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Mathematik » Strukturen und Algebra » Tensorprodukt von zwei Algebren ist einfach -> Algebren sind einfach
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Universität/Hochschule J Tensorprodukt von zwei Algebren ist einfach -> Algebren sind einfach
matheem
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  Themenstart: 2022-05-22

Hi, ich hätte eine Frage zu folgendem Beweis: Sei $A \otimes_K B$ eine einfach $K$-Algebra und $0 \neq I \subset A$ ein zweiseitiges Ideal $\Rightarrow$ $0 \neq I \otimes_K B \subset A \otimes_K B$ ein zweiseitiges Ideal. Da $A \otimes_K B$ einfach ist, folgt $I \otimes_K B = A \otimes_K B \Rightarrow I = A \Rightarrow A$ einfach. Analog für $B$. Warum gilt, dass $0 \neq I \otimes_K B \subset A \otimes_K B$ dann auch ein zweiseitiges Ideal ist?

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-22

Was hast du denn bereits versucht, um das zu zeigen? Man rechnet es einfach nach. Hier noch alternativ ein abstraktes Argument: Das Tensorprodukt über $K$ ist exakt. Daher ist $0 \to I \otimes_K B \to A \otimes_K B \color{red}{\to} (A/I) \otimes_K B \to 0$ exakt. Dabei ist der rote Pfeil ein Algebra-Homomorphismus. Der Kern ist also ein beidseitiges Ideal.

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eisenstein01
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-22

Kann man nicht einfach schreiben: $I \otimes_K B = \{\sum_{i=1}^n x_i \otimes b_i| x_i\in I, b_i \in B\} \subset \{\sum_{i=1}^n a_i \otimes b_i| a_i \in A, b_i \in B\} = A \otimes_K B$

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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-22

Ja. Beachte, dass man hier $I \otimes_K B$ mit seinem Bild in $A \otimes_K B$ identifiziert (was man darf, weil das Tensorprodukt exakt ist).

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matheem
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-22

Achsooo ja klar, vielen Dank!

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matheem hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
matheem hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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