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Schule Berührkreise
ErwinAusB
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  Themenstart: 2022-05-16

Wenn sin \gamma/2=1/4, dann passen die kleinen Kreise mit r=3/8 und großem Kreis mit R=1. Wie beweist man das? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54262_DreiKreiseImKreis.png


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-05-16 17:14 - ErwinAusB im Themenstart) Wenn sin \gamma/2=1/4, dann passen die kleinen Kreise mit r=3/8 und großem Kreis mit R=1. Wie beweist man das? \quoteoff Zeichne dir einmal eine Strecke vom Mittelpunkt des großen Kreises senkrecht nach oben zu dem Punkt, an dem der Winkel \(\gamma\) sitzt. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, an dem man das unmittelbar ablesen kann. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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ErwinAusB
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

Diese Linie mit vielen anderen habe ich schon gezeichnet - ich finde aber m. E. nur, dass dies eine Lösung ist, aber nicht die (einzige) Lösung.


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-05-18 18:02 - ErwinAusB in Beitrag No. 2) Diese Linie mit vielen anderen habe ich schon gezeichnet - ich finde aber m. E. nur, dass dies eine Lösung ist, aber nicht die (einzige) Lösung. \quoteoff Hm, wie soll es hier mehrere Lösungen geben? Die ganze Figur ist doch durch den Radius der kleinen Kreise eindeutig festgelegt. Mit \(r=3/8\) folgt für die kleinen Kreise \(d=3/4\). Damit misst die Gegenkathete zum Winkel \(\gamma/2\) in besagtem Dreieck \(1/4\), woraus der angegebene Sinuswert ja sofort folgt. Vielleicht könntest du ja noch etwas dazu sagen, in welchem Zusammenhang du das Problem betrachtest? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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ErwinAusB
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Das sehe ich auch. Aber folgt daraus sofort, dass der Inkreis des Dreiecks denselben Radius hat? Dafür habe ich nämlich nur eine elende Rechnung, mit der ich nicht zufrieden bin.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-05-19 10:42 - ErwinAusB in Beitrag No. 4) Das sehe ich auch. Aber folgt daraus sofort, dass der Inkreis des Dreiecks denselben Radius hat? Dafür habe ich nämlich nur eine elende Rechnung, mit der ich nicht zufrieden bin. \quoteoff Da kommt jetzt noch der (zweite) Strahlensatz ins Spiel: zunächst sagt uns \(\sin(\gamma/2)=1/4\), dass die halbe Grundseite dieses Dreiecks zu den Schenkeln im Verhältnis \(1:4\) steht. Der Abstand von dem blauen Punkt (warum haben die Punkte keine Namen?) bis zum Berührpunkt des Inkreises muss aus Symmetriegründen gleich groß sein wie die halbe Grundseite. Ergo liegt (und das ist jetzt zweiter Strahlensatz) der Mittelpunkt des Inkreises genau in der Mitte zwischen dem Mittelpunkt des großen Kreises und seiner Peripherie. Bzw. muss aus dem gleichen Grund für diesen Radius gelten: \[\frac{r}{1/4}=\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{3}{8}\] Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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ErwinAusB
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Wenn sin(γ/2)=1/4, dann folgt aus dem Dreieck B2MC wegen sin(γ/2)=1-2r sofort der Wert für r. Dann folgt für die Länge der Strecke M1M auch 1/2. Wie kann man aber r elegant berechnen? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54262_DreiKreisImKreis.png


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-05-19 16:45 - ErwinAusB in Beitrag No. 6) Wenn sin(γ/2)=1/4, dann folgt aus dem Dreieck B2MC wegen sin(γ/2)=1-2r sofort der Wert für r. Dann folgt für die Länge der Strecke M1M auch 1/2. Wie kann man aber r elegant berechnen? \quoteoff Das Problem ist hier auch, dass sich die Aufgabenstellung jedesmal wieder anders darstellt bzw. ändert. Im Startposting war \(r=3/8\) nämlich vorgegeben. Weiters sind leider immer noch nicht alle Punkte benannt... Jedenfalls ist es auch kein Problem, einfach diesen Sinus vorzugeben. Dazu betrachten wir wieder das Dreieck CMB2. Aus dem angegebenen Sinuswert folgt sofort \(\overline{MB_2}=1/4\) und damit für den Radius der beiden außerhalb des Dreiecks liegenden Kreise schonmal \(r=3/8\). Dass und warum der Inkreis den gleichen Radius hat, bekommt man unabhängig davon wie in Beitrag #5 beschrieben. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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ErwinAusB
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Zu Anfang habe ich geschrieben "Wenn sin \gamma/2=1/4...". Wie geht man aber vor, wenn man nur die "leere" Figur wie in der ersten Abbildung vor sich hat. Ich bin übrigens ein alter und ehemaliger Mathelehrer, der nach Lust und Laune in "alten" Aufgabensammlungen stöbert.


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-05-19 17:15 - ErwinAusB in Beitrag No. 8) Zu Anfang habe ich geschrieben "Wenn sin \gamma/2=1/4...". Wie geht man aber vor, wenn man nur die "leere" Figur wie in der ersten Abbildung vor sich hat. \quoteoff Was meinst du mit "leere Figur"? Ich bin von folgendem ausgegangen: man betrachte einen Kreis mit dem Radius \(R=1\). Diesem Kreis sei ein gleichschenkliges Dreieck mit dem der Basis gegenüberliegenden Winkel \(\gamma\) einbeschrieben. Das Dreieck besitzt einen Inkreis. Außerdem ist jedem der außerhalb des Dreiecks liegenden Kreissegmente ein weiterer Kreis einbeschrieben. Im Startbeitrag stand dann die Frage: angenommen, alle drei Kreise haben den Radius \(r=3/8\). Wie zeigt man dann, dass dies genau für \(\sin\left(\gamma/2\right)=1/4\) der Fall ist? In den Beiträgen #4 und #6 machst du dann daraus die Frage: wie ist der Winkel \(\gamma\) zu wählen, so dass alle drei inneren Kreise gleich groß sind, und wie groß ist dann ihr Radius? Und ja: auch das kann man beantworten wie oben ausgeführ: das führt auf \(r=3/8\). Für alles andere bräuchten wir jetzt eine präzise Problembeschreibung. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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ErwinAusB
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Ich bin von der ersten Figur (ohne Benamung) ausgegangen: man betrachte einen Kreis mit dem Radius R=1. Diesem Kreis sei ein gleichschenkliges Dreieck mit dem der Basis gegenüberliegenden Winkel γ einbeschrieben. Das Dreieck besitzt einen Inkreis. Außerdem ist jedem der außerhalb des Dreiecks liegenden Kreissegmente ein weiterer, im Segment symmetrisch liegender Kreis einbeschrieben, der denselben Radius wie der Inkreis hat. Welchen Wert der Radius der kleinen Kreise?


