Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Anwendung zu Differentialgleichungen
Autor
Universität/Hochschule Anwendung zu Differentialgleichungen
Erdbeere99
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.05.2021
Mitteilungen: 142
  Themenstart: 2022-05-16

Angenommen, die Reaktionsgeschwindigkeit (Stoffmenge pro Zeiteinheit) der chemischen Reaktionzweiter Ordnung A + B → C ist proportional zu den Konzentrationen von A und B. Gleichzeitig gibt es eineRückreaktion C → A+B mit Reaktionsgeschwindigkeit proportional zur Konzentration von C. Dieser chemische Prozesskann durch die Differentialgleichung beschrieben werden (für die Funktion c) c' = k(a - c)(b - c) - lc; a, b, k, l > 0;wobei c(t) die Konzentration von C zum Zeitpunkt t ist und a, b > 0 sind die Konzentrationen von A und B zur Zeitt = 0. (i) Berechnen Sie c so, dass die Konzentration von C zur Zeit t = 0 Null ist. (ii) Zeigen Sie, dass c(t) für t zunehmend stark monoton konvergiert für t →∞ 1 bis zu einigen c ∞ < min{a,b}. Hinweis: Benutze und zeige α := a + b + l/k, α²> 4ab, γ:=\( \sqrt{α²/4-ab} \) Ich habe absolut keine Ahnung, was ich hier machen soll. Ich bin über jede Hilfe dankbar!


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1402
Wohnort: Köln
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Nochmal in lesbar: \quoteon(2022-05-16 08:20 - Erdbeere99 im Themenstart) Angenommen, die Reaktionsgeschwindigkeit (Stoffmenge pro Zeiteinheit) der chemischen Reaktion zweiter Ordnung $A + B \rightarrow C$ ist proportional zu den Konzentrationen von $A$ und $B$. Gleichzeitig gibt es eine Rückreaktion $C \rightarrow A+B$ mit Reaktionsgeschwindigkeit proportional zur Konzentration von $C$. Dieser chemische Prozess kann durch die Differentialgleichung beschrieben werden (für die Funktion $c$) $$ c' = k(a - c)(b - c) - lc; \quad a, b, k, l > 0; $$ wobei $c(t)$ die Konzentration von $C$ zum Zeitpunkt $t$ ist und $a, b > 0$ sind die Konzentrationen von $A$ und $B$ zur Zeit $t = 0$. (i) Berechnen Sie $c$ so, dass die Konzentration von $C$ zur Zeit $t = 0$ Null ist. (ii) Zeigen Sie, dass $c(t)$ für $t$ zunehmend stark monoton konvergiert für t →∞ 1 bis zu einigen c ∞ < min{a,b}. [Ergibt für mich keinen Sinn - unverändert] Hinweis: Benutze und zeige $\alpha := a + b + l/k$, $\alpha^2> 4ab$, $\gamma:=\sqrt{\alpha^2/4-ab}$ Ich habe absolut keine Ahnung, was ich hier machen soll. Ich bin über jede Hilfe dankbar! \quoteoff Bei i) solltest du sicherlich "einfach" die DGL mit dem passenden Anfangswert lösen. Du hast $$ c'(t)=kc(t)^2+(-ka-kb-l)c(t)+kab $$ Gesucht ist "die" Lösung dieser DGL mit $c(0)=0$. LG Nico\(\endgroup\)


   Profil
Erdbeere99
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.05.2021
Mitteilungen: 142
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16

Mit welcher Lösungsmethode löse ich das? Das ist ja weder eine Bernoulli DGL noch eine lineare DGL?


   Profil
haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1720
Wohnort: Bochum
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-16

Hallo, kurz zwei Kommentare: 1) Teilaufgabe (i) ergibt für mich wenig Sinn 2) Die Differentialgleichung soll vermutlich nicht explizit gelöst werden, sondern es geht um Eigenschaften der Lösungen, die man auch ohne Kenntnis einer expliziten Lösungsformel zeigen kann. Viele Grüße, haerter


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1402
Wohnort: Köln
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-16

Ich vermute auch, dass man das nicht explizit lösen sollte. Zwar habe ich mit Maple eine geschlossene Formel für die Lösung gefunden, die ist aber schon relativ kompliziert. So gesehen verstehe ich auch nicht ganz, wie genau der erste Teil der Aufgabe gemeint sein soll, wenn man die DGL nicht explizit lösen soll. LG Nico


   Profil
haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1720
Wohnort: Bochum
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-16

Hallo, ich verstehe schon gar nicht, warum die Differentialgleichung nicht einfach \( c'(t) = kab -lc \) lautet. Das würde besser zu der Beschreibung im Text passen. Viele Grüße, haerter


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3770
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-16

