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Mathematik » Geometrie » Einem Kreis einbeschriebenes Dreieck mit maximalem Flächeninhalt
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Universität/Hochschule Einem Kreis einbeschriebenes Dreieck mit maximalem Flächeninhalt
_jst
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.05.2022
Mitteilungen: 1
  Themenstart: 2022-05-16

Hallo meine Lieben! Ich bitte um eure Hilfe! 😊 - ich habe die Aufgabe bekommen (genauer Wortlaut): “Welche von allen in einem Kreis eingeschriebenen Dreiecken (Eckpunkte auf der Kreislinie) besitzen den größten Flächeninhalt? Begründe!” Ich habe dazu leider überhaupt keinen Ansatz… Vielen Dank für eurer Hilfe!


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3565
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-16

Hallo, betrachte zunächst den Fall, dass zwei Punkte auf dem Kreis fest vorgegeben sind. Wie muss man dann den dritten Punkt wählen, damit das Dreieck maximalen Flächeninhalt hat?


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9308
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-16

Hallo und willkommen hier im Forum! Zunächst: im Rahmen von welcher Veranstaltung hast du diese Aufgabenstellung denn bekommen? Dann: fertige Lösungen werden wir hier nicht anbieten. Dafür aber Hinweise, die im Idelafall zur selbstständigen Bearbeitung der Aufgaben führen. Bei solchen Aufgaben ist es immer eine Überlegung wert, ein möglichst symmetrisches Beispiel zu betrachten, weil man dort oft schon das gesuchte Extremum findet. Mit welchen Mitteln du dann deine Vermutung beweisen sollst, das hängt natürlich davon ab, in welchem Rahmen die Aufgabe gestellt wurde und was alles zur Verfügung steht. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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co2357
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Dabei seit: 25.03.2022
Mitteilungen: 72
Wohnort: Deutschland, Radebeul
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-16

Hallihallo _jst, wenn ich mich jetzt nicht irre, müsste die Aufgabenstellung so lauten: "Welches (!) Dreieck von allen in einem Kreis eingeschriebenen Dreiecken (Eckpunkte auf der Kreislinie) besitzt (!) den größten Flächeninhalt? Begründe!" Es gibt also nur eine Lösung, die bis auf Drehung des Kreises um seinen Ursprung gleich ist. VG, Christian


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Wario
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Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 904
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-16

Ist $R$ der Umkreisradius, dann ist für die Dreiecksfläche $ F=2R^2\, \sin(\alpha)\,\sin(\beta)\,\sin(\gamma). $ \showon Beweis. Nach dem erweiterten Sinussatz ist $ 2R = \dfrac{a}{\sin(\alpha)} =\dfrac{b}{\sin(\beta)} =\dfrac{c}{\sin(\gamma)} $ Für das Produkt mit der Dreiecksfläche $F$ wird $\Rightarrow~~ R\cdot F = \dfrac{a}{2\,\sin(\alpha)} \cdot \dfrac{b\, c}{2}\,\sin(\alpha) = \dfrac{a\, b\, c}{4} $ $\begin{array}{l l} \Rightarrow~~ F &= \dfrac{a\, b\, c}{4R} \\[1em] &= \dfrac{2R\sin(\alpha)\cdot 2R\sin(\beta)\cdot 2R\sin(\gamma)}{4R} \\[1em] &=2R^2\, \sin(\alpha)\,\sin(\beta)\,\sin(\gamma) \hspace{2cm}\square \end{array} $ \showoff Damit lässt sich das gesuchte Dreieck als Extremwertaufgabe mit zwei Veränderlichen bestimmen. PS: · Schätze mal, das ist auch der nichtgenannte Hintergrund / Rahmen / Thema dieser Aufgabe. · Wer immer das verschoben hat: das ist aber nicht unbedingt Schulmathematik. Der Themenstarter hat auch "U" wie Uni angegeben.