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Caban
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-05-19

Hallo Für eine allgemeine Rechnung kannst du den Znetriwinkelsatz benutzen. Gruß Caban


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo nochmals, ok, damit ist jetzt das Problem klar. Man muss hier dann in der Tat noch mit dem Inkreisradius des Dreiecks arbeiten. Spontane Idee meinerseits hierzu: es gibt Formeln für In- und Umkreis gleichschenkliger Dreiecke in Abhängigkeit der Seitenlängen. Damit könnte man arbeiten, um eine Darstellung für den Radius \(r_2\) des Inkreises in Abhängigkeit vom Winkel \(\gamma\) zu bekommen. Denn das Verhältnis der Seitenlängen des Dreiecks hängt auch ausschließlich von diesem Winkel ab, und man kennt den Umkreisradius \(R=1\) des Dreiecks. Für den Radius der beiden anderen Kreise gilt offensichtlich \(r_1=\frac{1-\sin(\gamma/2)}{2}\). Wenn man jetzt den Radius \(r_2\) ebenfalls in Abhängigkeit von \(\gamma\) vorliegen hat, dann kann man beide gleichsetzen und (hoffentlich) den Wert für den Sinus von \(\gamma/2\) daraus ableiten. Ich habe aber heute wohl keine Zeit mehr, das auszuarbeiten. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]\(\endgroup\)


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Caban
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-05-19

Hallo Ich habe jetzt eine Lösung per Strahlensatz und Winkelbeziehungen. Gruß Caban


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Wario
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-16 17:14 - ErwinAusB im Themenstart) Wenn sin \gamma/2=1/4, dann passen die kleinen Kreise mit r=3/8 und großem Kreis mit R=1. Wie beweist man das? \quoteoff Ich habe das irgendwie nochmal ganz anders niedergekritzelt; aber: Könntest Du bitte mal (für stumpfsinnige Leute wie mich) die Originalaufgabe im Originalwortlaut 1:1 angeben? Ich nehme mal an das gleichschenklige Dreieck ist (neben Umkreisradius und dem Sinuswert) Voraussetzung.


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Caban
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-05-19

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50476_rechnung.png


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cramilu
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-05-19

Caban! Spitze! 🤗 Fast genau auch meine Vorgehensweise. Allerdings war ich just zeitlich unter Beschlag, weil wir hier am Werkstatthof im strömenden Regen einen 1969-er Chrysler herumschieben mussten; defekte Benzinpumpe. 🙄 Ich hatte es über eine Radiengleichsetzung gemacht, aber das Ergebnis bleibt ja das gleiche. 😉


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Wario
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-05-20

