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Universität/Hochschule Vollständigkeit und induzierte Metrik
Max_Br
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  Themenstart: 2022-05-14 14:22

Hallo, (X, d) ist ein vollständiger metrischer Raum und X`\subsetequal\ X eine beschränkte Teilmenge von X. Jetzt ist der metrische Raum (X`,d`) genau dann vollständig, wenn X` als Teilmenge von X abgeschlossen ist. Dabei ist die Abbildung d`: X`\cross\ X`->\IR die durch d induzierte Metrik auf X`. Ich verstehe nicht warum (X`, d`) genau dann vollständig ist, wenn X` als Teilmenge abgeschlossen ist. Kann mir das vielleicht jemand erklären?


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-14 14:50

Was hast du denn bereits versucht? Der Beweis ist sehr einfach, benutze einfach die Definition von "vollständig" und die Charakterisierung / Definition von "abgeschlossen" über Folgengrenzwerte (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805). Die Beschränktheit von $X'$ wird nicht benötigt. Sei $X'$ vollständig. Um zu zeigen, dass $X'$ abgeschlossen ist, nehme eine konvergente Folge $x_n \to x$ in $X$ mit $x_n \in X'$. Dann ist $(x_n)$ eine Cauchyfolge in $X'$ (warum?), also ... Sei umgekehrt $X'$ abgeschlossen. Um zu zeigen, dass $X'$ vollständig ist, nehme eine Cauchyfolge $(x_n)$ in $X'$. Diese ist dann auch eine Cauchyfolge in $X$ (wieso?), also ...


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Max_Br
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 15:29

Wenn ich eine konvergente Folge x_n -> x in X mit x_n \el\ X` nehme. Dann muss (x_n) eine Chauchyfolge in X` sein, weil aus der Vollständigkeit von X` folgt, dass jede Chauchyfolge in X` konvergieren muss. Bin ich soweit richtig? Falls ja verstehe ich noch nicht warum deshalb X` abgeschlossen sein muss...


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-14 15:30

Nein, das Argument ist nicht richtig. Benutze die Definitionen und verwechsle $\Rightarrow$ nicht mit $\Leftarrow$.


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Max_Br
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14 15:49

Also laut Definition wird jeder metrische Raum (X,d) vollständig genannt, wenn jede Chauchyfolge konvergiert. Soweit zumindest mit der Definition...


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-14 15:59

Ja, aber du hast eine konvergente Folge in $X$ gegeben. Keine Cauchyfolge in $X'$. Diese musst du erst konstruieren. Genau darum geht es in diesem Beweisschritt. Schau dir bitte Beitrag 1 noch einmal in Ruhe an.


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