Zahlen rechnen können, so dass man was damit zusammenhängt nicht simulieren kann. \quoteoff Dazu kam bisher von dir überhaupt nichts... Gruß, Diophant


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thureduehrsen
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-15 18:29 - Roulette in Beitrag No. 13) Die seltenen "grossen Fehler", die hier z.T. angeführt werden, zeigen eher das Sprichwort "die Ausnahme bestätigt die Regel". \quoteoff Deine Argumentation zerläuft dir unter den Fingern. Siehe auch: Red Herring (Rhetorik) mfg thureduehrsen [Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]


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Roulette
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-15 18:04 - Diophant in Beitrag No. 12)Die Mathematik ist ja genau diejenige Wissenschaft, die in der Lage ist, vollkommen abseits der Realität Aussagen über rein abstrakte Begriffe zu machen. \quoteoff Die Frage wäre aber dann: welchen - praktischen - Nutzen haben dann eigentlich solche Aussagen und Sätze (diese Frage muss sich ja jede wissenschaftliche Beschäftigung, die Zeit und damit Geld kostet, gefallen lassen) \quoteon(2022-05-15 18:04 - Diophant in Beitrag No. 12) Die Mathematik ist in Wirklichkeit das mächtigste Erkenntniswerkzeug, über das wir verfügen. \quoteoff Obacht, mit solchen Aussagen wäre ich vorsichtig - eine ganze Reihe von anderen Wissenschaften ist ebenfalls äusserst nützlich bis hin zu unverzichtbar geworden für unsere Welt. Einzig die Kunst würde mir einfallen als Wissenschaft ohne unmittelbaren praktischen Nutzen. Deren Nutzen besteht aber darin, dem menschlichen Leben ein nicht unerhebliches Mehr an "Genuß" zu verschaffen (aber dabei hängt es tatsächlich ein wenig vom Einzelnen ab, inwieweit er Kunst verstehen, durchdringen, und geniessen kann, z.B. klassische Musik, Architektur, Malerei, ...) \quoteon(2022-05-15 18:04 - Diophant in Beitrag No. 12) Und das schließt dann auch ganz nebenbei mit ein, dass sie sich prima auf die Realität anwenden lässt. \quoteoff Ich finde, man kann das wirklich nicht als "zufälligen Seiteneffekt" betrachten. Die Wurzeln der Mathematik liegen in der Lösung relativ einfacher praktischer Aufgaben. Heute sind diese Aufgaben komplizierter geworden (Integrale, Differenziale, Exponential- und Logarithmusfunktionen, trigonometrische und hyperbolische Funktionen, und dergleichen), und Mikroprozessoren erledigen diese Aufgaben mit extremer Geschwindigkeit - aber im Prinzip gilt das immer noch... Die Frage wäre, wie gesagt: welchen Nutzen haben alle Dinge der Mathematik, die eben über eine praktische Anwendbarkeit hinausgehen und reine Theorie bleiben? Ausser demjenigen, interessierten Menschen Gedankenfutter und Gedankennahrung zu verschaffen (ist ja auch nichts Schlechtes!) [Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]


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Roulette
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-15 18:33 - Diophant in Beitrag No. 14) @Roulette: die sachlich essentiellen Einwände gegen deine "Thesen" ignorierst du ja wirklich hartnäckig: \quoteon(2022-05-10 12:08 - lula in Beitrag No. 7) Dazu kommt dass Komputer nicht mit reellen Zahlen rechnen können, so dass man was damit zusammenhängt nicht simulieren kann. \quoteoff Dazu kam bisher von dir überhaupt nichts... Gruß, Diophant \quoteoff Die Rechengenauigkeit heutiger Mikroprozessoren ist extrem hoch (double etc.) und mehr als ausreichend \quoteon(2022-05-15 18:38 - thureduehrsen in Beitrag No. 15) \quoteon(2022-05-15 18:29 - Roulette in Beitrag No. 13) Die seltenen "grossen Fehler", die hier z.T. angeführt werden, zeigen eher das Sprichwort "die Ausnahme bestätigt die Regel". \quoteoff Deine Argumentation zerläuft dir unter den Fingern. Siehe auch: Red Herring (Rhetorik) mfg thureduehrsen [Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.] \quoteoff Rhetorik - und auch die Unterstellung einer solchen ist gern gemachte "Rhetorik" - sollten wir aus unseren Diskussionen herauslassen.