\quoteon(2022-05-16 14:58 - nzimme10 in Beitrag No. 4) Ich vermute auch, dass man das nicht explizit lösen sollte. Zwar habe ich mit Maple eine geschlossene Formel für die Lösung gefunden, die ist aber schon relativ kompliziert. \quoteoff Ich sehe eigentlich keinen Grund, warum man diese Riccatische Differentialgleichung nicht lösen sollte. Dann ergibt der Aufgabenteil (i) einen Sinn, und in der Lösung tauchen die im Hinweis angesprochenen Konstanten auf. --zippy [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3770
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-16

\quoteon(2022-05-16 20:59 - haerter in Beitrag No. 5) ich verstehe schon gar nicht, warum die Differentialgleichung nicht einfach \( c'(t) = kab -lc \) lautet. Das würde besser zu der Beschreibung im Text passen. \quoteoff Zum Text würde passen$$ c'(t) = k\,a(t)\,b(t)-l\,c(t) \;. $$Da aber außerdem $a(t)=a-c(t)$ und $b(t)=b-c(t)$ mit Konstanten $a$ und $b$ gilt, gelangt man zu$$ c'(t) = k\bigl[a-c(t)\bigr]\bigl[b-c(t)\bigr]-l\,c(t) \;. $$


   Profil
Erdbeere99
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.05.2021
Mitteilungen: 142
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16

Zum Text würde passen$$ c'(t) = k\,a(t)\,b(t)-l\,c(t) \;. $$Da aber außerdem $a(t)=a-c(t)$ und $b(t)=b-c(t)$ mit Konstanten $a$ und $b$ gilt, gelangt man zu$$ c'(t) = k\bigl[a-c(t)\bigr]\bigl[b-c(t)\bigr]-l\,c(t) \;. $$ \quoteoff So steht es ja auch eigemtlich in der Aufgabe


   Profil
Erdbeere99
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.05.2021
Mitteilungen: 142
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16

Ich sehe eigentlich keinen Grund, warum man diese Riccatische Differentialgleichung nicht lösen sollte. Dann ergibt der Aufgabenteil (i) einen Sinn, und in der Lösung tauchen die im Hinweis angesprochenen Konstanten auf. gut, dass wir diese DGL in der Vorlesung noch nicht hatten


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3770
  Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-16

\quoteon(2022-05-16 21:11 - Erdbeere99 in Beitrag No. 8) So steht es ja auch eigemtlich in der Aufgabe \quoteoff Richtig. Und daher passen in der Aufgabe Text und DGL zusammen, während die DGL in Beitrag Nr. 5 etwas anderes beschreibt. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3770
  Beitrag No.11, eingetragen 2022-05-16

\quoteon(2022-05-16 21:12 - Erdbeere99 in Beitrag No. 9) gut, dass wir diese DGL in der Vorlesung noch nicht hatten \quoteoff Man muss den Namen nicht kennen, um die Gleichung zu lösen. PS Du solltest Zitate und eigene Texte nicht vermischen. Es gibt nicht ohne Grund einen Knopf "Quote".


   Profil
Erdbeere99
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.05.2021
Mitteilungen: 142
  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16

Und wie löst man diese DGL? Ich weiß nämlich nicht wie das geht und googeln hilft nicht


   Profil
Erdbeere99
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.05.2021
Mitteilungen: 142
  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17

Man braucht ja eine partikuläre Lösung, damit man dann weiterarbeiten kann. Wie komme ich hier zu einer solchen Lösung bzw was ist die partikuläre Lösung?


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3770
  Beitrag No.14, eingetragen 2022-05-17

\quoteon(2022-05-17 18:10 - Erdbeere99 in Beitrag No. 13) Wie komme ich hier zu einer solchen Lösung bzw was ist die partikuläre Lösung? \quoteoff Du kannst die Gleichgewichtslösung nehmen, also die Lösung mit $c'(t)=0$.


   Profil
Erdbeere99
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.05.2021
Mitteilungen: 142
  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17

Also für c(t) irgendeine Zahl bspw. c(t) =3? Ich brauche ja eine partikuläre Lösung für c und nicht c', dachte ich


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3770
  Beitrag No.16, eingetragen 2022-05-17

\quoteon(2022-05-17 20:59 - Erdbeere99 in Beitrag No. 15) Also für c(t) irgendeine Zahl bspw. c(t) =3? \quoteoff Nein, denn für "irgendeine Zahl" führt die DGL ja nicht auf $c'(t)=0$. Eine konstante Funktion $c(t)=c_0$ löst die DGL genau dann, wenn $ k\,(a-c_0)(b-c_0)=l\,c_0$ gilt.


   Profil
Erdbeere99
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.05.2021
Mitteilungen: 142
  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17

Also muss ich jetzt was tun?


   Profil
Erdbeere99 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Erdbeere99 wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]