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Kein bestimmter Bereich Differenzieren statt Integrieren
Zwerg_Allwissend
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  Themenstart: 2022-05-21

To whom it concerns: https://www.spektrum.de/news/ableitung-statt-integral-revolution-der-analysis/2016955#Echobox=1652617654?utm_source=pocket-newtab-global-de-DE Habe ich gerade gelesen, aber da meine (bestandenen) Analysis Klausuren nunmehr 50 Jahre zurückliegen kann ich Signifikanz und Relevanz nicht mehr so richtig einordnen. Ich fand den Artikel jedenfalls interessant und denke, daß einige Foristen sich auch dafür interessieren. PS: Wer den Originalartikel lesen möchte, da aber nicht herankommt, kann mir eine PN schicken.


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-21

Vorweg: Ich habe es mir nur kurz angesehen. Ist das gewollt, dass die Formeln in dem Spektrum-Artikel nicht richtig angezeigt werden? Jedenfalls hier ist die Formel, um die es geht: \[ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0}\ f\left(\frac{d}{d \epsilon}\right) \frac{e^{\epsilon b}-e^{\epsilon a}}{\epsilon} \] Sie gilt laut Spektrum-Artikel nur, wenn $f$ durch eine Potenzreihe darstellbar ist. Insofern nicht wirklich universell genug. Und eine Komplikation ist hier auch der Ausdruck $f\left(\frac{d}{d \epsilon}\right)$. Man muss hier also einen Differenzialoperator in eine Potenzreihe einsetzen und das Ergebnis dann auf die Funktion $\epsilon \mapsto \dfrac{e^{\epsilon b}-e^{\epsilon a}}{\epsilon}$ anwenden und anschließend noch einen Grenzwert bilden. Puh. Ich bezweifle nicht, dass die Formel richtig und für das Paper von Kempf-Jackson-Morales relevant ist. Aber der Spektrum-Artikel suggeriert ja, dass das nun eine neue und auch praktische, ja gar revolutionäre Methode ist, um Integrale auszurechnen, weil Ableitungen so viel einfacher sind. Und das bezweifle ich [Edit: Siehe jedoch nächster Post]. Das ganze wird auch damit eingeleitet, dass partielle Integration und Substitution ja nicht immer zum Erfolg führen. Aber wenn wir mit einer Potenzreihe starten, müssen wir überhaupt gar keine dieser Techniken anwenden! Es findet sich auch ein inhaltlicher Fehler in dem Spektrum-Artikel. Es wird gesagt, dass jede glatte Funktion durch eine Potenzreihe darstellbar ist. Zunächst einmal wird hier Darstellbarkeit mit Approximierbarkeit vermengt. Aber vor allem ist $\exp(-1/x^2)$ (fortgesetzt durch $0 \mapsto 0$) das übliche Gegenbeispiel. Diese Funktion ist glatt, lässt sich aber in einer Umgebung der $0$ nicht durch Potenzreihen approximieren geschweige denn darstellen.


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-21

Der Artikel "How to (Path-) Integrate by Differentiating" von denselben Autoren ist schon viel überzeugender. Die Methode ist also offenbar sehr praktisch. Dort wird auch nirgendwo die Annahme gemacht, dass $f$ durch eine Potenzreihe darstellbar ist, jedenfalls nicht explizit. Andererseits wird auch nicht gesagt, was $f$ nun ist (Physiker...). Weiß jemand, für welche Funktionen genau die Formel (2) gilt? Die sehr kurze Herleitung (ohne Potenzreihen!) steht bei den Formeln (30)-(32).


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Ich habe nur flüchtig drübergeguckt, aber mein Bauch sagt, dass da reichlich Grenzwerte vertauscht werden und das dringend rigoros überprüft werden muss. Die Autoren schreiben ja selbst, dass der Bereich für \( f\) noch nicht bekannt ist. Ohne jemandem zu nahe treten zu wollen: das sieht sehr physikalisch aus. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-21

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-05-21 20:34 - Triceratops in Beitrag No. 2) Der Artikel "How to (Path-) Integrate by Differentiating" von denselben Autoren ist schon viel überzeugender. Die Methode ist also offenbar sehr praktisch. Dort wird auch nirgendwo die Annahme gemacht, dass $f$ durch eine Potenzreihe darstellbar ist, jedenfalls nicht explizit. Andererseits wird auch nicht gesagt, was $f$ nun ist (Physiker...). Weiß jemand, für welche Funktionen genau die Formel (2) gilt? Die sehr kurze Herleitung (ohne Potenzreihen!) steht bei den Formeln (30)-(32). \quoteoff In dem verlinkten Artikel erwähnen sie eigentlich nur wie die Formel zu interpretieren ist, falls $f$ durch eine Potenzreihe dargestellt wird. Bei dem (einzigen?) Beispiel teilen sie das Integral so auf, dass die einzelnen Integranden durch Potenzreihen dargestellt werden können, wenn ich das richtig verstanden habe. Zuletzt bleibt noch die Anmerkung von Wally zu beachten. LG Nico\(\endgroup\)


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-22

\quoteon(2022-05-21 23:39 - nzimme10 in Beitrag No. 4) In dem verlinkten Artikel erwähnen sie eigentlich nur wie die Formel zu interpretieren ist, falls $f$ durch eine Potenzreihe dargestellt wird. \quoteoff Unmittelbar nach der Interpretation für Potenzreihen wird doch die allgemeinere Interpretation angesprochen: More generally, $f$ may be interpreted as a function on the spectrum of the operator $\partial_\epsilon$. --zippy


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wrdlprmpfd
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-22

Im Artikel "Integration by differentiation: new proofs, methods and examples" scheint das Verfahren ausführlicher begründet zu werden. Die dort verwendeten Methoden sind mir allerdings nicht vertraut, sodass ich über ihre Güte keine Aussage treffen kann. Gruß Wrdlprmpfd


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Zwerg_Allwissend
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-22

\quoteon(2022-05-21 20:19 - Triceratops in Beitrag No. 1) Vorweg: Ich habe es mir nur kurz angesehen. Ist das gewollt, dass die Formeln in dem Spektrum-Artikel nicht richtig angezeigt werden? \quoteoff Das liegt am Browser. Auf meinem Rechner sieht man nur den TEX-Code, auf meinem Tablet werden die Formeln lesbar dargestellt (in beiden Fällen Firefox). Deine Kritik findet sich auch in den Kommentaren zum Artikel wieder. Man muß sich eben das Originalpapier bzw. dessen frei verfügbare Version auf https://arxiv.org/abs/1507.04348 anschauen. Hast Du (und andere) ja nachfolgend auch gemacht.


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