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Diophant
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-15 18:50 - Roulette in Beitrag No. 16) Die Frage wäre, wie gesagt: welchen Nutzen haben alle Dinge der Mathematik, die eben über eine praktische Anwendbarkeit hinausgehen und reine Theorie bleiben? \quoteoff Die Mathematik fragt nicht danach, welchen Nutzen sie hat. Das hat sie übrigens mit (wirklicher) Kunst auch heute noch gemeinsam. Es gab mal vor Jahren ein absolut grauenhaftes Buch eines bedeutungslosen Schriftstellers namens Kehlmann. Den Titel muss ich hier hoffentlich nicht erwähnen. Das einzig lobenswerte an diesem Machwerk war seine Grundidee: die Biografien zweier Wissenschaftler nebeneinander zu stellen, die - durch ausgiebige Forschungsreisen die äußere Welt (Alexander von Humboldt) - durch sein Genie und seine Vielseitigkeit die (innere) Welt des Denkbaren (Carl Friedrich Gauß) "vermessen" haben. Nicht dass ich dir empfehlen würde, das erwähnte Buch zu lesen (das wäre m.A. nach reine Zeitverschwendung). Aber über den Unterschied könntest du einmal nachdenken. Ganz ehrlich: du verstehst von der Mathematik zu wenig bzw. du kennst zu wenig Mathematik, um dir solche Urteile wie oben erlauben zu können. Und auf lulas' sehr gewichtiges Argument aus Beitrag #7 bist du nach wie vor nicht eingegangen... \quoteon(2022-05-15 18:55 - Roulette in Beitrag No. 17) Die Rechengenauigkeit heutiger Mikroprozessoren ist extrem hoch (double etc.) und mehr als ausreichend \quoteoff Diese Argumentation würde noch nicht einmal für rationale Zahlen stimmen. Um mit reellen Zahlen rechnen zu können, müssten Computer zwingend Zahlen mit unendlich vielen Ziffern verarbeiten können und für eine einzige Rechnung unendlich viele Rechenoperationen ausführen. Das wird also aus ganz praktischen Gründen niemals geschehen. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]


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thureduehrsen
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-05-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Ich bin erstaunt ob deiner Penetranz. \quoteon(2022-05-15 18:55 - Roulette in Beitrag No. 17) Rhetorik - und auch die Unterstellung einer solchen ist gern gemachte "Rhetorik" - sollten wir aus unseren Diskussionen herauslassen. \quoteoff Arbeite bitte punktgenau heraus, was du sagen willst! \quoteon(2022-05-15 18:55 - Roulette in Beitrag No. 17) Die Rechengenauigkeit heutiger Mikroprozessoren ist extrem hoch (double etc.) und mehr als ausreichend \quoteoff Du hast keine Ahnung, wovon du sprichst. Oder etwas weniger provokant formuliert: plappere bitte nicht gedankenlos nach, was du irgendwo aufschnappst. Teschl und Teschl schreiben etwa in ihrem Buch Mathematik für Informatiker (Band 1, Springer Verlag, 2. Auflage 2006) auf S. 38:
In der Praxis muss man eine irrationale Zahl immer durch eine rationale Zahl approximieren. Zum Beispiel ist \(\pi\approx \frac{22}{7}\) eine gute Näherung, bei der der relative Fehler \[ \frac{22/7-\pi}{\pi} \] nur ca. 0.04% beträgt. Wie genau der Wert von \(\pi\) sein muss, hängt immer vom betrachteten Problem ab. Falls Sie mit \(\pi\approx \frac{22}{7}\) die benötigte Farbmenge für einen runden Tisch ausrechnen, geht das sicher in Ordnung. Verwenden Sie es aber zur Berechnung der Flugbahn einer Mondsonde, so ergibt ein relativer Fehler von 0.04% bei der Entfernung zum Mond von 384000 km einen Fehler von 155 km, und das könnte bedeuten, dass Ihre Sonde den Mond knapp, aber doch, verfehlt.
Diese Überlegungen auf die zwangsläufig endliche Rechengenauigkeit zu übertragen, denen Prozessoren unterliegen, ist eine hübsche Übungsaufgabe. mfg thureduehrsen [Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Roulette
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

\quoteon(2022-05-15 19:07 - Diophant in Beitrag No. 18) Die Mathematik fragt nicht danach, welchen Nutzen sie hat. \quoteoff ... und Du meinst, Du kannst für "die Mathematik" sprechen? Glaub' mir, die allermeisten, die Mathematiker für Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik bezahlen, wollen auch einen - monetär bezifferbaren - Nutzen dieser Arbeiten sehen. Das nennt sich Betriebswirtschaft. \quoteon(2022-05-15 19:07 - Diophant in Beitrag No. 18) Du verstehst von der Mathematik zu wenig bzw. du kennst zu wenig Mathematik, um dir solche Urteile wie oben erlauben zu können. \quoteoff Es kommt nicht darauf an, ob jemand Fieldspreisträger ist - in einer Diskussion zählen stets Argumente. Die man schlüssig widerlegen muss, wenn man mit irgendwas nicht einverstanden ist.