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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2398
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-20

Dafür braucht man aber keine Differenzialrechnung. Auf \([0,\pi]\) ist \(\sin x\) konkav, und somit nach Jensen \(\frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3}\leq \sin\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)\) und somit \(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma\leq \frac{3}{2}\sqrt{3}\) mit Gleichheit im Fall \(\alpha = \beta = \gamma\) (wenn ich mich recht erinnere, auch im Olympiaden-Thread irgendwo bestimmt zu finden). Damit lässt sich auch schon ein Beweis führen: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-05-20_um_22.10.20.png https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-05-20_um_22.10.50.png Für dein Produkt folgt einfach aus AM-GM: \(\displaystyle \left(\sin \alpha \sin\beta\sin\gamma\right)^\frac{1}{3}\leq \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3}\leq \frac{1}{2}\sqrt{3}\) und somit: \(\displaystyle \sin \alpha \sin\beta\sin\gamma\leq \frac{3}{8}\sqrt{3}\) mit Gleichheit wiederum für \(\alpha = \beta = \gamma\). Gruß, Küstenkind


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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3770
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-20

\quoteon(2022-05-16 20:47 - co2357 in Beitrag No. 3) wenn ich mich jetzt nicht irre, müsste die Aufgabenstellung so lauten: "Welches (!) Dreieck von allen in einem Kreis eingeschriebenen Dreiecken (Eckpunkte auf der Kreislinie) besitzt (!) den größten Flächeninhalt? Begründe!" \quoteoff Du irrst dich. Auch wenn Eindeutigkeit bis auf Symmetrietransformationen vorliegt, gibt es doch mehrere Lösungen. Daher ist der Plural im Startbeitrag korrekt. Wenn du den Singular verwenden willst, kannst du das "bis auf Symmetrietransformationen" nicht einfach unter den Tisch fallen lassen, sondern musst es explizit aussprechen. --zippy


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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3565
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-21

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Mit meinem Vorschlag aus No.1 geht es ganz ohne Trigonometrie: Sei $f:S^1\times S^1\times S^1\to \IR$ die Abbildung, die einem Dreieck auf dem Einheitskreis dessen Flächeninhalt zuordnet. $f$ ist stetig und hat eine kompakte Definitionsmenge. Daher nimmt $f$ ein Maximum an. Wir zeigen, dass Dreiecke, die nicht gleichseitig sind, keine Maximalstellen von $f$ sind: Wenn im Dreieck $ABC$ die Seiten $AC$ und $BC$ nicht gleich lang sind, dann hat das gleichschenklige Dreieck $ABC'$ einen größeren Flächeninhalt (da gleiche Seite und größere Höhe). $ \begin{tikzpicture} \tikzmath{\r =4; \a = -140; \b = -40; \c = -(\a+\b)/2;} \draw (0,0) circle (\r); \draw (\b:\r) coordinate (B); \draw (\a:\r) coordinate (A); \draw (115:\r) coordinate (C); \draw (\c:\r) coordinate (C'); \draw (A)--(B)--(C)--cycle; \draw [dashed] (A)--(C')--(B); \foreach \P/\p in {A/below left, B/below right, C/above left, C'/above right} { \draw[fill=white] (\P) circle (2pt) node[\p]{$\P$}; } \end{tikzpicture} $ Der maximale Flächeninhalt tritt also für gleichseitige Dreiecke auf.\(\endgroup\)


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ebikerni
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-21

Hallo, ich habe jetzt erkannt, dass alle Winkel und 2 Seiten gleich groß sind (gleichwinkliges und gleichschenkliges Dreieck).Ich erstelle nun 1 Programm und berechne alle möglichen ca. 21 Elemente des Dreiecks, wenn jetzt der Radius R = 8 ist. Auf Ergebnisse bin ich sehr interessiert. Viele Grüße von ebikerni


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ebikerni
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Dabei seit: 17.10.2020
Mitteilungen: 189
  Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-23

Hallo, die Größte Fläche: Alpha = Beta = Gamma = gleichseitiges Dreieck. Wenn R = 8 und Alpha = 60.0 Dreiecksfläche = 83.1384... Alpha = 60.1 Dreiecksfläche = 83.1374... Alpha = 59.9 Dreiecksfläche = 83.1374--- Gruß ebikerni


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