Es geht also um jene (maximalen) Kreise, die eine Dreiecksseite (an der Seitenmitte) und den Umkreis berühren: $% Gegebene Größen % Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\a}{5.3} % \pgfmathsetmacro{\R}{3.5} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{55} % \def\Scale{0.75} %% Bsp. aus Aufgabe %\pgfmathsetmacro{\a}{1.936490862139} %\pgfmathsetmacro{\R}{1} % %\pgfmathsetmacro{\Gamma}{28.955024371859847757542069} % %\def\Scale{3} %% Anderes gleichschenkliges Dreieck (stumpfwinklig) %\pgfmathsetmacro{\a}{2} %\pgfmathsetmacro{\R}{1.511857892037} % %\pgfmathsetmacro{\Gamma}{97.180755781458} % %\def\Scale{2} % %% Anderes gleichschenkliges Dreieck %\pgfmathsetmacro{\a}{2} %\pgfmathsetmacro{\R}{1.281025230441} % %\pgfmathsetmacro{\Gamma}{77.364374906979} % %\def\Scale{2} \pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} % \pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} % \pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} % \pgfmathsetmacro{\rx}{\R*sin(\Alpha/2)^2} % \pgfmathsetmacro{\ry}{\R*sin(\Beta/2)^2} % \pgfmathsetmacro{\rz}{\R*sin(\Gamma/2)^2} % \pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % \pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % \pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} % Tests \pgfmathsetmacro{\rDIVrx}{\r/\rx} \pgfmathsetmacro{\cDIVa}{2*\c/\a} \pgfmathsetmacro{\ma}{\R*abs(cos(\Alpha))} \pgfmathsetmacro{\mb}{\R*abs(cos(\Beta))} \pgfmathsetmacro{\mc}{\R*abs(cos(\Gamma))} \pgfmathsetmacro{\XMa}{\R-\ma} \pgfmathsetmacro{\XMb}{\R-\mb} \pgfmathsetmacro{\XMc}{\R-\mc} \pgfmathsetmacro{\XMas}{\R*sin(\Alpha/2)^2} \pgfmathsetmacro{\XMbs}{\R*sin(\Beta/2)^2} \pgfmathsetmacro{\XMcs}{\R*sin(\Gamma/2)^2} \pgfmathsetmacro{\XMass}{\R*(1-abs(1-2*sin(\Alpha/2)^2))} \pgfmathsetmacro{\XMbss}{\R*(1-abs(1-2*sin(\Beta/2)^2))} \pgfmathsetmacro{\XMcss}{\R*(1-abs(1-2*sin(\Gamma/2)^2))} \begin{tikzpicture}[scale=\Scale, font=\footnotesize, >=latex, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Dreieckskonstruktion \coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Umkreis \pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} % \pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} % \pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} % \pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} % \pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} % \pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} % \pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} % \coordinate[label=left:$U$] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); %\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} % \draw[] (U) circle[radius=\R]; % Inkreis \pgfmathsetmacro{\ai}{\a/(2*\s)} % \pgfmathsetmacro{\bi}{\b/(2*\s)} % \pgfmathsetmacro{\ci}{\c/(2*\s)} % \coordinate[label=0:$I$] (I) at ($\ai*(A)+\bi*(B)+\ci*(C)$); \draw[] (I) circle[radius=\r]; %\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (I) -- (\P); % Seitenmitten \coordinate[label=right:$M_a$] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$); \coordinate[label=right:$M_b$] (Mb) at ($(A)!0.5!(C)$); \coordinate[label=-135:$M_c$] (Mc) at ($(A)!0.5!(B)$); % Berührkreise \draw[] (U) -- ($(U)!\R cm!(Ma)$) coordinate[label=right:$X$](X); \path[] (Ma) -- ($(Ma)!0.5!(X)$) coordinate[label=](Mx); \draw[red] (Mx) circle[radius=\rx]; \draw[red,->] (Mx) -- +(99:\rx) node[pos=0.4, left, inner sep=1pt]{$r_x$}; \draw[] (U) -- ($(U)!\R cm!(Mb)$) coordinate[label=left:$Y$](Y); \path[] (Mb) -- ($(Mb)!0.5!(Y)$) coordinate[label=](My); \draw[red] (My) circle[radius=\ry]; \draw[red,->] (My) -- +(33:\ry) node[pos=0.7, left]{$r_y$}; \pgfmathsetmacro\RR{\Gamma > 90 ? -\R : \R} \draw[] (U) -- ($(U)!\RR cm!(Mc)$) coordinate[label=below:$Z$](Z); \path[] (Mc) -- ($(Mc)!0.5!(Z)$) coordinate[label=](Mz); \draw[red] (Mz) circle[radius=\rz]; \draw[red,->] (Mz) -- +(33:\rz) node[pos=0.5, below]{$r_z$}; % Punkte \pgfmathsetlengthmacro\Pointsize{1.5pt/\Scale} \foreach \P in {U, I, Ma,Mb,Mc, Mx,My,Mz, X,Y,Z} \draw[fill=black!1] (\P) circle (\Pointsize); % Annotationen - Rechnung \node[yshift=0mm, xshift=1*\R cm+0mm, anchor=north west, draw, align=left, fill=lightgray!50, ] at (C) { $\begin{array}{l l} a = \a \text{ cm} \\ b = \pgfmathprintnumber[precision=0]{\b} \text{ cm} \\ c = \pgfmathprintnumber[precision=1]{\c} \text{ cm} \\ \hline \alpha = \Alpha^\circ \\ \beta = \Beta^\circ \\ \gamma = \Gamma^\circ \\ \hline r = \r \text{ cm} \\ R = \R \text{ cm} \\ \hline r_x = \rx \text{ cm} \\ r_y = \ry \text{ cm} \\ r_z = \rz \text{ cm} \\ \hline %\text{Test:} \\ %\dfrac{r}{r_x} = \rDIVrx \\[1em] %\dfrac{2c}{a}= \cDIVa \\ \hline %m_a = \ma \text{ cm} \\ %m_b = \mb \text{ cm} \\ %m_c = \mc \text{ cm} \\ %|XM_a| = \XMa \text{ cm} \\ %|XM_b| = \XMb \text{ cm} \\ %|XM_c| = \XMc \text{ cm} \\ %|XM_a|' = \XMas \text{ cm} \\ %|XM_b|' = \XMbs \text{ cm} \\ %|XM_c|' = \XMcs \text{ cm} \\ %|XM_a|'' = \XMass \text{ cm} \\ %|XM_b|'' = \XMbss \text{ cm} \\ %|XM_c|'' = \XMcss \text{ cm} \\ %%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\ \end{array}$ }; \end{tikzpicture}$ (1) Sei $R$ der Umkreisradius, dann ist Satz: Für die Abstände der Seitenmitten ($M_a, M_b, M_c$) zu den Berührpunkten ($X, Y, Z$) auf dem Umkreis (m.a.W. für die Durchmesser der betrachteten Berührkreise) ist $\begin{array}{l l l} |XM_a| =R\left(1-|\cos(\alpha)|\right),~~ & |YM_b| =R\left(1-|\cos(\beta)|\right),~~ & |ZM_c| =R\left(1-|\cos(\gamma)|\right). \end{array}$ \showon Beweis. Sei $U$ der Umkreismittelpunkt, dann ist $% Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\c}{7} \pgfmathsetmacro{\Alpha}{44} \pgfmathsetmacro{\Beta}{60} % Seitenlängen \pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Alpha-\Beta} \pgfmathsetmacro{\a}{\c*sin(\Alpha)/sin(\Gamma)} % \pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a*\a +\c*\c -2*\a*\c*cos(\Beta))} % \pgfmathsetmacro{\R}{\a/(2*sin(\Alpha))} % \pgfmathsetmacro{\McU}{\R*abs(cos(\Gamma))} % \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle, ] % Dreieckskonstruktion %\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0); \coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Umkreis \draw[red] ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=-90:$M_c$] (Mc) -- +(90:\McU) coordinate[label=110:$U$](U) node[midway, right] {$|M_cU|=:m_c$}; \draw[densely dashed, red] (U) -- (A) node[midway, above] {$R$};; \draw[] (U) circle[radius=\R]; \draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\cdot$", red ] {angle =U--Mc--A}; % Annotationen - Dreieck \draw[thick] (A) -- (B) node[pos=0.25, below]{$c/2$} node[pos=0.75, below]{$c/2$}; \draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\alpha$", thick ] {angle =B--A--C}; \draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\beta$", thick ] {angle =C--B--A}; \draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\gamma$", thick ] {angle =A--C--B}; \draw[-latex] (U) -- +(44:\R) node[near end, above]{$R$}; %\node[anchor=north west, yshift=-10mm, inner sep=0pt, draw=none, %fill=black!1 %] at (dreieck.south west){ %$\begin{array}{l l} %\multicolumn{2}{l}{ \textbf{Hinweis: } % \dfrac{a}{\sin(\alpha)} % =\dfrac{b}{\sin(\beta)} % =\dfrac{c}{\sin(\gamma)} =2R ~~\text{(Sinussatz)} } \\[1em] % %|M_cU|^2 =m_c^2\hspace{-3mm}& =R^2-\left(\dfrac{c}{2}\right)^2 \\[0.75em] %&= R^2 - \bigl( R \sin (\gamma)\bigr)^2 = R^2 \bigl(1-\sin^2(\gamma) \bigr) =R^2\cos^2(\gamma) \\[1em] %&= \left(\dfrac{c}{2\sin(\gamma)}\right)^2\cos^2(\gamma) % = \left(\dfrac{c}{2\tan(\gamma)}\right)^2 \\[1.5em] % %\multicolumn{2}{l}{ \Rightarrow \boxed{|M_cU| = m_c %= \sqrt{R^2-\left(\dfrac{c}{2}\right)^2 } %= R|\cos(\gamma)| = \dfrac{c}{2|\tan(\gamma)|}} } \\[2em] %\end{array}$ %}; %% Punkte \foreach \P in {U, Mc} \draw[fill=black!1, draw=red] (\P) circle (1.75pt); \end{tikzpicture}$ Es ist $\boxed{ \dfrac{a}{\sin(\alpha)} =\dfrac{b}{\sin(\beta)} =\dfrac{c}{\sin(\gamma)} =2R }$ (erweiterter Sinussatz) \showon Beweis. Der erweiterte Sinussatz folgt als Kombination von Umfangswinkelsatz und dem Satz des Thales. Man entliest der Abbildung $ \sin(\gamma) = \dfrac{c}{2R}$, also zusammen mit dem Sinussatz $ \dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)} = 2R. $ $% Gegebene Größen % ....... % Seitenlängen \pgfmathsetmacro{\a}{5.5} % \pgfmathsetmacro{\b}{3.5} % \pgfmathsetmacro{\c}{5} % \pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}} \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Dreieckskonstruktion \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Umkreis \pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % \pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % \pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} % \pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} % \pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} % \pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} % \pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} % \pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} % \pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} % \coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); \pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} % \draw[] (U) circle[radius=\R]; \path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$}; % Umfangswinkelsatz \draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\gamma$" ] {angle =A--C--B}; % Satz des Thales \draw[red] (B) -- (U) node[midway, below]{$R$} -- ($(U)!-\R cm!(B)$) node[midway, below]{$R$} coordinate[Punkt={above}{P}](P) -- (A); \draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\cdot$", red ] {angle =B--A--P}; \draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\gamma$" ] {angle =A--P--B}; %% Mittelsenkrechte %\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma); %\draw[thick] (U) -- ($(A)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{M_b}] (Mb); %\draw[thick] (U) -- ($(A)!(U)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{M_c}] (Mc); %% Winkel %\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2, %draw, "$\cdot$" %] {angle =A--Mb--U}; %\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2, %draw, "$\cdot$" %] {angle =B--Mc--U}; %\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2, %draw, "$\cdot$" %] {angle =C--Ma--U}; %% Annotationen - Aufgabe %\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} % %\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}] %% Strecken %\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,b/b,c/c}{%% %\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm %};}%% %\end{scope} %% Winkel %\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} % %\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R); %\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3, %% pic text={$\alpha$}, pic text options={}, %"$\alpha$", %] {angle =R--Q--P}; %% Annotationen - Rechnung %\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}} %\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}} %\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50, %PosUnten, %%PosLinks, %]{ %$\begin{array}{l l} %a = \a \text{ cm} & \\ %b = \b \text{ cm} & (1) \\ %c = \c \text{ cm} & (3) \\ %\alpha = \Alpha^\circ & (4) \\ %%\beta = \Beta^\circ & (5) \\ %%\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\ %%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\ %\end{array}$ %}; %% Punkte \foreach \P in {U, P, C} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt); \end{tikzpicture} $ \showoff $\begin{array}{l l} \Rightarrow~ |UM_c|^2 \hspace{-3mm}& =R^2-\left(\dfrac{c}{2}\right)^2 \\[0.75em] &= R^2 - \bigl( R \sin (\gamma)\bigr)^2 = R^2 \bigl(1-\sin^2(\gamma) \bigr) =R^2\cos^2(\gamma) \\[1em] &= \left(\dfrac{c}{2\sin(\gamma)}\right)^2\cos^2(\gamma) = \left(\dfrac{c}{2\tan(\gamma)}\right)^2 \\[1.5em] \end{array}$ $~\Rightarrow \boxed{ |UM_c| =\sqrt{ R^2-\left(\dfrac{c}{2}\right)^2 } =R|\cos(\gamma)| =\dfrac{c}{2|\tan(\gamma)|} }$ Also wird $|ZM_c| =R -|UM_c| =R -R|\cos(\gamma)| =R \bigl(1-|\cos(\gamma)| \bigr) $ Hinweis: Da $\cos(x)\geq 0$ für $0hier) gilt, lässt sich der Ausdruck für spitzwinklige und rechtwinklige (nicht aber für stumpfwinklige) Dreiecke zu $\boxed{ |ZM_c| =2R\sin^2\left( \dfrac{\gamma}{2} \right) }$ vereinfachen. \showoff Für die zugehörigen Radien $\dfrac{|XM_a|}{2} =:r_x$, $\dfrac{|YM_b|}{2} =:r_y$ und $\dfrac{|ZM_c|}{2} =:r_z$ wird entsprechend $\boxed{ \begin{array}{l l l} r_x =\dfrac{R}{2}\left(1-|\cos(\alpha)|\right),~~ & r_y =\dfrac{R}{2}\left(1-|\cos(\beta)|\right),~~ & r_z =\dfrac{R}{2}\left(1-|\cos(\gamma)|\right). \end{array} }$ (2) Für den Sonderfall eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $c$ und den Schenkeln $a=b$ wird auch $r_x =r_y$: $% Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\a}{5.6} % \pgfmathsetmacro{\R}{3.5} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{55} % \def\Scale{1} %% Bsp. aus Aufgabe %\pgfmathsetmacro{\a}{1.936490862139} %\pgfmathsetmacro{\R}{1} % %\pgfmathsetmacro{\Gamma}{28.955024371859847757542069} % %\def\Scale{3} %% Anderes gleichschenkliges Dreieck (stumpfwinklig) %\pgfmathsetmacro{\a}{2} %\pgfmathsetmacro{\R}{1.511857892037} % %\pgfmathsetmacro{\Gamma}{97.180755781458} % %\def\Scale{2} % Anderes gleichschenkliges Dreieck \pgfmathsetmacro{\a}{2} \pgfmathsetmacro{\R}{1.281025230441} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{77.364374906979} % \def\Scale{2} \pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} % \pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} % \pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} % \pgfmathsetmacro{\rx}{\R*sin(\Alpha/2)^2} % \pgfmathsetmacro{\ry}{\R*sin(\Beta/2)^2} % \pgfmathsetmacro{\rz}{\R*sin(\Gamma/2)^2} % \pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % \pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % \pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} \pgfmathsetmacro{\rDIVrx}{\r/\rx} \pgfmathsetmacro{\cDIVa}{2*\c/\a} \begin{tikzpicture}[scale=\Scale, font=\footnotesize, >=latex, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Dreieckskonstruktion \coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Umkreis \pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} % \pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} % \pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} % \pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} % \pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} % \pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} % \pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} % \coordinate[label=left:$U$] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); %\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} % \draw[] (U) circle[radius=\R]; % Inkreis \pgfmathsetmacro{\ai}{\a/(2*\s)} % \pgfmathsetmacro{\bi}{\b/(2*\s)} % \pgfmathsetmacro{\ci}{\c/(2*\s)} % \coordinate[Punkt={above=4pt}{I}] (I) at ($\ai*(A)+\bi*(B)+\ci*(C)$); \draw[] (I) circle[radius=\r]; %\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (I) -- (\P); % Seitenmitten \coordinate[label=right:$M_a$] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$); \coordinate[label=right:$M_b$] (Mb) at ($(A)!0.5!