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Roulette
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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Das hier: \quoteon(2022-05-15 19:23 - thureduehrsen in Beitrag No. 19) Du hast keine Ahnung, wovon du sprichst. Oder etwas weniger provokant formuliert: plappere bitte nicht gedankenlos nach, was du irgendwo aufschnappst. \quoteoff trifft wohl eher auf Dich zu. Wieder mal so ein praxisfernes Beispiel: Raumsonde... hat sich derjenige, der sich dieses Beispiel ausgedacht hat, eigentlich mal mit der Praxis beschäftigt, oder haben wir hier (wieder) einen reinen Mathematiker? Ein Physiker würde (oder müsste) hier so einiges entgegenhalten... Ja, es gibt Beispiele dafür, wo eine hohe Rechengenauigkeit auch heute noch ziemlich sinnvoll ist. Dieses Beispiel ist es sicher nicht. Und auch dafür gibt's dann widerum Methoden in der Informatik. Genauigkeit in der Informatik ist auch immer eine Frage des Aufwand-Nutzen-Verhältnisses. Aber Vorschlag: lassen wir diese Diskussion, sonst geht das endlos weiter...


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thureduehrsen
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  Beitrag No.22, eingetragen 2022-05-20

Bleibe bitte sachlich und begründe deine Aussagen. Inwiefern etwa das Beispiel mit der Raumsonde weit hergeholt sein soll, entnehme ich deinen Ausführungen nirgends. Irre ich mich, oder wurdest du bereits von nzimme10 hier und mir hier darauf hingewiesen, dass Beiträge neben der inhaltlichen auch eine stilistische Ebene aufweisen? (Dies gilt im Übrigen sowohl für Zeitschriften- als auch für Forenbeiträge.) Mir dann eine Art Friedensangebot zu machen ("Aber Vorschlag: lassen wir diese Diskussion, sonst geht das endlos weiter..."), die nichts als eine unverhohlene Provokation darstellt, das ist über alle Maßen dreist. Du hast diesen Thread begonnen und wirfst den daran Beteiligten nun vor, die Diskussion sei müßig. Das ist schlechter Stil. mfg thureduehrsen


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Qing
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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-05-20

\quoteon(2022-05-20 20:22 - Roulette in Beitrag No. 20) \quoteon(2022-05-15 19:07 - Diophant in Beitrag No. 18) Die Mathematik fragt nicht danach, welchen Nutzen sie hat. \quoteoff ... und Du meinst, Du kannst für "die Mathematik" sprechen? Glaub' mir, die allermeisten, die Mathematiker für Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik bezahlen, wollen auch einen - monetär bezifferbaren - Nutzen dieser Arbeiten sehen. Das nennt sich Betriebswirtschaft. \quoteoff In seinem Essay "A Mathematician's Apology" versucht Hardy die Nützlichkeit der Mathematik in der modernen Welt einzuordnen. Wenn es dich interessiert, kannst du dir die kurze Lektüre ja mal ansehen. Ich habe das Buch hier vor kurzem Rezensiert. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/reviews.php?op=showcontent&id=788


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Ixx
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  Beitrag No.24, eingetragen 2022-05-20

