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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Transformation einer symmetrischen Matrix auf Einheitszeilensummen
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Kein bestimmter Bereich Transformation einer symmetrischen Matrix auf Einheitszeilensummen
Commodore64
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  Themenstart: 2022-05-17

Gegeben sei eine symmetrische Matrix S mit reellen, positiven Einträgen. Gesucht ist eine Diagonalmatrix W mit ebenfalls reellen, positiven Einträgen, so dass alle Zeilensummen (notwendig dann auch alle Spaltensummen) über die transformierte Matrix WSW eins ergeben. Gibt es eine solche Matrix? Ist die Lösung eindeutig? Wie sieht die Lösung aus?


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thureduehrsen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Hallo Commodore64, und willkommen auf dem Matheplaneten. Im Fall von reellen \((2\times2)\)-Matrizen gibt es mehr als eine Lösung. Wie die Lösungen aussehen, kannst du dir leicht selbst überlegen. Es läuft auf ein nichtlineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten hinaus. mfg thureduehrsen\(\endgroup\)


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Commodore64
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17

Hallo thureduehrsen, vielen Dank. Ich glaube, dass jedenfalls für 2x2-Matrizen die Lösung eindeutig ist, wenn man positive Einträge in S und W fordert. Mich interessiert allerdings der allgemeine Fall (n>2) und da kann man dem nichtlinearen GLS leider nicht ansehen, ob und wenn ja, wie viele Lösungen es hat. Es wäre also hilfreich, wenn es einen Trick gäbe. Es handelt sich nicht um eine Schul- oder Uniaufgabe, sondern mir kam das Problem so unter. Ob es eine Lösung gibt, weiß ich daher nicht.


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thureduehrsen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Schöne Tricks habe ich da gerade nicht auf Lager. Immerhin werden ja bspw. beim Format \((5\times 5)\) 25 Produkte aus je 5 Faktoren gebildet, in "allen möglichen" Kombinationen... Was hast du dir denn schon überlegt? mfg thureduehrsen \(\endgroup\)


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Commodore64
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

Nach langer Recherche glaube ich, dass meine Fragestellung ein Spezialfall von "Sinkhorn's theorem" (darf den Link zur englischsprachigen Wikipedia leider nicht posten) ist. Was dort als Sinkhorn-Knopp algorithm bezeichnet wird, hatte ich (ohne das Verfahren oder seine Konvergenzeigenschaften zu kennen) ebenfalls durchgeführt. Interessant: M. Idel, "A review of matrix scaling and Sinkhorn’s normal form for matrices and positive maps"


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thureduehrsen
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Danach sieht es in der Tat aus. (Problemlos hättest du im Startbeitrag all das aufschreiben können!) mfg thureduehrsen


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

Wenn ich die Information schon vorher gehabt hätte, hätte sich meine Frage erübrigt. Oft ergeben sich neue Wege ja erst im Dialog. Insofern vielen Dank und nichts für ungut!


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thureduehrsen
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Najjjjjja, du hast im Startbeitrag nur eine Frage gestellt, ohne jeden Hinweis darauf, was du schon versucht hast. Deswegen habe ich dich auch animiert, den \(2\times 2\)-Fall zu Fuß durchzurechnen. Von Sinkhorn's theorem habe ich noch nie gehört, mich hat das Problem einfach so angesprochen. Und dass du behauptest, den Link zur WP nicht posten zu dürfen, ist auch merkwürdig... mfg thureduehrsen \(\endgroup\)


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