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 Paralleluniversum Collatz [3]: Struktur und Wertemengen |
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blindmessenger
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 |  Themenstart: 2022-05-12
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Hallo,
inspiriert durch die anderen beiden Kapitel habe ich mir dazu auch nochmal Gedanken gemacht.
Empirisch betrachtet besteht folgende Auffälligkeit:
1. Divergenz und Anzahl der Zyklen
Algorithmen der Form:
$3n+k$
für ungerades $k$
sind augenscheinlich nicht divergent. Wohl aber ist es möglich das hier mehr als ein Zyklus auftritt. Dazu eine Tabelle mit ein paar empirisch ermittelten Werten:
\[ \begin{array}{r|c|c|c|}
Algo.&Anzahl \ der \ Zyklen & Zykluszahl \\\hline
3n+1&1&4 \\\hline
3n+3&1&12 \\\hline
3n+5&3&8;20;152 \\\hline
3n+7& 2&28;40 \\\hline
3n+9&1&36 \\\hline
3n+11& 3&32;44;248 \\\hline
\end{array} \]
\quoteoff
Bei Algorithmen der Form
$jn+1$
sieht es hingegen ganz anders aus. Hier treten augenscheinlich fast ausschließlich divergente Folgen auf:
\[ \begin{array}{|c|c|c|}
Algo. &Anzahl \ der \ Zyklen & Zykluszahl \\\hline
3n+1&1&4 \\\hline
5n+1&3 + Divergenz& 16;216;416 \\\hline
7n+1&1 + Divergenz&8 \\\hline
9n+1& Divergenz&0 \\\hline
11n+1&Divergenz&0 \\\hline
13n+1& Divergenz&0 \\\hline
\end{array} \]
\quoteoff
Empirisch kann man also eine grobe Einteilung vornehmen:
$3n+k$
divergiert wahrscheinlich nicht,
$jn+1$
fast immer.
2. Wertemengen von $3n+k$ und $jn+1$
Wir glauben das $3n+k$ nicht divergiert. Schauen wir uns die Wertemengen dieser Algorithmen an. Es zeigt sich dass nur bestimmte Zahlen gebildet werden können:
\[ \begin{array}{|c|c|c|}
Algo. &Wertemenge \\\hline
3n+1&6n+1;6n+5 \\\hline
3n+3& 6n+3 \\\hline
3n+5&6n+1;6n+5 \\\hline
3n+7& 6n+1;6n+5 \\\hline
3n+9& 6n+3 \\\hline
3n+11& 6n+1;6n+5 \\\hline
\end{array} \]
\quoteoff
Wie zu sehen lassen sich die Wertemengen durch $6n+i$ ($i= ungerade$) darstellen. Entweder wird die Wertemenge durch $6n+1$ und $6n+5$ oder (bei jeder dritten Folge) durch $6n+3$ gebildet. Das lässt sich auch an ein paar Beispielen zeigen:
$$Für \ 3n+1 \ gilt:$$
$$24n+1\ \rightarrow 18n+1$$
$$24n+17\ \rightarrow 18n+13$$
$$48n+13\ \rightarrow 18n+5$$
$$48n+29\ \rightarrow 18n+11$$
$$96n+37\ \rightarrow 18n+7$$
$$192n+181\ \rightarrow 18n+17$$
$$Für \ 3n+3 \ gilt:$$
$$24n+3\ \rightarrow 18n+3$$
$$24n+11\ \rightarrow 18n+9$$
$$24n+19 \ \rightarrow 18n+15$$
$$Für \ 3n+5 \ gilt:$$
$$24n+5\ \rightarrow 18n+5$$
$$24n+13\ \rightarrow 18n+11$$
$$48n+1\ \rightarrow 18n+1$$
$$48n+17\ \rightarrow 18n+7$$
$$96n+89\ \rightarrow 18n+17$$
$$192n+137\ \rightarrow 18n+13$$
Bei den Algorithmen $jn+1$ (also den mutmaßlich divergenten Folgen) hilft uns diese $6n+i$ Einteilung nicht weiter. Hier müssen wir anders einteilen. Es ergibt sich folgendes Bild:
$$Für \ 5n+1 \ gilt:$$
$$20n+1\ \rightarrow 50n+3$$
$$20n+9\ \rightarrow 50n+23$$
$$20n+13\ \rightarrow 50n+33$$
$$20n+17\ \rightarrow 50n+43$$
$$40n+7\ \rightarrow 50n+9$$
$$40n+23\ \rightarrow 50n+29$$
$$40n+31\ \rightarrow 50n+39$$
$$40n+39\ \rightarrow 50n+49$$
$$80n+11\ \rightarrow 50n+7$$