Moin, eine kurze Bemerkung zum Startbeitrag: Eine Simulation kann per se nur endlich viele Fälle betrachten. Damit ist nie eine All-Aussage über eine unendliche Grundmenge nachprüfbar. Experimente haben in der Mathematik aber natürlich ihre Berechtigung. Erst durch Beobachtung können Vermutungen aufgestellt und dann bewiesen werden. Wenn Gauß auf ewig lange Primzahl-Tafeln starrt und so den Primzahlsatz vermutet (der später von u.a. Hadamard bewiesen wird), dann ist das genauso das Auswerten von "experimentell" gewonnenen Daten wie moderne "Computer-Experimente", mit denen man nun deutlich handlicher entsprechend mehr Datenmaterial erzeugen und so ein detailierteres Bild erzeugen kann. Die so gewonnenen Vermutungen müssen natürlich dennoch erst rigoros bewiesen werden, bevor sie als Theoreme anerkannt werden können. Ein "Computer-Beweis" ist aber im Allgemeinen auch keine Simulation, wie hier angedeutet wird, sondern durchaus selbst eine endliche (wenn auch ggf. lange) Fallunterscheidung (siehe etwa Beweis des 4-Farben-Satzes) oder tatsächlich "nur" eine Folge symbolischer Schlüsse, wie man sie auch mehr oder weniger per Hand durchführen würde. (Nur sind diese Computer-erzeugten Beweise m.W. derzeit noch nicht so lesbar wie Menschen-erzeugte, wohl aber durchaus beweisbar korrekt; sofern man nicht von zufälligen Hardware-Fehlern betroffen ist.) Ob man einen Beweis anerkennt, der von einem Computer erzeugt wurde, prinzipiell nachvollziehbar ist, aber aufgrund seiner Länge kaum in Wirklichkeit durch einzelne Personen tatsächlich nachvollzogen werden kann, ist eine philosophische Diskussion. Aber, ob man einen Beweis als korrekt anerkennt, hängt nicht unbedingt an der Mensch/Maschinen-Frage, wie man etwa aktuell bei Mozichukis "Beweis" der abc-Vermutung sieht, welcher nur von wenigen Mathematikern weltweit beurteilt werden kann; und diese kommen zu keinem einheitlichen Schluss dazu... Abschließend noch eine kurze Bemerkung zur (nicht) vorhandenen Nützlichkeit der Mathematik: Als Wissenschaft ist sie erst einmal "nur" daran interessiert, Wissen zu schaffen. Ob und wie diese anwendbar ist, ist erst einmal sekundär. Natürlich beschäftigen auch Unternehmen in ihren Forschungs- & Entwicklungs-Abteilungen Mathematiker und -- je nach Branche -- wird dort auch Mathematik betrieben. Dort geschieht dies tatsächlich anwendungsbezogen, da die jeweiligen Unternehmen ja Gewinne erwirtschaften wollen. Als Staat und Kultur-Nation leisten wir uns jedoch auch einen von diesem kurzfristigen Gewinndenken unabhängige Zugang zur Grundlagenforschung, deren mögliche Anwendungsgebiete derzeit noch gar nicht feststehen, aber in Jahrzehnten oder -hunderten dennoch entstehen können. Die so gewonnenen Erkenntnisse bringen die Gesamt-Gesellschaft weiter und deshalb ist es auch im Interesse der Gesamt-Gesellschaft, diese Grundlagenforschung zu finanzieren. (Wobei Drittmittel durchaus auch nach "Buzzwords" vergeben werden. Wer derzeit auf seinen Antrag "KI" draufschreibt, hat zumindest deutlich mehr und größere Fördertöpfe, um deren Gelder man sich bewerben kann...)


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Roulette
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@Ixx 👍 Irgendjemand sagte mal über Computerbeweise: „Ein guter Beweis liest sich wie ein Gedicht, dieser sieht aus wie ein Telefonbuch!“


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tactac
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Ich möchte mal daran erinnern, dass man Computer nicht nur dazu einsetzen kann, Dinge zu simulieren oder "Computerbeweise" zu generieren. Systeme wie Coq, Agda und Lean dienen dazu, es Menschen zu ermöglichen, praktisch wasserdichte Beweise (oder auch Programme anderer Art) zu schreiben. Würde Mochizuki sich daran wagen, seinen Kram entsprechend zu formalisieren, erübrigte sich (zumindest zu großen Teilen) ein manuelles Review durch die Community.


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DominikS
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  Beitrag No.27, eingetragen 2022-05-21

\quoteon Irgendjemand sagte mal über Computerbeweise: „Ein guter Beweis liest sich wie ein Gedicht, dieser sieht aus wie ein Telefonbuch!“ \quoteoff Ein Mathematiker sagte mal (Gedankenzitat) "Das finden von Sätzen ist die Arbeit eines Nobelmanns. Sie zu beweisen die Arbeit eines Sklaven. Mathematiker sind Nobelmänner." Man kann sich fragen, was das eigentlich wichtige an der Mathematik ist. Definition, Satz, oder Beweis. Ich glaube man kann sich einig darüber werden, dass das eigentlich wichtige eine Definition ist. Bei Sätzen ist es nun so, dass ein Satz nicht deshalb interessant ist, nur weil er einen schwierigen Beweis hat. Es gibt auch viele wichtige Sätze, deren Beweise sehr einfach, oder sogar "trivial" sind. Was nützt ein schwer zu beweisender Satz, wenn die Aussage nichts taugt. Es scheint doch erstrebenswert, dass man die "Sklavenarbeit" an die Rechenmaschinen abgibt. Natürlich bin ich mir bewusst das schwer zu beweisende Sätze normalerweise die Mathematik auf ganz andere weise vorantreiben. Die jüngsten Entwicklungen um das von Scholze angeregte Projekt waren was das angeht ja sehr eindrucksvoll. (Habe den Thread jetzt nicht ganz nachvollzogen, also hoffentlich nicht gänzlich am Thema vorbei...)