(C)$); \coordinate[label=-135:$M_c$] (Mc) at ($(A)!0.5!(B)$); % Berührkreise \draw[] (U) -- ($(U)!\R cm!(Ma)$) coordinate[label=right:$X$](X); \path[] (Ma) -- ($(Ma)!0.5!(X)$) coordinate[label=](Mx); \draw[red] (Mx) circle[radius=\rx]; \draw[red,->] (Mx) -- +(99:\rx) node[pos=0.4, left, inner sep=1pt]{$r_x$}; \draw[] (U) -- ($(U)!\R cm!(Mb)$) coordinate[label=left:$Y$](Y); \path[] (Mb) -- ($(Mb)!0.5!(Y)$) coordinate[label=](My); \draw[red] (My) circle[radius=\ry]; \draw[red,->] (My) -- +(33:\ry) node[pos=0.7, left]{$r_y$}; \pgfmathsetmacro\RR{\Gamma > 90 ? -\R : \R} \draw[] (U) -- ($(U)!\RR cm!(Mc)$) coordinate[label=below:$Z$](Z); \path[] (Mc) -- ($(Mc)!0.5!(Z)$) coordinate[label=](Mz); \draw[red] (Mz) circle[radius=\rz]; \draw[red,->] (Mz) -- +(33:\rz) node[pos=0.5, below]{$r_z$}; % Punkte \pgfmathsetlengthmacro\Pointsize{1.5pt/\Scale} \foreach \P in {U, I, Ma,Mb,Mc, Mx,My,Mz, X,Y,Z} \draw[fill=black!1] (\P) circle (\Pointsize); % Annotationen - Rechnung \node[yshift=0mm, xshift=2.5*\R cm+0mm, anchor=north west, draw, align=left, fill=lightgray!50, ] at (C) { $\begin{array}{l l} a = \a \text{ cm} \\ b = \pgfmathprintnumber[precision=0]{\b} \text{ cm} \\ c = \pgfmathprintnumber[precision=1]{\c} \text{ cm} \\ \hline \alpha = \Alpha^\circ \\ \beta = \Beta^\circ \\ \gamma = \Gamma^\circ \\ \hline r = \r \text{ cm} \\ R = \R \text{ cm} \\ \hline r_x = \rx \text{ cm} \\ r_y = \ry \text{ cm} \\ r_z = \rz \text{ cm} \\ \hline %\text{Test:} \\ \dfrac{r}{r_x} = \rDIVrx \\[1em] \dfrac{2c}{a}= \cDIVa \\ %\multicolumn{2}{l}{aaa} \\ \end{array}$ }; \end{tikzpicture}$ Satz: Im Falle eines gleichschenklig-spitzwinkligen Dreiecks mit den Schenkeln $a=b$ gilt für das Verhältnis von Inkreisradius $r$ und dem Berührkreisradius $r_x=r_y$ die Beziehung $\boxed{ \dfrac{r}{r_x} =4\sin\left( \dfrac{\gamma}{2} \right) }$. \showon Beweis. · Es kann die, im anderen Beweis erwähnte, Vereinfachung $\dfrac{|XM_a|}{2} =r_x =R\sin^2\left( \dfrac{\alpha}{2} \right)$ verwendet werden. Sei $F$ die Dreiecksfläche und $s=\dfrac{a+b+c}{2}.$ · Für den Inkreisradius $r$ gilt die Beziehung $ \boxed{ F=sr }$ \showon Beweis. Die Beziehung folgt sofort aus der Flächenbilanz $ F = \dfrac{a\cdot r}{2} + \dfrac{b\cdot r}{2} + \dfrac{c\cdot r}{2} = r\cdot \left( \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{2} \right)\hspace{2cm}\square$ $ % Seitenlängen \pgfmathsetmacro{\a}{4} % \pgfmathsetmacro{\b}{5.5} % \pgfmathsetmacro{\c}{6} % % Inkreis \pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % \pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % \pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} % \pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}} \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Dreieckskonstruktion \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen \path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$}; \path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; \path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$}; % Inkreis \pgfmathsetmacro{\ai}{\a/(2*\s)} % \pgfmathsetmacro{\bi}{\b/(2*\s)} % \pgfmathsetmacro{\ci}{\c/(2*\s)} % \coordinate[Punkt={above=4pt}{}] (I) at ($\ai*(A)+\bi*(B)+\ci*(C)$); \draw[thick] (I) circle[radius=\r]; \foreach \P in {A,B,C} \draw[] (I) -- (\P); % Radien \draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(B)$) coordinate(Ic) node[midway, right]{$r$}; \draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(C)$) coordinate(Ia) node[midway, below]{$r$}; \draw[] (I) -- ($(B)!(I)!(C)$) coordinate(Ib) node[midway, below]{$r$}; % Winkel \draw pic [angle radius=3mm, "$\cdot$", draw, ] {angle =A--Ia--I}; \draw pic [angle radius=3mm, "$\cdot$", draw, ] {angle =I--Ib--B}; \draw pic [angle radius=3mm, "$\cdot$", draw, ] {angle =I--Ic--A}; %% Annotationen - Aufgabe %\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} % %\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}] %% Strecken %\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,b/b,c/c}{%% %\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm %};}%% %\end{scope} %% Winkel %\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} % %\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R); %\draw pic [angle radius=7mm, %"$\alpha$", draw, %] {angle =R--Q--P}; %% Annotationen %\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}} %\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}} %\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50, %PosUnten, %%PosLinks, %]{ %$\begin{array}{l l} %a = \a \text{ cm} & \\ %b = \b \text{ cm} & (1) \\ %c = \c \text{ cm} & (3) \\ %\alpha = \Alpha^\circ & (4) \\ %%\beta = \Beta^\circ & (5) \\ %%\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\ %%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\ %\end{array}$ %}; %% Punkte \foreach \P in {I} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt); \end{tikzpicture} $ \showoff · Für den Umkreisradius $R$ gilt die Beziehung $ \boxed{ F=\dfrac{abc}{4R} }$ \showon Beweis. Nach dem Gesagten ist $ R =\dfrac{a}{2\,\sin(\alpha)}. $ $\Rightarrow~ R\cdot F = \dfrac{a}{2\,\sin(\alpha)} \cdot \dfrac{b\, c}{2}\,\sin(\alpha) = \dfrac{a\, b\, c}{4} \hspace{2cm}\square$ \showoff · Nach der Heronschen Formel ist $\boxed{ F =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}. }$ \showon Beweis. Für den halben Dreiecksumfang $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ gelten die Beziehungen $ s-a=\dfrac{b+c-a}{2}$, $ s-b=\dfrac{a+c-b}{2}$, $ s-c=\dfrac{a+b-c}{2}.