$$80n+27\ \rightarrow 50n+17$$
$$80n+43\ \rightarrow 50n+27$$
$$80n+59\ \rightarrow 50n+37$$
$$160n+3\ \rightarrow 50n+1$$
$$160n+67\ \rightarrow 50n+21$$
$$160n+99\ \rightarrow 50n+31$$
$$160n+131\ \rightarrow 50n+41$$
$$320n+83\ \rightarrow 50n+13$$
$$640n+243\ \rightarrow 50n+19$$
$$1280n+1203\ \rightarrow 50n+47$$
$$2560n+563\ \rightarrow 50n+11$$
$$Für \ 7n+1 \ gilt:$$
$$28n+3\ \rightarrow 98n+11$$
$$28n+11\ \rightarrow 98n+39$$
$$28n+15\ \rightarrow 98n+53$$
$$28n+19\ \rightarrow 98n+67$$
$$28n+23\ \rightarrow 98n+81$$
$$28n+27\ \rightarrow 98n+95$$
$$56n+5 \ \rightarrow 98n+9$$
$$56n+13\ \rightarrow 98n+23$$
$$56n+29 \ \rightarrow 98n+51$$
$$56n+37\ \rightarrow 98n+65$$
$$56n+45\ \rightarrow 98n+79$$
$$56n+53\ \rightarrow 98n+93$$
$$112n+1\ \rightarrow 98n+1$$
$$112n+17\ \rightarrow 98n+15$$
$$112n+33\ \rightarrow 98n+29$$
$$112n+65\ \rightarrow 98n+57$$
$$112n+81\ \rightarrow 98n+71$$
$$112n+97\ \rightarrow 98n+85$$
$$224n+57\ \rightarrow 98n+25$$
$$224n+185\ \rightarrow 98n+81$$
$$448n+169\ \rightarrow 98n+37$$
$$Für \ 9n+1 \ gilt:$$
$$36n+1\ \rightarrow 162n+5$$
$$36n+5 \ \rightarrow 162n+23$$
$$36n+13\ \rightarrow 162n+59$$
$$36n+17\ \rightarrow 162n+77$$
$$36n+21\ \rightarrow 162n+95$$
$$36n+25\ \rightarrow 162n+113$$
$$36n+29 \ \rightarrow 162n+131$$
$$36n+33\ \rightarrow 162n+149$$
$$72n+3 \ \rightarrow 162n+7$$
$$72n+11\ \rightarrow 162n+25$$
$$72n+19\ \rightarrow 162n+43$$
$$72n+35\ \rightarrow 162n+79$$
$$72n+43\ \rightarrow 162n+97$$
$$72n+51\ \rightarrow 162n+115$$
$$72n+59\ \rightarrow 162n+133$$
$$72n+67\ \rightarrow 162n+151$$
$$144n+15\ \rightarrow 162n+17$$
$$144n+31\ \rightarrow 162n+35$$
$$144n+47\ \rightarrow 162n+53$$
$$144n+79\ \rightarrow 162n+89$$
$$144n+95\ \rightarrow 162n+107$$
$$144n+111 \ \rightarrow 162n+125$$
$$144n+127\ \rightarrow 162n+143$$
$$144n+143\ \rightarrow 162n+161$$
$$288n+23\ \rightarrow 162n+13$$
$$288n+55\ \rightarrow 162n+31$$
$$288n+87\ \rightarrow 162n+49$$
$$288n+119\ \rightarrow 162n+67$$
$$288n+151\ \rightarrow 162n+85$$
$$288n+183\ \rightarrow 162n+103$$
$$288n+215\ \rightarrow 162n+121$$
$$288n+247\ \rightarrow 162n+139$$
$$576n+39\ \rightarrow 162n+11$$
$$576n+103\ \rightarrow 162n+29$$
$$576n+167\ \rightarrow 162n+47$$
$$576n+231\ \rightarrow 162n+65$$
$$576n+295 \ \rightarrow 162n+83$$
$$576n+359\ \rightarrow 162n+101$$
$$576n+487\ \rightarrow 162n+137$$
$$576n+551\ \rightarrow 162n+155$$
$$1152n+135\ \rightarrow 162n+19$$
$$1152n+263\ \rightarrow 162n+37$$
$$1152n+391\ \rightarrow 162n+55$$
$$1152n+519\ \rightarrow 162n+73$$
$$1152n+647\ \rightarrow 162n+91$$
$$1152n+775\ \rightarrow 162n+109$$
$$1152n+903\ \rightarrow 162n+127$$
$$1152n+1031\ \rightarrow 162n+145$$
$$2304n+583 \ \rightarrow 162n+41$$
$$4608n+1735\ \rightarrow 162n+61$$
$$9216n+4039\ \rightarrow 162n+71$$
$$18432n+1479 \ \rightarrow 162n+13$$
$$36864n+27079 \ \rightarrow 162n+119$$
$$73728n+455 \ \rightarrow 162n+1$$
3. Unterschiede zwischen $3n+k$ und $jn+1$
Soweit so gut. Wir haben gesehen dass bestimmte Algorithmen vermutlich nicht divergieren andere aber schon. Außerdem haben wir festgestellt dass jeder Algorithmus eine bestimmte Wertemenge bildet.
