Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » Beweis Lemma von Herglotz (multiplikative Form)
Autor
Universität/Hochschule J Beweis Lemma von Herglotz (multiplikative Form)
Mathical
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2022
Mitteilungen: 9
  Themenstart: 2022-05-14 10:40

Hallo zusammen Ich stehe beim Beweis vom Lemma von Herglotz (multiplikative Form) an. Nähmlich bei dem Schritt wo man zeigt, dass 2h(2z) = h(z) + h(z + 1/2). Was ich versucht habe: \[ \begin{aligned} 2h(2z) &= 2 \frac{2 \cdot g'(2z)}{g(2z)} = 2 \cdot \frac{2 \cdot c \cdot g'(z) g\left(z + \frac{1}{2} \right) + 2 \cdot c \cdot g(z) g'\left(z + \frac{1}{2} \right)}{c \cdot g(z) g\left(z + \frac{1}{2} \right)} \\ &= 4 \left( \frac{c \cdot g'(z)}{c \cdot g(z)} + \frac{g'\left(z + \frac{1}{2} \right)}{g\left(z + \frac{1}{2} \right)} \right) = 4 \cdot \left( h(z) + h\left(z + \frac{1}{2} \right) \right), \quad \text{falls} \quad z, \nobreakspace z + \frac{1}{2}, \nobreakspace 2z \in [0,r). \end{aligned} \] Wobei ich bei der ersten Gleichheit h=g'/g und bei der zweiten die Verdopplungsformel eingesetzt habe. Nun würde ich aber auf 1/2 h(2z) = h(z) + h(z + 1/2) kommen, was nicht sein kann, da ich dann das Lemma von Herglotz in der additiven Form anwenden will und dort 2h(2z) = h(z) + h(z + 1/2) sein muss. Sieht jemand meinen Fehler und könnte mir bitte weiterhelfen? Vielen Dank! Liebe Grüsse Mathical Hier das Lemma und der Beweis https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55585_Lemma_vHm.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55585_Lemma_vHmB.JPG und hier das Lemma in der additiven Form, welches für den Beweis benutzt wird: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55585_Lemma_vHa.JPG


   Profil
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2372
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-14 13:26

Huhu, \quoteon(2022-05-14 10:40 - Mathical im Themenstart)\[ \begin{aligned} 2h(2z) &= 2 \frac{\color{red}{2} \cdot g'(2z)}{g(2z)} = [...] \end{aligned} \] \quoteoff ohne wirklich Ahnung davon zu haben: Wo kommt denn der rote Faktor her? Gruß, Küstenkind


   Profil
Mathical
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2022
Mitteilungen: 9
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 13:32

\quoteon(2022-05-14 13:26 - Kuestenkind in Beitrag No. 1) Huhu, \quoteon(2022-05-14 10:40 - Mathical im Themenstart)\[ \begin{aligned} 2h(2z) &= 2 \frac{\color{red}{2} \cdot g'(2z)}{g(2z)} = [...] \end{aligned} \] \quoteoff ohne wirklich Ahnung davon zu haben: Wo kommt denn der rote Faktor her? Gruß, Küstenkind \quoteoff Liebes Küstenkind Den erhalte ich von der inneren Ableitung von g(2z). Ich bin mir aber ehrlich auch nicht sicher ob es nicht einfach 2h(2z) = 2 g'(2z)/g(2z) ist (wie im Beweis vom Buch) Ich habe es auch schon ohne die innere Ableitung gemacht, erhalte dann aber auch nicht das gewünschte Resultat. Ich zweifle schon an meinen Ableitungs- und Einsetzfähigkeiten 😃😖. Vielen Dank fürs Anschauen. Liebe Grüsse Mathical


   Profil
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2372
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-14 13:39

Dort wird doch nur eingesetzt?! Wenn \(h(z):=\frac{g'(z)}{g(z)}\) wird, dann ist doch auch \(h(2z)=\frac{g'(2z)}{g(2z)}\). Das setzt du doch nur in \(2\cdot h(2z)\) ein. Ich verstehe gerade nicht, wieso du da noch von einer inneren Ableitung sprichst. Gruß, Küstenkind


   Profil
Mathical
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2022
Mitteilungen: 9
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 13:46

\quoteon(2022-05-14 13:39 - Kuestenkind in Beitrag No. 3) Dort wird doch nur eingesetzt?! Wenn \(h(z):=\frac{g'(z)}{g(z)}\) wird, dann ist doch auch \(h(2z)=\frac{g'(2z)}{g(2z)}\). Das setzt du doch nur in \(2\cdot h(2z)\) ein. Ich verstehe gerade nicht, wieso du da noch von einer inneren Ableitung sprichst. Gruß, Küstenkind \quoteoff Ich habe die innere Ableitung noch gemacht, weil bei \(h(z):=\frac{g'(z)}{g(z)}\) die innere Ableitung von g'(z) ja 1 ist, also irrelevant für die Darstellung, bei \(h(2z)=\frac{g'(2z)}{g(2z)}\) ist sie aber 2... Kann aber auch gut sein, dass man dies nicht machen muss. Trotzdem geht die Gleichung nicht auf... oder funktioniert es so bei dir?🤔


   Profil
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2372
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-14 14:14

Doch, wenn du die Gleichung \(g(2z)=cg(z)g\left(z+\frac{1}{2}\right)\) differenzierst, dann erhältst du \(2g'(2z)=cg'(z)g\left(z+\frac{1}{2}\right)+cg(z)g'\left(z+\frac{1}{2}\right)\). Nun dividiere durch 2 und setze einfach ein. Gruß, Küstenkind


   Profil
Mathical
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2022
Mitteilungen: 9
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 16:43

\quoteon(2022-05-14 14:14 - Kuestenkind in Beitrag No. 5) Doch, wenn du die Gleichung \(g(2z)=cg(z)g\left(z+\frac{1}{2}\right)\) differenzierst, dann erhältst du \(2g'(2z)=cg'(z)g\left(z+\frac{1}{2}\right)+cg(z)g'\left(z+\frac{1}{2}\right)\). Nun dividiere durch 2 und setze einfach ein. Gruß, Küstenkind \quoteoff Wow! Vielen Dank! Das hab ich jetzt echt nicht gesehen.


   Profil
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2372
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-14 17:00

Gerne! Es gibt hier übrigens auch die Möglichkeit ohne ein nerviges Vollzitat zu antworten. Das stört nur den Lesefluss. Gehe dazu unten einfach auf "Antworten". Nachträglich noch ein "Herzliches Willkommen!" und ein schönes Wochenende! Gruß, Küstenkind


   Profil
Mathical
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2022
Mitteilungen: 9
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 17:22

\quoteon(2022-05-14 17:00 - Kuestenkind in Beitrag No. 7) Gerne! Es gibt hier übrigens auch die Möglichkeit ohne ein nerviges Vollzitat zu antworten. Das stört nur den Lesefluss. Gehe dazu unten einfach auf "Antworten". Nachträglich noch ein "Herzliches Willkommen!" und ein schönes Wochenende! Gruß, Küstenkind \quoteoff Wo befindet sich denn dieses "Antworten"? Habe es nicht gefunden :)


   Profil
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2372
  Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-14 17:30

https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-05-14_um_17.29.12.png Siehe dort in der Mitte. Gruß, Küstenkind


   Profil
Mathical
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2022
Mitteilungen: 9
  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 18:30

Aah super, vielen Dank


   Profil
Mathical hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Mathical hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Mathical wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]