$ $% Seitenlängen \pgfmathsetmacro{\a}{3} % \pgfmathsetmacro{\b}{4.3} % \pgfmathsetmacro{\c}{5} % \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Dreieckskonstruktion \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Höhe einzeichnen \draw[red] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[Punkt={right}{}] (Hc) node[midway, right]{$h$}; % Winkel \draw pic [angle radius=0.1*\a cm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\cdot$", red ] {angle =C--Hc--A}; % Seiten \path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$}; \path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; \path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$}; \path[red] (A) -- (Hc) node[midway, above]{$p$}; \path[red] (B) -- (Hc) node[midway, above]{$(c-p)$}; %% Annotationen - Aufgabe %\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} % %\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}] %% Strecken %\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,b/b,c/c}{%% %\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm %};}%% %\end{scope} %% Winkel %\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} % %\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R); %\draw pic [angle radius=7mm, %"$\alpha$", draw, %] {angle =R--Q--P}; % % %% Annotationen %\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}} %\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}} %\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50, %PosUnten, %%PosLinks, %]{ %$\begin{array}{l l} %a = \a \text{ cm} & \\ %b = \b \text{ cm} & (1) \\ %c = \c \text{ cm} & (3) \\ %\alpha = \Alpha^\circ & (4) \\ %%\beta = \Beta^\circ & (5) \\ %%\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\ %%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\ %\end{array}$ %}; % %% Punkte %\foreach \P in {Ma} %\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt); \end{tikzpicture} $ Aus der Figur entliest man $ b^2=h^2+p^2$ und $ a^2=h^2+(c-p)^2.$ $\Rightarrow~ a^2-b^2=c^2-2cp ~\Leftrightarrow~ p = \dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2c}$ $\begin{array}{l l l} \Rightarrow~ h^2 = b^2-p^2 &= b^2 - \left(\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2c} \right) \\[1em] &= \left(b+\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2c} \right) \cdot \left(b-\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2c} \right) &{}\hspace{1cm}\textsf{[3. binom. Formel]} \\[1em] &= \dfrac{2bc-a^2+b^2+c^2}{2c} \cdot \dfrac{2bc+a^2-b^2-c^2}{2c} \\[1em] &= \dfrac{(b+c)^2-a^2}{2c} \cdot \dfrac{a^2-(b-c)^2}{2c} &{}\hspace{1cm}\textsf{[1./2. binom. Formel]} \\[1em] &= \dfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{2c} \cdot \dfrac{(a-b+c)(a+b-c)}{2c} &{}\hspace{1cm}\textsf{[3. binom. Formel]} \\[1em] &= \dfrac{2s\cdot 2(s-a)}{2c} \cdot \dfrac{2(s-b)\cdot 2(s-c)}{2c} \\[1em] &= \dfrac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2} \end{array}$ Damit wird mit der Flächenformel $\begin{array}{l l l} F^2 =\left(\dfrac{c}{2}\cdot h \right)^2 =\dfrac{c^2}{4} \cdot h^2 &=\dfrac{c^2}{4} \cdot\dfrac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2} \\[0.5em] &=s(s-a)(s-b)(s-c) & \square \end{array}$ \showoff · Es gilt die Halbwinkelformel $\boxed{ \sin\left(\dfrac{\alpha}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{(s-b)(s-c)}{bc} } }$ \showon Beweis. $\begin{array}{|l l l|} \hline & & {} \\[-0.75em] \sin\left(\dfrac{\alpha}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{(s-b)(s-c)}{bc} }, & \sin\left(\dfrac{\beta}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{(s-a)(s-c)}{ac} }, & \sin\left(\dfrac{\gamma}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{(s-a)(s-b)}{ab} } \\[1.5em] \cos\left(\dfrac{\alpha}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{s(s-a)}{bc} }, & \cos\left(\dfrac{\beta}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{s(s-b)}{ac} }, & \cos\left(\dfrac{\gamma}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{s(s-c)}{ab} } \\[1.5em] \tan\left(\dfrac{\alpha}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)} }, & \tan\left(\dfrac{\beta}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)} }, & \tan\left(\dfrac{\gamma}{2} \right) = \sqrt{ \dfrac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)} } \\[1em] \text{wobei}~ s =\dfrac{a+b+c}{2} & \\ \hline \end{array}$ · Es ist $2\, \cos^2\left(\dfrac{x}{2} \right) = 1+\cos(x)$ (siehe hier) und nach dem Kosinussatz $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha)$. $\begin{array}{l l} \Rightarrow~~ 2\, \cos^2\left(\dfrac{\alpha}{2} \right) &= 1+\cos(\alpha) = 1+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} = \dfrac{b^2+c^2+2bc-a^2}{2 b c} \\[1em] &= \dfrac{(b+c)^2-a^2}{2 b c} = \dfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{2 b c} = \dfrac{2s\cdot 2(s-a)}{2 b c} \end{array}$ Damit erhält man die Halbwinkelformeln $\begin{array}{l l l} \cos\left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{ \dfrac{s(s-a)}{bc} }, & \cos\left(\dfrac{\beta}{2} \right) = \sqrt{ \dfrac{s(s-b)}{ac} }, & \cos\left(\dfrac{\gamma}{2} \right) = \sqrt{ \dfrac{s(s-c)}{ab} } \end{array}$ · Es ist $ 2\, \sin^2\left(\dfrac{x}{2} \right) = 1-\cos(x)$ (siehe hier) und nach dem Kosinussatz $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha)$ $\begin{array}{l l} \Rightarrow~~ 2\, \sin^2\left(\dfrac{\alpha}{2} \right) &= 1-\cos(\alpha) = 1-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} = \dfrac{-(b^2+c^2-2bc)+a^2}{2 b c} \\[1em] &= \dfrac{a^2-(b-c)^2}{2 b\cdot c} = \dfrac{(a+b-c)(a-b+c)}{2 b c} = \dfrac{2(s-b)\cdot 2(s-c)}{2 b c} \end{array}$ Damit erhält man die Halbwinkelformeln $\begin{array}{l l l} \sin\left(\dfrac{\alpha}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{(s-b)(s-c)}{bc} }, & \sin\left(\dfrac{\beta}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{(s-a)(s-c)}{ac} }, & \sin\left(\dfrac{\gamma}{2} \right) =\sqrt{ \dfrac{(s-a)(s-b)}{ab} } \end{array}$ $\cdot$ Es ist $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ und die o.g. Halbwinkelbeziehungen $\begin{array}{l l} \Rightarrow~~ \tan\left(\dfrac{\alpha}{2} \right) &= \dfrac{\sin\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)}{\cos\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} = \dfrac{\sqrt{ \dfrac{(s-b)(s-c)}{bc} }} {\sqrt{ \dfrac{s(s-a)}{bc} } } = \sqrt{ \dfrac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)} } \end{array}$ Damit erhält man die Halbwinkelformeln $\begin{array}{l l l} \tan\left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{ \dfrac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)} }, & \tan\left(\dfrac{\beta}{2} \right) = \sqrt{ \dfrac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)} }, & \tan\left(\dfrac{\gamma}{2} \right) = \sqrt{ \dfrac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)} } \end{array}$ \showoff · In einem gleichschenkligen Dreieck gilt für die Basis $c$ die Beziehung $c =2\, a\, \sin\left( \dfrac{\gamma}{2} \right).