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Analysis » Funktionalanalysis » Banachscher Fixpunktsatz
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Universität/Hochschule J Banachscher Fixpunktsatz
Max_Br
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  Themenstart: 2022-05-11 14:51

Hallo, Ich muss den banachschen Fixpunktsatz anwenden und zeigen, dass es genau einen Fixpunkt gibt. Über den Satz weiß ich, dass man zeigen soll: 1) f(x)\el\ A für jedes x\el\ A 2) es existiert reele Zahl k mit 0 <= k < 1 sodass gilt : d(f(x),f(y)) <= kd(x,y) Ich habe für f(x)= (2x-1)/(2x-2) , f(x): [0, \inf ) -> [0, \inf ) Ich habe nun eingesetzt: abs((2x-1)/(2x-2) - (2y-1)/(2y-2)) Meine Idee war es nun die Terme solange umzuformen bis es in der Form d(x,y) da steht und ein k davor stehen bleibt. Bin ich da auf dem richtigen Weg? Falls ja komme ich trotzdem nicht auf die Form. Kann jemand mir vielleicht einen Trick verraten oder mich auf den richtigen Weg bringen?

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-11 15:03

Der erste Schritt ist hier $\frac{2x-1}{2x-2} = \frac{(2x-2) + 1}{2x-2} = 1 + \frac{1}{2x-2}$. Benutze das einmal. Bist du dir beim Definitionsbereich sicher? Was passiert für $x=1$?

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Max_Br
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-11 15:28

Danke schonmal für die Antwort. Soweit habe ich es auch. Dann kommt bei mir abs(-1/(2x-2) + 1/(2y+2)) heraus. Durch umformen habe ich 1/2 abs((x-y)/(xy+4x+4y+1)) Kann ich das mit <= 1/2 abs(x-y) abschätzen?

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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-11 18:28

Klammere $1/2$ aus und substitutiere $x-1$, $y-1$ (wodurch sich $|x-y|$ ja nicht ändert!), dann ist der Term viel einfacher. Aber können wir erst einmal den Definitionsbereich klären? Was ist die originale Aufgabenstellung?

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Max_Br
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-12 12:52

Der genaue Wortlaut ist: Beweisen sie, dass die Funktion f: [0, \inf ) -> [0, \inf ) mit f(x)= (2x + 1 )/(2x + 2) genau eine Fixpunkt hat

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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-13 09:48

Fällt dir jetzt auf, dass du im Startbeitrag eine ganz andere Funktion hingeschrieben hattest? Und wenn dort nichts vom Fixpunktsatz steht: ich würde ihn hier nicht verwenden. Mit der Umformung $\displaystyle\frac{2x+1}{2x+2} = 1 - \frac{1}{2x+2}$ läuft das ja einfach auf eine quadratische Gleichung hinaus.

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Max_Br
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 14:11

Ja jetzt fällt es mir auf😖. Danke für die Hilfe.

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