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Roulette
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  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-21

\quoteon(2022-05-20 21:20 - thureduehrsen in Beitrag No. 22) Inwiefern etwa das Beispiel mit der Raumsonde weit hergeholt sein soll, entnehme ich deinen Ausführungen nirgends. \quoteoff Damit sich ein Rechenfehler (bei 19 Stellen hinter dem Komma) auswirken könnte, müsste ein Raumfahrzeug einen um den Faktor 1.000 genaueren Ausgangs-Bewegungs-Vektor bekommen - das ist aber mit den heutigen Raketentriebwerken unmöglich. Stattdessen werden immer wieder mal Kurskorrekturen vorgenommen. Vielleicht wäre höhere Genauigkeit bei Geldgeschäften von Vorteil. Aber wenn ich's mir genauer überlege: 1/3 von 500 Millionen, das macht beim Rechenfehler meines Taschenrechners gerade mal zehn Cent aus. Wenn man nicht gerade Dagobert Duck ist... (und das war jetzt bloss der Taschenrechner)


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Ixx
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  Beitrag No.29, eingetragen 2022-05-21

Also richtig teuer sind eigentlich nicht die in einem Schritt durch die notwendigerweise endliche Darstellung bedingten Rundungsfehler, sondern deren Aufschaukeln im Verlaufe einer längeren Berechnung. Damit beschäftigt sich ja die Numerik zur Genüge. Eine schöne Aufgabe, die dies verdeutlicht, wurde anno dazumal im Mathekalender gestellt, zu finden als Aufgabe 19 im Jahr 2009, siehe auch hier. (Vorsicht: Die Lösung steht gleich direkt dahinter.) Oder um es mit einem geflügelten Wort aus der Numerik zu sagen: Der Anfänger glaubt an jede einzelne Ziffer. Der Programmierer vertraut auf die Hälfte der Stellen. Der Wissende misstraut dem Vorzeichen.


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Roulette
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  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-21

Interessant in diesem Zusammenhang vielleicht: https://www.bernd-leitenberger.de/genauigkeit-von-computern.shtml Abschnitt "Wo ist Genauigkeit wichtig?" Aber das ist natürlich auch so eine Sache... für aufeinander aufbauende Simulationen müssen die Ausgangswerte (Messwerte) sehr sehr genau sein... und es dürfen auch keine besonders grossen Störeinflüsse vorhanden sein...


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tactac
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  Beitrag No.31, eingetragen 2022-05-21

Es gibt natürlich auch so etwas wie exact real arithmetic. Hier geht es darum, dass man am Schluss angibt, welche Genauigkeit man im Endergebnis haben will, und dann automatisch alle Zwischenergebnisse mit der dazu nötigen Genauigkeit berechnet werden (oder eben das Programm mit einer Fehlermeldung wie "das geht garantiert nicht" / "Speicher reicht nicht" endet oder ganz lange bis ewig rechnet).


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Ixx
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  Beitrag No.32, eingetragen 2022-05-22

Wer sich ernsthaft damit beschäftigen will, dem sei dieses Dokument ans Herz gelegt: What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic Dass im IEEE-Standard sowohl Addition als auch Multiplikation von Gleitkommazahlen weder kommutativ noch assoziativ sind, ist schon etwas, dass man wissen sollte und dass einen vorsichtig werden lassen sollte, wenn man auf diese Weise erhaltene Näherungen aus Computer-Berechnungen mit der mathematischen Realität in Verbindung bringt...


