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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Endliche Limites
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Universität/Hochschule J Endliche Limites
matheem
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  Themenstart: 2022-05-19

Hi, ich soll zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind: ($\mathcal{C}$ sei eine Kategorie) (i) $\mathcal{C}$ enthält alle endlichen Limites (ii) $\mathcal{C}$ enthält Differenzkerne, ein finales Objekt und für alle $A,B \in \mathcal{C}$ auch ein Produkt $A \times B$. (iii) $\mathcal{C}$ enthält alle Faserprodukte und ein finales Objekt. (ii) nach (i) folgt z.B. bereits nach Satz 6.4.1 aus der Einführung in die Kategorientheorie von Brandenburg (i) nach (iii): wenn $\mathcal{C}$ alle endlichen Limites enthält, folgt doch auch schon automatisch, dass $\mathcal{C}$ alle Faserprodukte enthält, oder nicht? Dann würde da noch fehlen, dass $\mathcal{C}$ dann ein finales Objekt enthält und für (iii) nach (ii) hab ich gerade leider keine Idee... Hat jemand einen Tipp?


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-19

(i)$\implies$(iii): Ja. Und das finale Objekt ist ja ein ganz einfaches Beispiel für einen Limes (nämlich?). (iii)$\implies$(ii): Das Produkt bekommst du als ein Faserprodukt über das finale Objekt: $A \times B = A \times_1 B$. Den Differenzkern von $f,g : X \to Y$ bekommst du als das Faserprodukt von $(f,g) : X \to Y \times Y$ mit der Diagonale $\Delta : Y \to Y \times Y$. Überlege dir, wieso. (Das ist übrigens Aufgabe 6.9 in dem Buch.)


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matheem
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

\quoteon(2022-05-19 22:26 - Triceratops in Beitrag No. 1) (i)$\implies$(iii): Ja. Und das finale Objekt ist ja ein ganz einfaches Beispiel für einen Limes (nämlich?). \quoteoff Achso ja genau, die finalen Objekte sind ja dann genau die Produkte über der leeren Indexmenge. \quoteon (iii)$\implies$(ii): Das Produkt bekommst du als ein Faserprodukt über das finale Objekt: $A \times B = A \times_1 B$. Den Differenzkern von $f,g : X \to Y$ bekommst du als das Faserprodukt von $(f,g) : X \to Y \times Y$ mit der Diagonale $\Delta : Y \to Y \times Y$. Überlege dir, wieso. (Das ist übrigens Aufgabe 6.9 in dem Buch.) \quoteoff Den ersten Punkt verstehe ich, aber beim zweiten muss ich ja dann wohl zeigen, dass die universelle Eigenschaft erfüllt ist, ich bekomme das aber überhaupt nicht hin, wozu genau brauch ich den Diagonalfunktor?


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-20

Das ist ein Diagonalmorphismus, kein Diagonalfunktor. Es ist $\Delta : Y \to Y \times Y$ definiert durch $p_1 \circ \Delta = p_2 \circ \Delta = \mathrm{id}_Y$. Um zu zeigen, dass das Faserprodukt ein Equalizer ist, gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten: 1) Zeige es erst für $\mathbf{Set}$ unter Benutzung der konkreten Konstruktionen der Limites dort. Für beliebige Kategorien folgt das dann aus dem Yoneda-Lemma. 2) Zeige direkt die universelle Eigenschaft. Ich denke, diesen Weg müsstest du erst einmal verstehen (zwar ist 1) eleganter und kürzer, erfordert aber definitiv mehr Erfahrung mit der Materie). Ein Faserprodukt von $(f,g)$ mit $\Delta$ ist ja ein terminales Objekt in der Kategorie der Kegel, die hier die Form $\begin{tikzcd}[column sep=30pt,row sep=30pt] T \ar{r}{a} \ar{d}[swap]{b} & Y \ar{d}{\Delta} \\ X \ar{r}[swap]{(f,g)} & Y \times Y\end{tikzcd}$ haben. Es muss also $(f,g) \circ b = \Delta \circ a$ gelten. Das ist gemäß der Definition von $Y \times Y$ (also die universelle Eigenschaft) genau dann der Fall, wenn die beiden Gleichungen • $p_1 \circ (f,g) \circ b = p_1 \circ \Delta \circ a$ • $p_2 \circ (f,g) \circ b = p_2 \circ \Delta \circ a$ gelten. Vereinfache diese Gleichungen nun gemäß der Definitionen von $(f,g)$ und $\Delta$. Dein Ziel ist hier, eine Äquivalenz zwischen Kegeln wie oben und den Kegeln an dem Diagramm $\begin{tikzcd} X \ar[shift left=1ex]{r}{f} \ar[shift right=1ex]{r}[swap]{g} & Y \end{tikzcd}$ herzustellen; denn ein terminales Objekt hier ist ja ein Differenzkern von $f,g$. Wenn du dir klargemacht hast, was gegeben und was zu zeigen ist, steht der Beweis bereits da (hier muss man sich also nichts wirklich überlegen, vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805).


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matheem
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

\quoteon(2022-05-20 09:57 - Triceratops in Beitrag No. 3) Das ist ein Diagonalmorphismus, kein Diagonalfunktor. Es ist $\Delta : Y \to Y \times Y$ definiert durch $p_1 \circ \Delta = p_2 \circ \Delta = \mathrm{id}_Y$. Um zu zeigen, dass das Faserprodukt ein Equalizer ist, gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten: 1) Zeige es erst für $\mathbf{Set}$ unter Benutzung der konkreten Konstruktionen der Limites dort. Für beliebige Kategorien folgt das dann aus dem Yoneda-Lemma. 2) Zeige direkt die universelle Eigenschaft. Ich denke, diesen Weg müsstest du erst einmal verstehen (zwar ist 1) eleganter und kürzer, erfordert aber definitiv mehr Erfahrung mit der Materie). Ein Faserprodukt von $(f,g)$ mit $\Delta$ ist ja ein terminales Objekt in der Kategorie der Kegel, die hier die Form $\begin{tikzcd}[column sep=30pt,row sep=30pt] T \ar{r}{a} \ar{d}[swap]{b} & Y \ar{d}{\Delta} \\ X \ar{r}[swap]{(f,g)} & Y \times Y\end{tikzcd}$ haben. Es muss also $(f,g) \circ b = \Delta \circ a$ gelten. Das ist gemäß der Definition von $Y \times Y$ (also die universelle Eigenschaft) genau dann der Fall, wenn die beiden Gleichungen • $p_1 \circ (f,g) \circ b = p_1 \circ \Delta \circ a$ • $p_2 \circ (f,g) \circ b = p_2 \circ \Delta \circ a$ gelten. Vereinfache diese Gleichungen nun gemäß der Definitionen von $(f,g)$ und $\Delta$. Dein Ziel ist hier, eine Äquivalenz zwischen Kegeln wie oben und den Kegeln an dem Diagramm $\begin{tikzcd} X \ar[shift left=1ex]{r}{f} \ar[shift right=1ex]{r}[swap]{g} & Y \end{tikzcd}$ herzustellen; denn ein terminales Objekt hier ist ja ein Differenzkern von $f,g$. Wenn du dir klargemacht hast, was gegeben und was zu zeigen ist, steht der Beweis bereits da (hier muss man sich also nichts wirklich überlegen, vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805). \quoteoff Ahh ok danke, ich probier es mal!


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