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Universität/Hochschule J Pareto-Verteilung und Gedächtnislosigkeit
PeterMeier123
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  Themenstart: 2022-05-18

Guten Tag 🙂 Nehmen wir an, dass $Y = \alpha e^{X}$ ist, wobei $X$ exponentiell verteilt ist mit der Rate $\lambda$. Ich soll nun die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit verwenden, um zu argumentieren, dass die bedingte Verteilung von $Y$ bei $Y > y_0 > \alpha$ Pareto verteilt mit den Parametern $y_0$ und $\lambda$ ist. Die Gedächtnislosigkeit sagt ja folgendes aus: $$P(X > s + t|X > t) = e^{-\lambda s}$$ Also spielt $t$ hier keine Rolle, ich habe die Rechnung hier für die Exponentialverteilung einmal verkürzt dargestellt. Jetzt ist meine Frage, wie es hier weitergeht. Wie kann ich das $Y = \alpha e^{X}$ ins Spiel bringen und mit der Gedächtnislosigkeit, dann die Behauptung zeigen?


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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) Moin, ich vermute, dass $\alpha>0$ gilt ... Ich ueberblicke nicht, inwieweit du die Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung verwenden kannst, aber ich wuerde mit der bedingten Verteilung von $(Y\mid Y>y_0)$ starten. Deren Verteilungsfunktion berechnet sich gemaess \[P(Y\le y\mid Y>y_0)=1-P(Y> y\mid Y>y_0)=1-\frac{P(Y> y\cap Y>y_0)}{P(Y>y_0)}=\cdots\] Fuehre z.B. $P(Y>y_0)$ auf die Verteilung von $X$ zurueck. vg Luis \(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Hi Luis! \quoteon Fuehre z.B. $P(Y>y_0)$ auf die Verteilung von $X$ zurueck. \quoteoff Damit meinst du vllt. sowas wie: $P(Y>y_0) = 1 - P(Y


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luis52
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-05-19 11:16 - PeterMeier123 in Beitrag No. 2) Hi Luis! \quoteon Fuehre z.B. $P(Y>y_0)$ auf die Verteilung von $X$ zurueck. \quoteoff Damit meinst du vllt. sowas wie: $P(Y>y_0) = 1 - P(Y\(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Danke Luis für die Bestätigung. Das hieße dann weiter, da $X$ exponentiell verteilt ist: $P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - (\frac{y_0}{\alpha})^\lambda$ Letzteres wäre dann doch Pareto verteilt, oder? Es sieht zumindest stark danach aus...


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luis52
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-05-19 14:25 - PeterMeier123 in Beitrag No. 4) Danke Luis für die Bestätigung. Das hieße dann weiter, da $X$ exponentiell verteilt ist: $P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - (\frac{y_0}{\alpha})^\lambda$ Letzteres wäre dann doch Pareto verteilt, oder? Es sieht zumindest stark danach aus... \quoteoff Peter, du musst etwas behutsamer argumentieren. Es geht um die Verteilung von $(Y\mid Y>y_0)$ mit $y_0>\alpha>0$(!) Dazu genuegt es, die Verteilungsfunktion zu bestimmen, also \[P(Y\le y\mid Y>y_0)=1-P(Y> y\mid Y>y_0)=1-\frac{P(Y> y\cap Y>y_0)}{P(Y>y_0)}\] fuer $y\in\IR$. Mach dabei eine Fallunterscheidung. \(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

\quoteon fuer $y\in\IR$. Mach dabei eine Fallunterscheidung. \quoteoff Du hast natürlich Recht! Ich habe ja jetzt erst $P(Y>y_0)$ bestimmt... Gut, für $P(Y\le y\mid Y>y_0)=1-P(Y> y\mid Y>y_0)=1-\frac{P(Y> y\cap Y>y_0)}{P(Y>y_0)}=\cdots$ fehlt mir dann noch der Teil mit $P(Y> y\cap Y>y_0)$. Du sprichst von einer Fallunterscheidung, das sehe ich noch nicht ganz. Kannst du das weiter ausführen? Geht das in die Richtung $y > y_0$ und $y < y_0$?