$ \showon Beweis. Die Beziehung $ \sin\left( \dfrac{\gamma}{2} \right) =\dfrac{c/2}{a} $ folgt ohne Weiteres, da die Höhe über der Basis den Winkel an der Spitze halbiert; was wiederum direkt aus einer Winkelbetrachtung folgt. $% Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\a}{3.5} % \pgfmathsetmacro{\b}{3.5} % \pgfmathsetmacro{\c}{2.5} % \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % \pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}} \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] % Dreieckskonstruktion \coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0); \coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Annotationen - Dreieck \path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$a$}; \path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; % Höhe hc \draw[] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[](Hc); \path[] (A) -- (Hc) node[midway, below, inner sep=1pt]{$c/2$}; \path[] (B) -- (Hc) node[midway, below, inner sep=1pt]{$c/2$}; % Winkel \draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3, "$\cdot$", ] {angle =C--Hc--A}; \draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3, "$\alpha$", ] {angle =B--A--C}; \draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3, "$\alpha$", ] {angle =C--B--A}; \draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75, "$\frac{\gamma}{2}$", ] {angle =A--C--Hc}; \draw pic [draw, angle radius=9mm, angle eccentricity=0.75, "$\frac{\gamma}{2}$", ] {angle =Hc--C--B}; %% Punkte \foreach \P in {Hc} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt); %% Annotationen - Aufgabe %\pgfmathsetmacro{\x}{min(\a, \b,\c)} % %\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-5mm,0)$)}] %% Strecken %\tikzset{YShift/.style={yshift=-1 cm}} %\foreach[count=\y from 0] \s in {a,b}{%% %\draw[|-|, yshift=-\y*6mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\s$%= \csname s\s \endcsname{} cm %}; %}%% %\end{scope} %% Winkel %\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha} %\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} % %\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R); %\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3, %% pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, %"$\alpha$", %] {angle =R--Q--P}; %% Annotationen - Rechnung %\node[yshift=-5mm, anchor=north west, %draw, align=left, fill=lightgray!50, %] at (A) { %$\begin{array}{l l} %a = \a \text{ cm} & \\ %b = \b \text{ cm} & (1) \\ %c = \c \text{ cm} & (3) \\ \hline %\alpha = \Alpha^\circ & (5) \\ %\beta = \Beta^\circ & (4) \\ %\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\ \hline %%\multicolumn{2}{l}{aaa} \\ %\end{array}$ %}; \end{tikzpicture}$ \showoff Damit wird (im Falle des gleichschenklig-spitzwinkligen Dreiecks mit $a=b$) $\begin{array}{l l l} \dfrac{r}{r_x} &=\dfrac{\dfrac{F}{s}}{R\,\sin^2\left( \dfrac{\alpha}{2} \right)} &=\dfrac{\dfrac{F}{s}} {\dfrac{abc}{4F}\,\sin^2\left( \dfrac{\alpha}{2} \right)} \\[1em] &=\dfrac{4F^2}{s\, abc\, \sin^2\left( \dfrac{\alpha}{2} \right)} &=\dfrac{ 4s(s-a)(s-b)(s-c)}{s\, abc\, \dfrac{(s-b)(s-c)}{bc} } \\[1em] &=\dfrac{4(s-a)}{a} \\[1em] &=\dfrac{4\left( \dfrac{a+b+c}{2} -a \right)}{a} &=\dfrac{4\left( \dfrac{2a+c}{2} -a \right)}{a} \\[1em] &=\dfrac{2c}{a} %\\[1em] &=\dfrac{2\cdot 2a\, \sin\left( \dfrac{\gamma}{2} \right)}{a} \\[1em] &=4\sin\left( \dfrac{\gamma}{2} \right) =\dfrac{r}{r_x} \end{array}$ \showoff (3) Bei der Aufgabe hier ist bekannt · gleichschenklig-spitzwinkliges Dreieck (muss vorausgesetzt werden) · Umkreisradius $R=1$ · $\sin\left( \dfrac{\gamma}{2} \right) =\dfrac{1}{4}$ Gemäß (2) wird $\dfrac{r}{r_x} =4\sin\left( \dfrac{\gamma}{2} \right) =4\cdot \dfrac{1}{4} =1 ~\Leftrightarrow~ r = r_x. $ Und da $2\alpha+\gamma=180^\circ ~\Leftrightarrow~ \alpha =90^\circ-\dfrac{\gamma}{2} $ wird mit Hilfe der unter (1) genannten Formel $\begin{array}{l l l} r_x &=\dfrac{R}{2}\left(1-|\cos(\alpha)|\right) &=\dfrac{1}{2}\left( 1-\left|\cos\left( 90^\circ-\dfrac{\gamma}{2} \right)\right|\right) \\ &=\dfrac{1}{2}\left( 1-\left|\sin\left( \dfrac{\gamma}{2} \right)\right|\right) &=\dfrac{1}{2}\left( 1-\left|\dfrac{1}{4}\right|\right) \\[0.5em] &=\dfrac{3}{8} \end{array}$ $% Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\a}{5.6} % \pgfmathsetmacro{\R}{3.5} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{55} % \def\Scale{1} % Bsp. aus Aufgabe \pgfmathsetmacro{\a}{1.93649} \pgfmathsetmacro{\R}{1} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{28.955024} % \def\Scale{3} %% Anderes gleichschenkliges Dreieck (stumpfwinklig) %\pgfmathsetmacro{\a}{2} %\pgfmathsetmacro{\R}{1.511857} % %\pgfmathsetmacro{\Gamma}{97.180755} % %\def\Scale{2} %% Anderes gleichschenkliges Dreieck %\pgfmathsetmacro{\a}{2} %\pgfmathsetmacro{\R}{1.281025230441} % %\pgfmathsetmacro{\Gamma}{77.364374906979} % %\def\Scale{2} \pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} % \pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} % \pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} % \pgfmathsetmacro{\rx}{\R*sin(\Alpha/2)^2} % \pgfmathsetmacro{\ry}{\R*sin(\Beta/2)^2} % \pgfmathsetmacro{\rz}{\R*sin(\Gamma/2)^2} % \pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % \pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % \pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} \pgfmathsetmacro{\rDIVrx}{\r/\rx} \pgfmathsetmacro{\cDIVa}{2*\c/\a} \begin{tikzpicture}[scale=\Scale, font=\footnotesize, >=latex, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Dreieckskonstruktion \coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Umkreis \pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} % \pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} % \pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} % \pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} % \pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} % \pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} % \pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} % \coordinate[label=$U$] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); %\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} % \draw[] (U) circle[radius=\R]; % Inkreis \pgfmathsetmacro{\ai}{\a/(2*\s)} % \pgfmathsetmacro{\bi}{\b/(2*\s)} % \pgfmathsetmacro{\ci}{\c/(2*\s)} % \coordinate[label=0:$I$] (I) at ($\ai*(A)+\bi*(B)+\ci*(C)$); \draw[] (I) circle[radius=\r]; %\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (I) -- (\P); % Seitenmitten \coordinate[label=right:$M_a$] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$); \coordinate[label=right:$M_b$] (Mb) at ($(A)!0.5!(C)$); \coordinate[label=45:$M_c$] (Mc) at ($(A)!0.5!(B)$); % Berührkreise \draw[] (U) -- ($(U)!\R cm!(Ma)$) coordinate[label=right:$X$](X); \path[] (Ma) -- ($(Ma)!0.5!(X)$) coordinate[label=](Mx); \draw[red] (Mx) circle[radius=\rx]; \draw[red,->] (Mx) -- +(99:\rx) node[pos=0.4, left, inner sep=1pt]{$r_x$}; \draw[] (U) -- ($(U)!\R cm!(Mb)$) coordinate[label=left:$Y$](Y); \path[] (Mb) -- ($(Mb)!0.5!(Y)$) coordinate[label=](My); \draw[red] (My) circle[radius=\ry]; \draw[red,->] (My) -- +(33:\ry) node[pos=0.7, left]{$r_y$}; \pgfmathsetmacro\RR{\Gamma > 90 ? -\R : \R} \draw[] (U) -- ($(U)!\RR cm!(Mc)$) coordinate[label=below:$Z$](Z); \path[] (Mc) -- ($(Mc)!0.5!(Z)$) coordinate[label=](Mz); \draw[red] (Mz) circle[radius=\rz]; %\draw[red,->] (Mz) -- +(33:\rz) node[pos=0.5, below]{$r_z$}; % Punkte \pgfmathsetlengthmacro\Pointsize{1.5pt/\Scale} \foreach \P in {U, I, Ma,Mb,Mc, Mx,My,Mz, X,Y,Z} \draw[fill=black!1] (\P) circle (\Pointsize); % Annotationen - Rechnung \node[yshift=0mm, xshift=2.5*\R cm+9mm, anchor=north west, draw, align=left, fill=lightgray!50, ] at (C) { $\begin{array}{l l} a = \a \text{ cm} \\ b = \b \text{ cm}\\ c = \c \\ \hline \alpha = \Alpha^\circ \\ \beta = \Beta^\circ \\ \gamma = \Gamma^\circ \\ \hline r = \r \text{ cm} \\ R = \R \text{ cm} \\ \hline r_x = \rx \text{ cm} \\ r_y = \ry \text{ cm} \\ r_z = \rz \text{ cm} \\ \hline \text{Test:} \\ \dfrac{r}{r_x} = \rDIVrx \\[1em] \dfrac{2c}{a}= \cDIVa \\ \end{array}$ }; \end{tikzpicture}$