Kommen wir nun zu den Unterschieden zwischen $3n+k$ und $jn+1$. Es zeigt sich, dass sich die Wertemengen grundsätzlich unterscheiden. Bei den Algorithmen die nicht divergieren $(3n+k)$ bilden sich nach jeder Iteration zur nächsten ungeraden Zahl alle möglichen Zahlen neu nämlich genau $6n+1$ und $6n+5$ bzw. $6n+3$. Bei den Algorithmen der Form $jn+1$ ist das anscheinend nicht der Fall.
Vielleicht lässt sich zwischen Wertemenge und Divergenz eine Verbindung herstellen.
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haegar90
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Dabei seit: 18.03.2019
Mitteilungen: 935
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-12
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Hallo blindmessenger,
sehe das Paralleluniversum 3 😎 diese Woche mal durch.
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cramilu
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Dabei seit: 09.06.2019
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-12
|
»Hierzu gab es mal einen Collatzartikel.«
Bloß einen? 🙄
Im Ernst:
Die Betrachtungen für \((3n+k)\) mit ungeradem \(k\)
unterscheiden sich halt wesentlich von jenen für \((jn+1)\)
mit ungeradem \(j\) , weil bei ersteren das "grobe Wachstum"
unverändert bleibt. Und dieses, in Verbindung mit einem
zusätzlichen "Collatz-Kollaps-Koeffizienten" (Trefferchancen
für höhere Zweierpotenzen etc.) muss entscheidend sein.
Das WIE ist die jahrzehntealte Gretchenfrage. 😉
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blindmessenger
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Dabei seit: 02.08.2016
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Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-13
|
Das Besondere an $3n+k$ ist tatsächlich diese Art "Vollkommenheit", dass nach jedem Schritt jede mögliche Zahl mindestens einmal vorkommt.
Und bei den "divergierenden" $kn+1$ tritt diese "Vollkommenheit" wahrscheinlich nicht auf.
Vielleicht gibt es eine Möglichkeit diese "Vollkommenheit" irgendwie in Verbindung mit "Divergenz" zu bringen.
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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-16
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Schlaflos in Bierfranken 🙄
Eigentlich bin ich ja mit meinen Modulo-Überlegungen
beschäftigt... jedoch...
... habe ich auch hier ein wenig herumanalysiert.
blindmessenger, zu Deiner jüngsten Frage kann ich
noch nichts sagen, aber in meinem Notizbuch habe ich
für die \((3n+(2k+1))\) mit \(k\in\mathbb{N}_0\) eine erste Statistik
in Form eines EXCEL-Tabellenblattes hinterlegt.
Dabei komme ich für \((3n+5)\) auf andere Werte.
Viel schöner:
cramilu-Behauptung
Seien \(k\in\mathbb{N}_0\) , \(m=2k+1\) und \(n\in\mathbb{N}_+\) ;
dann gilt für expandierende Folgen \(C_k(n)\)
mit der Bildungsvorschrift
\(C_k(n)=\left\{\begin{array}{2}\frac{n}{2} & wenn\;\;n\;\;gerade \\
3\cdot n+2k+1=3\cdot n+m & wenn\;\;n\;\;ungerade \end{array}\right.\)
für die Fälle \(m=3^p\) mit \(p\in\mathbb{N}_0\) ,
dass sie für jede Startzahl \(n\) irgendwann in den
einen dreigliedrigen Zyklus " \(4\cdot m\) ; \(2\cdot m\) ; \(m\) "
einmünden, welcher sich danach periodisch wiederholt.
Unter jenen ist die »Collatz-Folge« diejenige für \(p=0\) !
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