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luis52
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-05-19 17:12 - PeterMeier123 in Beitrag No. 6) Du sprichst von einer Fallunterscheidung, das sehe ich noch nicht ganz. Kannst du das weiter ausführen? Geht das in die Richtung $y > y_0$ und $y < y_0$? \quoteoff Genau, genauer $y > y_0$ und $y \le y_0$. \(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Gut und danke! 🙂 Interessant für die Fallunterscheidung ist dann ja $P(Y> y\cap Y>y_0)$, also für den Fall $y > y_0$ wäre die Schnittmenge $P(Y > y)$ und für den Fall $y \leq y_0$ müsste dies doch $P(Y \geq y_0)$ sein? Das würde ich auf ähnliche Weise berechnen, wie ich es in https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=258749&start=0#p1879031 getan habe...


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luis52
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-05-19 19:38 - PeterMeier123 in Beitrag No. 8) Gut und danke! 🙂 Interessant für die Fallunterscheidung ist dann ja $P(Y> y\cap Y>y_0)$, also für den Fall $y > y_0$ wäre die Schnittmenge $P(Y > y)$ und für den Fall $y \leq y_0$ müsste dies doch $P(Y \geq y_0)$ sein? \quoteoff 👍 \quoteon(2022-05-19 19:38 - PeterMeier123 in Beitrag No. 8) Das würde ich auf ähnliche Weise berechnen, wie ich es in https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=258749&start=0#p1879031 getan habe... \quoteoff Na dann mal los. vg Luis\(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Gut. Für den Fall $y > y_0$: Mit $P(Y>y_0) = 1 - P(Yy) = 1 - P(Yy_0)=1-P(Y> y\mid Y>y_0)=1-\frac{P(Y> y\cap Y>y_0)}{P(Y>y_0)}=1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)} = 1 - \frac{P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))}$ Weiter gehts mit: $P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - (\frac{y_0}{\alpha})^\lambda$ und $P(X < \ln(y) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{\lambda(\ln(y) - \ln(\alpha))} = 1 - (\frac{y}{\alpha})^\lambda$ einsetzen: $P(Y\le y\mid Y>y_0) = \cdots =1 - \frac{P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - \frac{1 - (\frac{y}{\alpha})^\lambda}{1 - (\frac{y_0}{\alpha})^\lambda}$ Geht das in die richtige Richtung?


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luis52
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-05-20

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-05-20 09:36 - PeterMeier123 in Beitrag No. 10) Weiter gehts mit: $P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - (\frac{y_0}{\alpha})^\lambda$ \quoteoff 👎 \[P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{-\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))}\]\(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Ah, ich hab das Minus vergessen.... Mea culpa. Richtig müsste dann sein: $P(Y\le y\mid Y>y_0) = \cdots =1 - \frac{P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - \frac{1 - e^{-\lambda(\ln(y) - \ln(\alpha))}}{1 - e^{-\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))}} = 1 - \frac{1-(\frac{\alpha}{y})^{\lambda}}{1-(\frac{\alpha}{y_0})^{\lambda}}$


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luis52
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-05-20

\quoteon(2022-05-20 10:31 - PeterMeier123 in Beitrag No. 12) Mea culpa. \quoteoff Allerdings! 😄


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PeterMeier123
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Luis was sagst du zu meiner Verbesserung im vorherigen Beitrag?


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luis52
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-05-20

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-05-20 10:40 - PeterMeier123 in Beitrag No. 14) Luis was sagst du zu meiner Verbesserung im vorherigen Beitrag? \quoteoff Mir ist durch die Lappen gegangen, dass ein Fehler in deinem Beitrag #10 ist. Korrekt ist: \[P(Y\le y\mid Y>y_0)=1-P(Y> y\mid Y>y_0)=1-\frac{P(Y> y\cap Y>y_0)}{P(Y>y_0)}=1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)} = 1 - \frac{1-P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{1-P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))}\] Es ist m.E. leichter, wenn du nur $1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)}$ weiter umformst ... \(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

\quoteon Mir ist durch die Lappen gegangen, dass ein Fehler in deinem Beitrag #10 ist. \quoteoff Stimmt! Da ist mit der 1 + ... Teil abhanden gekommen :( \quoteon Es ist m.E. leichter, wenn du nur $1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)}$ weiter umformst ... \quoteoff Also in der Form, wie du das schon mit $1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)} = 1 - \frac{1-P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{1-P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))}$ gemacht hast?