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Roulette
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  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-29

\quoteon(2022-05-22 10:02 - Ixx in Beitrag No. 32) Dass im IEEE-Standard sowohl Addition als auch Multiplikation von Gleitkommazahlen weder kommutativ noch assoziativ sind, ist schon etwas, dass man wissen sollte und dass einen vorsichtig werden lassen sollte, wenn man auf diese Weise erhaltene Näherungen aus Computer-Berechnungen mit der mathematischen Realität in Verbindung bringt... \quoteoff Ich würde sagen, die "mathematische Realität" ist heutzutage die praktische Anwendung der Mathematik durch Mikroprozessoren = Berechnungen durchführen. Und diese Berechnungen erfolgen in mehr als ausreichender Genauigkeit milliardenfach jede Sekunde auf der Welt... die Zeiten, als man sich um Genauigkeit noch Gedanken machen musste, sind schon lange lange vorbei. Ja, die Mathematik mag hier und da mit "absolut" genauen Folgerungen aufwarten. Die Zahl Pi vollständig zu berechnen oder darzustellen, vermag aber nicht einmal sie... und schon sind wir wieder bei den Elektronenrechnern... 😉 Mir geht es auch nicht darum, die Mathematik zu schmähen. Vielmehr, sie korrekt einzuordnen. Ich halte sie für die klarste Wissenschaft, die wir haben. Trotz oder wegen ihrer sehr hohen Theorielastigkeit... --- Wir alle vertrauen den Elektronenrechnern und der Informatik bedenkenlos unser Leben an: im Auto, Flugzeugen, Hochäusern, in der Medizin... Meine Ausgangsthese in diesem Faden ist unberührt von all dem: die Mathematik und ihre Ergebnisse müssen sich ständig der Realität stellen, und werden auch ständig überprüft und verifiziert, stets auf's neue... und zum Glück für uns alle funktioniert das praktisch immer tadellos, und die "Rechnung geht auf" bzw. die Ergebnisse stimmen mit der Realität überein. Dass die Mathemtik keinen "Mist" baut, und wir uns heute auf sie verlassen können, und sie wirklich genau ist (und das war ja nicht immer so), dafür haben viele Menschen über lange Zeiträume gesorgt...


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Ixx
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  Beitrag No.34, eingetragen 2022-05-29

