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  Berechnung eines reellen Integrals mittels Residuensatz |
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Strandkorb
Aktiv 
Dabei seit: 17.05.2021
Mitteilungen: 528
 |  Themenstart: 2022-05-16
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Hallo zusammen
Ich sollte folgendes Integral berechnen $$\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x(\pi^2-x^2)}dx$$. Nun habe ich als Lösung $\frac{1}{2\pi}$ erhalten, mein TR sagt aber $\frac{1}{\pi}$. Ich sehe leider noch nicht ganz wo der Fehler ist.
Ich hätte es wie folgt gemacht.
Da $f(x)=\frac{\sin(x)}{x(\pi^2-x^2)}$ symmetrisch ist gilt $$\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x(\pi^2-x^2)}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$$. Aus der Eulerschen Formel haben wir auch dass $\sin(x)=\Im\left(e^{ix}\right)$ Also gilt: $$\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\Im\left(\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{x(\pi^2-x^2)}dx\right)$$
Sei nun $g(z)=\frac{e^{iz}}{z(\pi^2-z^2)}=\frac{e^{iz}}{-z(z-\pi)(z+\pi)}$ Dann hat $g$ an $0,\pi, -\pi$ jeweils Polstellen der Ordnung 1.
Betrachten wir nun folgende Vereinigung von Kurven:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54650_IMG_0F4011AF190C-1.jpeg
Mit $\gamma=\gamma_R\cup I_- \cup \gamma_{-\pi,\delta} \cup \gamma_{0,\delta}\cup \gamma_{\pi,\delta}\cup I_+$
Dann folgt aus dem Residuensatz dass $\int_\gamma g(z)dz=0$ Gleichzeitig konnte ich zeigen dass $\int_{\gamma_R}g(z)dz\rightarrow 0$ wenn $R\rightarrow \infty$. Falls nun $\delta \rightarrow 0$ erhalte ich $$\int_{ \gamma_{-\pi,\delta}}g(z)dz=-\pi i~ Res_{-\pi}(g)=\frac{-ie^{-i\pi}}{2\pi}$$ $$\int_{ \gamma_{0,\delta}}g(z)dz=-\pi i~ Res_{0}(g)=\frac{-i}{\pi}$$
$$\int_{ \gamma_{\pi,\delta}}g(z)dz=-\pi i~ Res_{\pi}(g)=\frac{ie^{i\pi}}{2\pi}$$
Daher dachte ich falls $R\rightarrow \infty$ und $\delta \rightarrow 0$ haben wir $$\int_\gamma g(z)dz=\int_{-\infty}^{\infty} g(z)dz-\frac{ie^{-i\pi}}{2\pi}-\frac{i}{\pi}+\frac{ie^{i\pi}}{2\pi}=0$$ Daher $$\int_{-\infty}^\infty g(z)=\frac{ie^{-i\pi}}{2\pi}+\frac{i}{\pi}-\frac{ie^{i\pi}}{2\pi}=\frac{i}{\pi}$$ Nun bin ich der Meinung dass $$\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\Im\left(\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{x(\pi^2-x^2)}dx\right)=\Im\left(\frac{i}{2\pi}\right)=\frac{1}{2\pi}$$
Leider sehe ich hier den Fehler nicht. Könnte mir da jemand helfen wo ich den Rechenfehler gemacht habe?
Vielen Dank
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1415
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
was ist mit den Integralen über $I_-$ und $I_+$?
LG Nico\(\endgroup\)
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Strandkorb
Aktiv
Dabei seit: 17.05.2021
Mitteilungen: 528
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Hallo Nico
Wir hatten in der Vorlesung, dass das Integral über $I_-$ und $I_+$ gegen den principal value von $\int_{-\infty}^\infty g(z)dz$ konvergiert, also also dass es konvergiert gegen $\int_{-\infty}^\infty g(z)dz$
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2398
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-16
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Ich erhalte:
\quoteon(2022-05-16 09:29 - Strandkorb im Themenstart)
$$\int_{ \gamma_{-\pi,\delta}}g(z)dz=-\frac{i}{2\pi}$$ $$\int_{ \gamma_{0,\delta}}g(z)dz=-\frac{i}{\pi}$$
$$\int_{ \gamma_{\pi,\delta}}g(z)dz=-\frac{i}{2\pi}$$
Daher dachte ich falls $R\rightarrow \infty$ und $\delta \rightarrow 0$ haben wir $$\int_\gamma g(z)dz=\int_{-\infty}^{\infty} g(z)dz-\frac{i}{2\pi}-\frac{i}{\pi}-\frac{i}{2\pi}=0$$ Daher $$\int_{-\infty}^\infty g(z)=\frac{2i}{\pi}$$
\quoteoff
Gruß,
Küstenkind
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Strandkorb
Aktiv
Dabei seit: 17.05.2021
Mitteilungen: 528
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Hallo
Oh ja da ist der Fehler. Vielen Dank!
Grüsse
Strandkorb
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