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luis52
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-05-20

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-05-20 11:22 - PeterMeier123 in Beitrag No. 16) Also in der Form, wie du das schon mit $1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)} = 1 - \frac{1-P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{1-P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))}$ gemacht hast? \quoteoff Ja, aber lass den hinteren Teil weg. $P(Y>y)$ z.B. ist schoen einfach.\(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Verstehe ich noch nicht ganz. Also $P(Y>y) = 1-P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))$, dann kommt man doch wieder genau auf diesen Teil. Ich sehe gerade nicht, was du mit einfach meinst 😉


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luis52
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-05-20

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-05-20 11:40 - PeterMeier123 in Beitrag No. 18) Verstehe ich noch nicht ganz. Also $P(Y>y) = 1-P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))$, dann kommt man doch wieder genau auf diesen Teil. Ich sehe gerade nicht, was du mit einfach meinst 😉 \quoteoff $P(X>z)=e^{-\lambda z}$ ist in diesem Fall direkter als $P(X\(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Ok das habe ich fast schon vermutet... Beides geht... Gut wir waren bei: $1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)} = 1 - \frac{P(X>\ln(y) - \ln(\alpha))}{P(X>\ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - \frac{e^{-\lambda(\ln(y) - \ln(\alpha))}}{e^{-\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))}} = 1 - \frac{(\frac{\alpha}{y})^{\lambda}}{(\frac{\alpha}{y_0})^{\lambda}} = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$ Ich hoffe, dass hier jetzt kein Tippfehler drin ist...


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luis52
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-05-20

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) Das sieht sehr gut aus. Und wie lautet nun abschliessend die Verteingsfunktion von $(Y\mid Y>y_0)$? vg Luis\(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Danke Luis! Für den Fall $y > y_0$: $(Y\mid Y>y_0) = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$ Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das so stehenlassen darf?! Warum heißt es eigentlich $(Y\mid Y>y_0)$ und nicht $(Y < y\mid Y>y_0)$, also warum ist da nur die Rede von groß $Y$ ohne "Zusatz"?


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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-05-20

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-05-20 13:07 - PeterMeier123 in Beitrag No. 22) Danke Luis! Für den Fall $y > y_0$: $(Y\mid Y>y_0) = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$ Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das so stehenlassen darf?! \quoteoff Leider nein, s.u. \quoteon(2022-05-20 13:07 - PeterMeier123 in Beitrag No. 22) Warum heißt es eigentlich $(Y\mid Y>y_0)$ und nicht $(Y < y\mid Y>y_0)$, also warum ist da nur die Rede von groß $Y$ ohne "Zusatz"? \quoteoff $(Y\mid Y>y_0)$ bescheibt eine Zufallsvariable, naemlich die Zufallsvariable $Y$, wenn man weiss, dass $Y>y_0$ eingetreten ist. Dagegen beschreibt $(Y < y\mid Y>y_0)$ ein Ereignis, naemlich dass $Y$ einen kleineren Wert als $y$ annimmt, wenn man weiss, dass $Y>y_0$ eingetreten ist. Insofern macht $(Y\mid Y>y_0) = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$ keinen Sinn, wohl aber $P(Yy_0) = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$. Die Verteilungsfunktion von $(Y < y\mid Y>y_0)$ ist $F:\IR\to\IR$ mit \[ F(y)= \begin{cases} 1 - \left(\dfrac{y_0}{y}\right)^{\lambda} ,& \text{$y>y_0$;} \\[1ex] 0,& \text{sonst,} \end{cases} \] die Verteilungsfunktion einer lupenreinen Pareto-Verteilung mit den Parametern $y_0$ und $\lambda$. 😉 vg Luis \(\endgroup\)


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PeterMeier123
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Danke Luis! Ich hatte auch erst $(Yy_0) = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$ stehen für $y > y_0$. Habs dann aber raus genommen... Ja, die Pareto-Verteilung hat man am Ende gut erkannt 🙂


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PeterMeier123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
PeterMeier123 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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