\quoteon(2022-05-29 12:52 - Roulette in Beitrag No. 33) \quoteon(2022-05-22 10:02 - Ixx in Beitrag No. 32) Dass im IEEE-Standard sowohl Addition als auch Multiplikation von Gleitkommazahlen weder kommutativ noch assoziativ sind, ist schon etwas, dass man wissen sollte und dass einen vorsichtig werden lassen sollte, wenn man auf diese Weise erhaltene Näherungen aus Computer-Berechnungen mit der mathematischen Realität in Verbindung bringt... \quoteoff Ich würde sagen, die "mathematische Realität" ist heutzutage die praktische Anwendung der Mathematik durch Mikroprozessoren = Berechnungen durchführen. \quoteoff Dann hast du ein seltsames Verständnis von Realität. Lebst du in der Matrix? Für mich ist 1/3+1/3+1/3 noch immer genau 1; für dich dann offenbar nicht mehr. Hm, wer von uns hat dann mehr Probleme? \quoteon Und diese Berechnungen erfolgen in mehr als ausreichender Genauigkeit milliardenfach jede Sekunde auf der Welt... die Zeiten, als man sich um Genauigkeit noch Gedanken machen musste, sind schon lange lange vorbei. \quoteoff Wer definiert, was "ausreichende Genauigkeit" ist? Ich brauche für meine Überlegungen exakte Berechnungen, nicht nur welche, von denen du nicht einmal garantieren kannst, dass nach einigen Schritten der Berechnung aufgrund der fehlenden numerischen Stabilität überhaupt noch irgendeine Ziffer korrekt ist. \quoteon Ja, die Mathematik mag hier und da mit "absolut" genauen Folgerungen aufwarten. Die Zahl Pi vollständig zu berechnen oder darzustellen, vermag aber nicht einmal sie... und schon sind wir wieder bei den Elektronenrechnern... 😉 \quoteoff Was genau meinst du mit "vollständig berechnen oder darstellen" einer reellen Zahl wie $\pi$? Deren Darstellung als Dezimalzahl? Nun, die wird nicht weiter benötigt und man kann dennoch exakt mit ihr rechnen. Oder lehnst du jetzt generell die Notwendigkeit (oder gar Existenz?) von irrationalen Zahlen ab? Oder noch radikaler, allen Zahlen, für die es keine IEEE-konforme Darstellung gibt? Gibt es in deinem Universum nur eine endliche Zahlenmenge, weil Computer per se nur endlich viele Zahlen darstellen können? (Selbst bei BigInt- oder MultiPrecision-Bibliotheken gibt es die Beschränkung, dass spätestens, nach dem alle Speicher vollgeschrieben sind, der jeweilige Rechner keine Zahl, die mehr Platz zur Darstellung benötigte, darstellen kann...) \quoteon Mir geht es auch nicht darum, die Mathematik zu schmähen. Vielmehr, sie korrekt einzuordnen. \quoteoff Dies gelingt dir aber offenbar nicht, weil du anscheinend die näherungsweise numerische Berechnung von Dingen mit ihrer exakten Realität verwechselst. Wie gesagt: Lerne etwas Numerik. Dann hast du auf die Sachlage einen deutlich klareren Blick. \quoteon Wir alle vertrauen den Elektronenrechnern und der Informatik bedenkenlos unser Leben an: im Auto, Flugzeugen, Hochäusern, in der Medizin... \quoteoff Nö, erstens nicht bedenkenlos. Software-Bugs können nämlich ganz schön teuer sein, siehe dem Jungfernflug der Ariane 5. [Dort war es übrigens ein Overflow, also gerade die fehlende Darstellungsmöglichkeit des gemessenen Werts, der die Rakete schlussendlich zum Absturz brachte. Also genau das, worauf du vertrauen willst, was hier mal von den Software-Entwicklern nicht im Vorfeld genau genug überprüft wurde, ob der für diesen Messwert zur Verfügung gestellte Speicher überhaupt ausreicht, der dann einen Schaden von imerhin ner halben Milliarde Euro erzeugt hat.] Und zweitens: Gerade in sensiblen Bereichen müssen sowohl Algorithmen als auch deren Umsetzung ganz besondere Sicherheits-Überprüfungen durchlaufen. Es wäre nämlich schlecht, wenn der Laser, der deine Augen-OP durchführt, dann einfach mal aufgrund eines Fehlers in der Berechnung etwas zu sehr zuckt... Und dabei ist man weiterhin nicht von zufälligen Fehlern, etwa Bitflips durch kosmische Strahlung, in der Berechnung geschützt, siehe dazu auch folgendes nette Video: https://www.youtube.com/watch?v=AaZ_RSt0KP8 (Übrigens taucht da auch gleich ein Flugzeug mit Problemen als erstes Beispiel auf...) Ach ja, und der Pentium-Bug ist dir ein Begriff? Damals war hardware-seitig selbst der IEEE-Standard für die Division von Gleitkommazahlen nicht erfüllt, sondern wurden falsche Ergebnisse erzeugt. Ich glaube, deine Vorstellung davon, wie Rechner funktionieren, wann und wie man sie einsetzen kann, aber auch wo deren Grenzen sind, ist noch nicht wirklich ausgereift, sondern bedarf noch eines größeren Übderdenkens. \quoteon Meine Ausgangsthese in diesem Faden ist unberührt von all dem: die Mathematik und ihre Ergebnisse müssen sich ständig der Realität stellen, und werden auch ständig überprüft und verifiziert, stets auf's neue... \quoteoff Nö. Ein einmal gefundender Beweis ist für immer gültig. (Und er war es auch schon, bevor ihn jemand gefunden hat; aber das ist eine andere Diskussion...) Die Mathematik ist keine Naturwissenschaft, die formal keine Erkenntnisse, sondern nur Indizien für diese findet. Um Induktion im Sinne der Erkenntnisgewinnung zu betreiben, also vom Speziellen aufs Allgemeine zu schließen, ist in den Erfahrungswissenschaften das Experiment der Scharfrichter: Wenn die Theorie am Experiment scheitert, war sie falsch. Scheitert sie immer wieder nicht, ist man wohl nahe an der tatsächlichen Realität. Mathematik dagegen ist keine solche, sondern eine Struktur- und damit Geisteswissenschaft. Sie arbeitet nicht mit der uns umgebenden physikalischen Umwelt sondern idealisierten Objekten. Man bewegt sich also in Platons Ideenwelt.


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Roulette
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  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-05 10:46