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ErwinAusB
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Danke für das Interesse und die Anregungen!


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Wario
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-05-23

\quoteon(2022-05-20 19:38 - ErwinAusB in Beitrag No. 18) Danke für das Interesse und die Anregungen! \quoteoff Mich interessiert sowas normalerweise gleich allgemein; solche Einzelfallbetrachtungen finde ich weniger interessant; diese sind dann, wenn man das Allgemeine hat, (wie gesehen, #17) sowas wie eine einzeilige Rechnung. Du könntest aber, wie schon in #14 gebeten, trotzdem einmal sagen, woher und in welchem Zusammenhange Du die Aufgabe hast; und wie die Originalformulierung lautet.


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ebikerni
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  Beitrag No.20, eingetragen 2022-05-27

Hallo Wario, die Ergebnisse in dem Beitrag 17(3) müssen aber identisch sein für a = b, Alpha = Beta, rx = ry = r und die Tests: 1.0 . Für mich ist es kein Problem für ca. 20 Teile des Dreiecks und Kreise alle Werte 15stellig nach dem Komma zu bestimmen. Gruß ebikerni


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Wario
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-05-27

\quoteon(2022-05-27 19:02 - ebikerni in Beitrag No. 20) Hallo Wario, die Ergebnisse in dem Beitrag 17(3) müssen aber identisch sein für a = b, Alpha = Beta, rx = ry = r und die Tests: 1.0 . Für mich ist es kein Problem für ca. 20 Teile des Dreiecks und Kreise alle Werte 15stellig nach dem Komma zu bestimmen. \quoteoff Die Werte, die da stehen sind bei TikZ jene, die der LaTeX-Übersetzer produziert (der alles andere als ein CAS ist und im Prinzip auf sowas wie zeichnerische Genauigkeit ausgelegt ist); und insofern höchstens als interessante Randbemerkung zu verstehen sind. Die formalen bzw. Buchstabenrechnungen sind in dem Beitrag relevant.


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haribo
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  Beitrag No.22, eingetragen 2022-05-27

https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_drei-achtel-perlen.jpg Nimmt man acht Perlen (p) für den Umkreisradius dann ist der Durchmesser 16 p Und unten passen 4 gelbe p hin, unten bei den gelben perlen taucht der sin 1/4 nochmal auf, darum passt genau eine gelbe perle mit 1/16el durchmesser des umkreises unten in den senkrechten perlendurchmesser, die weissen im Durchmesser sind wegen sin 1/4 genau 4 r, und das die schrwarzen r darstellen erklären sie selber, also ist der weisse + schwarze anteil des umkreisdurchmessers 5 r und damit wird die probe, dass auch für den unteren Kreis auch r = 3 p herauskommt doch recht einfach , 15 p / 5 = 3 p


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ebikerni
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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-06-01 21:51

Hallo haribo, nochmals eine wunderbare graphische Darstellung dieser 3 gleichgroßen Kreise mit den "Perlen". Gruß ebikerni


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