\quoteon(2022-05-29 13:21 - Ixx in Beitrag No. 34) Wer definiert, was "ausreichende Genauigkeit" ist?\quoteoff Die Realität in der Praxis definiert das - in Wirtschaft, Ingenieurswesen, Informatik, Medizin usw. usf. Und es ist eben egal, ob ein Stockwerk eines Hochhauses oder ein Strukturteil einer Brücke auf dem Papier 0,002 Milligramm mehr wiegt oder halt nicht. Weil es nur eine einzige Gruppe (von Theoretikern) gibt, die an "absoluter Genauigkeit" überhaupt interessiert sind: eben die Mathematiker selbst... Die heutigen Rechner arbeiten mit einer Genauigkeit, die es uns erlaubt, regelmässig eine ganze Handvoll Nachkommastellen bedenklos wegzuwerfen. Die Bedeutung der Mathematik heute ist nichts weiter als die einer Hilfswissenschaft für die wirklich wichtigen Gebiete der heutigen Welt (Wirtschaft, Informatik, ...). Und was wir von der Mathematik heute in der Praxis brauchen, geht nur selten über LK-Abitur-Mathematik hinaus (deren Grundlagen schon -zig Jahre alt sind, und wo auch nie wieder etwas Neues kommen wird). So in etwa sieht es aus... \quoteon Ich glaube, deine Vorstellung davon, wie Rechner funktionieren, wann und wie man sie einsetzen kann, aber auch wo deren Grenzen sind, ist noch nicht wirklich ausgereift, sondern bedarf noch eines größeren Übderdenkens. \quoteoff Wenn ich Dich so reden höre, wird mir klar, dass ich eben doch ein paar Jahrzehnte mehr einschlägige Erfahrung auf diesem Gebiet habe als Du ;-) \quoteon Nö. Ein einmal gefundender Beweis ist für immer gültig. (Und er war es auch schon, bevor ihn jemand gefunden hat; aber das ist eine andere Diskussion...) Die Mathematik ist keine Naturwissenschaft, die formal keine Erkenntnisse, sondern nur Indizien für diese findet. Um Induktion im Sinne der Erkenntnisgewinnung zu betreiben, also vom Speziellen aufs Allgemeine zu schließen, ist in den Erfahrungswissenschaften das Experiment der Scharfrichter: Wenn die Theorie am Experiment scheitert, war sie falsch. Scheitert sie immer wieder nicht, ist man wohl nahe an der tatsächlichen Realität. Mathematik dagegen ist keine solche, sondern eine Struktur- und damit Geisteswissenschaft. Sie arbeitet nicht mit der uns umgebenden physikalischen Umwelt sondern idealisierten Objekten. Man bewegt sich also in Platons Ideenwelt. \quoteoff Nö. Wenn irgendjemand einen "Beweis" für das Verhalten eines mathematischen Objekts aufstellt, und eine Computersimulation widerlegt diesen (durch eineutigen Nachweis eines Widerspruches bzgl. dieses Objekts, z.B. Finden einer Zahl, die eine bestimmte Eigenschaft hat), dann ist dieser Beweis widerlegt. So einfach ist das. Mathematik existiert nicht losgelöst von dieser Welt. Und hört mir auf mit den alten Kamellen vom "Pentium" oder "Ariane". Argumentationen, die sich auf Verhältnisse von 1 zu 10 hoch 9 stützen, taugen nun mal nichts. Bzgl. Pentium, kann man sich auch mal schlau machen, wie wenig relevant das Ganze überhaupt war: https://de.wikipedia.org/wiki/Pentium-FDIV-Bug#Gr%C3%B6%C3%9Fe,_H%C3%A4ufigkeit_und_Auswirkungen_des_Fehlers


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Ixx
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  Beitrag No.36, eingetragen 2022-06-05 16:19

\quoteon(2022-06-05 10:46 - Roulette in Beitrag No. 35) Wenn ich Dich so reden höre, wird mir klar, dass ich eben doch ein paar Jahrzehnte mehr einschlägige Erfahrung auf diesem Gebiet habe als Du ;-) \quoteoff Dann tut es mir Leid, dass ich annahm, dass du noch Schüler*in seiest, welche/r einfach noch naiv in die Welt schaut, ohne sie zu kennen. Das hatte den Bonus, dass Du deine fachlichen Defizite noch leicht in deinem später sicherlich folgenden Studium hättest ausgleichen können. So ist mir nun klar, dass jedwede Diskussion hier nicht zielführend ist; vergleiche auch den Parallel-Thread zu Winkeldreiteilern.


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kurtg
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  Beitrag No.37, eingetragen 2022-06-05 17:12

Don't feed the troll.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Dixon
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Wohnort: wir können alles, außer Flughafen, S-Bahn und Hauptbahnhof
  Beitrag No.38, eingetragen 2022-06-08 02:20

\quoteon(2022-06-05 10:46 - Roulette in Beitrag No. 35) Die Bedeutung der Mathematik heute ist nichts weiter als die einer Hilfswissenschaft für die wirklich wichtigen Gebiete der heutigen Welt (Wirtschaft, Informatik, ...). \quoteoff "Hilfswissenschaften" sind Fächer wie Jura oder ~wirtschaftsleeren, die sich leider in der Neuzeit aufführen als seien sie besonders wichtig (ich frage mich, was die an Universitäten zu suchen haben). Mathematik da einzuordnen ist geradezu eine Beleidigung - aber ich schätze mal, darauf willst Du hinaus. Grüße Dixon


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